1、数学实验,行星的轨道和位置,他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图象,慧星的轨道和大海的潮汐., Newton 墓志铭,背景介绍,哥白尼(波兰，1473-1543),日心说,地球我们的家园,金星看起来最亮的行星,46亿岁 ,赤道半径6378.14公里，比极半径长21公里,半径约为6073公里, 表面温度高达465至485度 ,自转,方向与其它行星相反,16世纪前，人们认为太阳只有6大行星,托勒密（古希腊） 地心说,土星最美丽的行星,木星行星中的巨无霸,火星离地球最近、人们最关注的行星：,半径为2440公里 , 较小，难以观察,水星距太阳最近的行星,火星上有无生命？,卫星数目最多,23
2、颗. 光环由无数块冰状物组成的,赤道半径约为71400公里，是地球的11.2倍,开普勒(15711630) (观察分析数据),3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴,行星运行三大规律,1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;,2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内,的立方之比值是不随行星而改变的常数.,扫过的面积相同;,在第谷布拉赫(1546-1601)的基础上提出,万有引力定律,冥王星离太阳最远、未知数最多的行星,天王星乐师(Herschel)发现的行星 (1781),海王星笔尖上的行星,(Adams 1845, Leverrier 1846),“自然哲学的数学原理” (168
3、7 牛顿),2006年8月24日国际天文学联合大会决定：,冥王星降级为“矮行星” (大行星的定义),太阳只有八大行星！,实际问题,度为2.929104 m/s,试求:,1) 地球距太阳的最近距离,地球距太阳最远处(远日点)距离为,1.5211011 m,此时地球绕太阳运动(公转)的速,2) 地球绕太阳运转的周期,3) 在从远日点开始的第100天结束时,地球的位置与速度,行星运动轨迹位于一个平面上,把太阳置于坐标系的原点，记行星的位置向量为,于是，,因为,由牛顿第二运动定律及万有引力定律得,所以,即,，故行星位于一个过原点且垂直于 的平面上.,，那么行星的速度为 ，加速度为 .,数学模型,在运动
4、学中常采用复坐标系(点用复数表示),速度为,加速度,设太阳中心所在位置为复平面之原点,在时刻t,行星位于以下复数代表的点,根据 Newton 第二定律,比较虚实部导出微分方程组,方程初始条件,导出行星运行第二定律,（后两个如 何得到？）,右边正是面积,轨道方程,请尝试推导出行星的轨道方程？,( p,e 是常数,根据相关已知数据导出),改写前面积分表达式成为,给出时间T1，要求位置即求出1与r，较难！,求解思路,function m5_1(h)ep=0.01672;C1=4.455e15;p=1.496e11;T1=100*24*3600;f=C1*T1/p2;theta(1)=0;F(1)=0
5、;for i=2:1e6 theta(i)=theta(i-1)+h; F(i)=F(i-1)+h*(1-ep*cos(theta(i-1)-2+(1-ep*cos(theta(i)-2)/2; if F(i)f break; endendn=i-2t=n*hr=p/(1-ep*cos(t)dtheta=C1/r2v=r*dtheta,Matlab程序,取不同步长实验结果,表1,其中,h,n, , r,v单位分别为 s,次，弧度， m, m/s,代入,再设,代入上式得,数值方法,将高阶微分方程降阶为一阶方程组再离散化,Euler 迭代格式,计算到第n 步,得到周期,由时间T1易得到，r,将计算
6、所得的数据， 利用 Matlab 作图可得,轨道图形,改进 Euler 迭代格式,对上面方程组用改进Euler 迭代格式,其中,任务：写出这方程组的改进Euler迭代格式,并用Matlab 实现,艾萨克 牛顿 Sir Isaac Newton,(英格兰 16431727年),物理学家 数学家 天文学家,哲学家, 炼金术士 造币厂总监, 科学史上最有影响力的人, 较之科学他更多致力于圣经的研究, 专心于科学研究到痴情,What Descartes did was a good step you have added much several ways & especially in taking
7、 the colors of the thin plates into philosophical consideration.,If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants., 牛顿的一句名言, 性格内向 独身一生,在确定行星轨道为椭圆以后可取 t = T/4,（需要取比较小的步长h）,近日点的确定,处 r 的值为近日点，也可以求 r 的最小值作为,近日点距离, 相应点的速度怎么求 ？,可以求得地球的近日点距太阳,rmin = 1.4711011 m,而在第100天结束时的位置，则只要求这个时间tk,所
8、对应的 rk 就可以了，此时,r = 1.4931011 m,微分方程的 Runge-kutta 方法,以一元为例,设步长为h,则,（Taylor 展开）,其中,可以求出各阶导数,计算高阶导数 代之以 f 在一些点的值的组合,当Taylor 展开到四阶项，可取,其中,Runge-Kutte迭代格式,在Matlab可以直接调用,使用Matlab,function dy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C12/y(2)3-MG/y(2)2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)2;,先定
9、义一阶微分方程组函数组,再调用Runge-kutte方法专用程序：,function T=m5_2(h)t,y=ode45(m5_2_fun,0:h:400*24*3600,0,1.521e11,0);n=max(find(y(:,3)2*pi); %查找小于2pi所对应的最大n值T=t(n);r=y(round(n/2),2);polar(y(:,3),y(:,2),取不同步长实验结果,表2,两个小软件展示,实验任务,任务2.水星距太阳最远处距离为0.69821011m,此时水星绕太阳运行的线速度为3.886104 m/s,画出水星绕太阳运行的轨道曲线,试求:,1) 水星绕太阳运行的周期,2) 水星到太阳的最近距离,3) 求从远日点开始的第50天(地球天),结束时水星的位置,任务4. 冥王星在1989年10月处于近日点距,太阳44.4 1011m,此时其线速度为0.6122,104 m/s, 试求:,1) 它在什么时间到达远日点，此时它的,2) 远日点到太阳的距离；,3) 其椭圆轨道的偏心率并作图,线速度为多少 ?, 完成此任务或任务2的不同方法应作比较,先仔细阅读教材中解析方法推导开普勒第一,有引力定律，试完成这个推导,任务3. 利用开普勒三定律，也可以推导出万,和第三定律，然后完成如下的：,谢谢各位！,
