1、计算机数学基础(上)第2编 集 合 论,第三章 集合及其运算,本章主要内容：,集合的概念集合的运算律集合的性质笛卡尔积重点：幂集、集合的运算律难点：幂集、集合的运算律、笛卡尔积,3.1 集合的概念和表示方法,一、集合的概念 一些确定的、可以区别于其它个体的对象的总和称为集合。 集合中的个体对象称为集合的元素，常用a、b等小写字母表示。 集合通常用A、B等大写字母表示。一些特定的字母表示特定的集合，如 N、Z、Q、R、C。 元素与集合的关系称为属于关系。元素a是集合A中的元素，记作 ，元素a不是集合A中的元素，记作 。,在集合的概念中需要强调指出三点：1。集合中的元素可以是数、点、事物，还可以是
2、集合。2。集合中的元素是没有排列顺序的。例如，集合A中的元素是a、b、c，集合B中的元素是c、a、b，那么，它们表示的是同一个集合。3。集合中相同的元素，不论出现多少次，都被看作为一个元素。 根据集合中元素的个数，集合可分为有限集合和无限集合。 有限集合A中所包含的元素的个数，以|A|表示。,二、集合的表示方法1列举法 列出集合中的所有元素，用大括号括起来。例如，A=a,b,c,d,N=0,1,2,3,。2。描述法 在大括号中，先说明元素怎样表示，再描述元素具有的共同属性，例如，N=x|x是非负整数,D=(x,y)| 。3。图示法文氏图 用一个简单的平面区域(通常用圆)表示一个集合，不同的集合
3、用不同的平面区域表示。区域内的点表示集合中的元素。,三、集合之间的关系 若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作 。 如 ，则 。说明：1。包含关系只适用于集合与集合之间。2。若 ，则A=B。3。若 ，且B中包含不属于A的元素，则称A是B的真子集，记作 。4。集合的包含关系具有： 自反性， 。 反对称性， 。 传递性， 。,四、特殊集合1。空集：不包含任何元素的集合，记作 。 空集是任何集合的子集。 与是不同的。2。全集：研究对象的全体组成的集合，用E表示。 任何集合都是全集的子集。3。幂集：一个集合的所有子集组成的集合，记作P(A) 如A=a,b，P(A)=,a
4、,b,a,b说明：幂集中所有的元素都是集合。 与P()是不同的，中没有元素，P()中有一个元素 ，P()=。 若A中有n个元素，则P(A)中有2n个元素。,2001年7月单项选择题3 设S1= ，S2=，S3=P()，S4=P(),则命题为假的是 。 A） B） C） D）2000年1月单项选择题2 设集合A=1,2，则P(A)= 。 A）1,2 B）,1,2 C） ,1,2,A D）1,2,1,2,A,C,2001年1月填空题7 设A=1,1，则P(A)= 。 解： P(A)= ,1,1, 1,1 2001年7月填空题8 设A= ,a，则P(A)= 。 解： P(A)= ,a, ,a,3.2
5、 集合的运算及其性质,一、集合的运算 集合的运算有并、交、差、补和对称差。1。集合的并 由所有属于A或属于B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作 。例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，2。集合的交 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作 。例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，,集合的并、交与集合之间有如下关系：1。对于任意集合A、B2。如果,A,B,例题，证明 证明集合命题的第一种方法是通过在集合中任取一个元素，利用集合的定义进行证明。证明：,3。集合的差 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合称为集合A与B的差，记作 AB 。集合A与B的差AB与集合B
6、与A的差BA是不同的 例如A=1,2,3,4，B=2,4,6， AB=1,3， BA=6 2。补集 由全集E中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作A。 E故有,A-B,B-A,A,A,2000年1月计算题16 设A,B,C是整数集Z的子集，其中A=1,2,4求解： A=1,2,4，B=-3,-2,-1,0,1,2,3，C=0,3,6,9,5。集合的对称差 集合 称为集合A、B的对称差，记作 。从右边的文氏图中可以看出: 例如A=1,2,3,4，B=2,4,6，2000年7月计算题15 设E=1,2,3,4,5,A=1,4,B=1,2,5,C=2,4求解:,二、集合运算的性质 集合
7、的运算满足如下运算律。1交换律2结合律3分配律4幂等律5同一律6零律7补余律8吸收律,9摩根律10双补律对称差的性质类似并集，有: 交换律 结合律 分配律 零一律 消去律,2001年1月单项选择题2 设A,B,C为任意集合，下列命题为真的是 。 A）如果 C） B）如果 D）例题，若 ，证明B=C证明集合恒等式的第二种方法是利用上面所述的运算律进行证明。证明：,D,2001年1月证明题18 试证明对于任意集合A、B、C、D，有证明：,三、有限集合的计算 有限集合的记数定理有： 1。 ， 2。 3。 4。 5。 6。,例题：某班每人至少学一门外语，已知学英语120人，学法语80人，学日语60人，
8、学英、法语50人，学英、日语25人，学法、日语30人，三种语言都学10人，求班级人数。解：设求 =120+80+60-50-25-30+10=165,3.3 笛卡尔积,一、有序对 两个元素x、y按顺序排列组成的组合称为x、y的有序对，记作 显然，当xy时， 如=，则 。二、笛卡尔积 已知集合A、B，以集合A中的元素为第一元素，集合B中的元素为第二元素构成的所有有序对组成的集合，称为A和B的笛卡尔积，记作AB 当集合A=B时，AA=A2,例1：设A=1,2，B=a,b，C=a求ABC ，(AB)C ，A(BC)解: ABC=, (AB)C=,a =,a,a,a,a A(BC)=1,2, =,例2:设A=1,2，求P(A)A解：P(A)=,1,2,1,2 P(A)A=, ,三、笛卡尔积的性质 性质1，A=，A=性质2，笛卡尔积不满足交换律 当A，B，AB时，ABBA性质3，笛卡尔积不满足结合律 性质4，笛卡尔积对并、交的分配律成立 ,2001年7月证明题19 证明对任意集合A、B有证明：,性质5， 性质6，若A、B、C、D是非空集合,
