1、1,第一章 函数与极限,第一节 函数,第二节 极限,第三节 连续函数,2,第一节 函 数,预备知识 1.1.1 函数概念 1.1.2 函数的几种特性 1.1.3 反函数与复合函数 1.1.4 初等函数,3,第一节 函数预备知识： 1. 集合概念,集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；,(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体， 集合的元素通常用A，B，S，T 等表示.,元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示.,集合分为有限集和无限集.,a M: 若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:,如:,4,N=全体自然数，Z=全
2、体整数，Q=全体有理数，R=全体实数.,(3)常用的集合记号,如果 ，必有 , 则称A是B的子集，记为,不含任何元素的集合，则称为空集记为. 是任何集合的子集.,(4) 集合的关系,若 ，且 ,则称A是B的真子集,记为 .,若 ，且 ,则称A与B相等,记为 .,5,2. 集合的运算,设A、B是二个集合，定义,(A与B的并集),(A与B的交集),(A与B的差集),设 I 表示我们研究某个问题的全体, 则其它集合 A都是 I 的子集, 称 I 为全集或基本集.,A的余集或补集记为:,例如: 在实数集R中,则有,6,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分
3、配律,（4）对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,集合的运算法则,7,3. 区间和邻域,设a,bR,且ab,开区间,闭区间,半开区间,称a , b为区间的端点，称ba为这些区间的长度.,以上这些区间都称为有限区间.,8,无限区间,用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.,9,(2) 点a的去心邻域：,注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为U(a),邻域,点a的左邻域:开区间(a-, a),点a的右邻域:开区间(a, a+),(1) 设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即,点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.,10, 1.1.1 函数概念,1、映射的
4、概念,定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则 f , 使得对 X 中每个元素 x , 按法则 f , 在Y中有唯一确定的元素 y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射,记为,其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x), 即y=f(x) ,元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像;,集合X称为映射f 的定义域, 记作D f , 即D f =X;,X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 Rf 或 f(X), 即,11,注意:,(1) 一个映射必须具备以下三个要素:,集合X, 即定义域D f =X,集合Y, 即值域的范围:,与之对应.,(2) 对每个 ,元素x的像
5、y是唯一的;,对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .,12,例1 设 , 对每个 , .,显然, f是一个映射, f 的定义域 ,值域,它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原,像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.,例2 设,对每个 ,有唯一确定的,与之对应.,显然, f 是一个映射, f 的定义域 ,值域,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.,13,这里f 是一个映射,其定义域 ,值域,f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y,f为X到Y上的单射:
6、若对X中任意两个不同元素,满射 单射 一一映射,都是X中某元素的像.,f为一一映射(或双射): 若映射f 既是单射又是满射.,如:例1 既非单射, 又非满射;,例2 不是单射,是满射;,例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.,它们的像,14,映射又称为算子.,根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.,如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.,从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.,15,2. 逆映射与复合映射,设 f 是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g,即,这个映射g称为
7、f 的逆映射,记作 其定义域,值域,注意:只有单射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,16,设有两个映射,注意:,(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:,两者也不同时有意义.,17,例4 设有映射,对每个,对每个,18,3.函数概念,对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y=,函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,定义 设数集 , 则称映射 为定义D上的,函数，通常简记为,f (x). D称为定义域, 记作 , 即,记作 或 f (D) , 即,19,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总
8、在R内.,函数的两要素:,定义域 与对应法则f .,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,例如:,20,对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.,定义:点集,称为函数,的图形.,21,常见的几种函数,例5 函数y=2,例6 函数,22,例7 函数,称为符号函
9、数,定义域 D=(,+),值域 =1,0,1.,注:对任意的x,有,23,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,例8 取整函数 y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域 D=(,+),值域 =Z.,24,例9 函数,是一个分段函数.它的定义域 D=0,+).,如:,25, 1.1.2 函数的几种特性 (1) 函数的单调性:,设函数f (x)的定义域为D, 区间,如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有,则称函数f (x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);,26,(2) 函数的有界性:,(2)有界与否是和X有关的.,(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.,注意:,使,(3)证
10、明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在,27,(3) 函数的奇偶性:,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;,偶函数的图形关于y轴对称.,函数 y=cosx是偶函数.,28,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数.,奇函数的图形关于原点对称.,函数 y=sinx是偶函数.,函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.,29,(4) 函数的周期性:,函数sinx, cosx的周期是,函数tanx的周期是,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
11、,则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.,设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得,30,例10 狄利克雷函数,它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.,31, 1.1.3 反函数与复合函数,反函数的定义:,设函数,是单射,则它存在,若函数f (x)在D上是单调函数,则f-1也是f (D)上的单调函数.,32,直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.,33,复合函数,定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有,称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,函数g与
12、函数f 构成的复合函数通常记为,34,注:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,35,函数的运算,设函数f (x), g (x)的定义域依次为,则可以定义这两个函数的下列运算：,和(差),积,商,36,例11 设函数f (x)的定义域为(-l ,l ),证明必存在(-l ,l )上的偶函数g (x)和奇函数h (x), 使得,证 先分析如下:假若这样的g (x)、 h (x)存在,使得,(1),且,利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).,作,则,证毕.,37, 1.1.4 初等函数,基本初等函数,(2) 指数函数,(5)反三角函数 y=arcsinx ;y=arccosx; y=arctanx;y=arccotx; y=arcsecx; y=arccscx,(3) 对数函数 y=logax y=lnx,三角函数 y=sinx ;y=cosx; y=tanx;y=cotx; y=secx; y=cscx,38,(2) 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,奇函数.,偶函数.,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,39,双曲正切,40,双曲函数常用公式,41,反双曲函数,反双曲正弦,42,反双曲余弦,43,奇函数,
