1、第 六 章聚焦纤维透镜,前言 6.1 聚焦纤维透镜的折射率分布 6.2 聚焦纤维中的光线轨迹 6.3聚焦纤维透镜成像特性 6.4聚焦纤维透镜的像差及测量 6.5聚焦纤维透镜的应用,内容提要,均匀介质 传像光纤集束技术光纤图像传输 位相变换器传统光学工程: 光学玻璃、塑料，折射率梯度为零。非均匀介质梯度折射率平板 棱镜,前言,径向梯度折射率分布透镜 轴对称层状梯度折射率平板柱透镜 光线沿光纤作正弦曲线变化，这样不仅较阶跃光纤损耗小，而且避免了阶跃光纤中不同模传播速度不同的弊病。 非均匀介质光线轨迹满足费马原理:ds:沿AB微分元。,梯度折射率光学,轨迹:x(s)、y(s)、z(s)非均匀介质中的
2、光线方程,聚合物光纤自聚焦透镜阵列,进行梯度聚合物光纤的元器件如梯度折射光纤透镜的研制，对其成像和像差等相关特性的研究，在扫描仪、复印机等设备中得以应用。同时该研究对提高局域网用聚合物梯度折射率光纤的带宽和质量具有重要意义,光纤传感斐索自聚焦光纤透镜干涉仪,SI与GI POF的色散机制,1.25 Gbps 梯度折射率光纤（传输实验),图1 GI聚合物光纤损耗特性,图2 GI聚合物光纤,图3 50G示波器测量的1.25Gbps电调制信号眼图,图 4 直接调制650 nm LD 的1.25Gbps光信号眼图（Back to back eyediagram）,6.1 聚焦纤维透镜的折射率分布,聚焦纤
3、维：一种对光线能起会聚作用的梯度折射率纤维，它的折射率是离纤维轴逐渐减小的。纤维成像条件可用下式表示:,如图6.1.1所示，式中ds为离轴距离为r的光线轨迹的长度元,由折射率定律得:,(6.1.1),图6.1.1 光线通过聚焦纤维的轨迹,式中n(0)为纤维轴上折射率， 为光线离轴线最大距离，是光线与z轴之间的夹角， 是光线最大振幅处的折射率,(6.1.2),可将式(6.1.2)改写成:,由于dr/dz表示路径曲线在某点切线的斜率，所以有:,(6.1.3),(6.1.4),(6.1.6),由此可求得光线的微元ds,(6.1.5),将方程(6.1.5)代入式(6.1.6)可得:,(6.1.7),因
4、为光线在纤维中的轨迹是弯曲的，如果是一种正弦振荡，即:,(6.1.8),式中 特性参数， 为周期长度,考虑到z=0时， 。所以,这里,(6.1.9),(6.1.10),而由式(6.1.5)和式(6.1.10)有:,(6.1.11),由此可得:,(6.1.12),将式(6.1.7)和式(6.1.12)代入式(6.1.1)，则有:,(6.1.13),(6.1.14),令 ，则式(6.1.13)变换后再进行积分，结果是:,这个结果显然不是一个常数，而是随着不同的 而改变。如果考虑近轴光线，有cos 1，而sin 1，故式(6.1.14)就为:,(6.1.16),(6.1.17),(6.1.15),说
5、明在轴上一点所发出的近轴光线聚焦在zl的一点。对于近轴情况，方程(6.1.12)折射率分布函数为:,上式分布称为抛物线型分布，通常用作波导的梯度折射率光纤的折射率是按抛物线分布沿径向递减的。,如果假定折射率分布是一种双曲函数形式，即:,用这种分布函数，方程(6.1.1)就为:,(6.1.20),(6.1.19),(6.1.18),在上式中，令 ，则式(6.1.18)就为:,由方程(6.1.2)和(6.1.17)有:,所以,(6.1.22),(6.1.21),因此式(6.19)就变为:,很显然，该式对 为任何值的光线均符合说明轴上点所发出的任何子午光线均聚焦在沿轴距离 处。式(6.1.17)为子
6、午精确分布式。很清楚，当 时，方程(6.1.17)简化为方程(6.1.16)。,对于螺旋光线(即以螺旋型路线通过纤维而离纤维轴距离保持不变的一种光线)，行进路程中的折射率是不变的。为了满足路程长度不变，光线在每绕轴一圈时必须沿轴行进距离 ，光线可以在一平面上展成一直线，路程的长度等于,(a) (b) 图6.1.2 螺旋型空间光线及展开,所以路程长度不变的条件为:,即,(6.1.24),(6.1.23),这就是螺旋光线的精确分布式。由此可知，对于子午光线是理想的折射率分布而对于螺旋光线就不是理想的，反过来也一样。所以要建立完全理想的成像系统是不可能的。,通常只考虑子午光线，只要不把严格的成像系统
7、作为问题，即使忽略 以上的高次项，在计算成像时也没有问题。因此，折射率分布都可近似为二次抛物线分布，和公式(6.1.16)是相同的。,6.2 聚焦纤维中的光线轨迹,聚焦纤维的折射率分布一般可用式(6.1.16)的近似式表示:,(6.2.1),为使公式简单，上式把折射率沿径向的变化n(r)表示为n，轴上折射n(0)表示为 ，A是折射率变化特性常数，r是纤维上某点至轴的距离。这里只考虑近轴的子午光线,非均匀介质中的光线方程为:,式中r为光线路径上点的位置矢量，s为沿光线上弧长，是梯度算符，如图6.2.1所示。现在用直角坐标来讨论，仍取z为轴向，对近轴光线，ds近似于dz，则xoz平面内的光线方程为
8、:,(6.2.2),(6.2.3),图6.2.1 “非均匀介质”中光线方程说明图,柱形纤维中的折射率对z轴对称，式(6.2.1)可该写成:,(6.2.4),因折射率n沿轴向z不变，即 ，且假定 ，由式(6.2.4)得纤维透镜中得光线方程:,(6.2.5),它的通解即光线轨迹为:,求导可得光线轨迹曲线得斜率:,(6.2.7),(6.2.6),其中积分常数B、C可由初始条件确定。,其中积分常数B、C可由初始条件确定。,设入射光线在聚焦点z=0处，以斜率 入射在x= 点，则求得B= ，C= / ，代入式(6.2.6)和(6.2.7)，则有:,轨迹曲线(6.2.8)也可改写为:,(6.2.9),(6.
9、2.8),(6.2.10),由此可知，通常情况下子午光线的轨迹是一个初相位不为零的正弦曲线，入射的斜率 越大，振幅r越大；而特性常数A越大，振幅r越小。所以，当一般非平行于z入射时，为了使光线在轴线附近进行，应使A值大一些，也就是要使聚焦纤维透镜的折射率变化快一些。,把式(6.2.8)和(6.2.9)表示为矩阵形式:,(6.2.11),聚焦纤维透镜的光线矩阵：此式表明给出了光线的初始条件，位置 和斜率 ，我们就可确定光线在聚焦透镜中的传播情形。,下面对两种入射情形作具体讨论:,(1)光线斜入射在聚焦纤维透镜轴上的情形。 在子午平面内，设入射光线和聚焦纤维轴成 角入射，进入透镜后与轴成 角，则有
10、 ，这时光线轨迹方程为:,可知这时光线在聚焦纤维透镜中的轨迹是初位相为零的正弦曲线，如图6.2.2所示,(6.2.13),(6.2.12),图6.2.2 斜入射于轴上时光线的轨迹,曲线振幅为:,周期为:,聚焦纤维端面最大孔径角可以用过轴的光线来讨论。聚焦纤维的数值孔径：聚焦纤维端面所处的媒质的折射率n的最大接收角正弦的乘积，即:,(6.2.14),在聚焦纤维中光线轨迹的最大振幅：等于纤维的半径即 ，故有:,(6.2.15),(6.2.16),(6.2.17),所以可得:,若 ，则近似有:,(6.2.19),(6.2.18),假定聚焦纤维边缘折射率为 ，则:,这样有：,(6.2.20),(6.2
11、.21),特性常数A：知道了聚焦纤维半径 和折射率的最大差值n值及中心折射率 就能计算。显然在折射率差值相等的条件下，纤维直径越小，A值就越大。由于,(6.2.22),得:,(6.2.23),(6.2.24),所以由式(6.2.15)，有:,如果介质为空气，则 =1，且n0为实像， L0为正立像， m1为放大像， |m|0，m0，为正立的虚像，如图6.3.5所示。当 ，即 时，此时L，成像在无限远处。,图6.11 聚焦纤维透镜长度小于1/4周期的成像,(2)在 时， ， 。此时有L0，m0，为倒立的实像，如图6.3.5所示。利用这一情况可制成超短焦距透镜.其,图6.3.5 聚焦纤维透镜长度等于
12、1/4周期的成像,(3)在 时， 当 时，有L0，m0，m0，为倒立的实像，如图6.3.6所示,图6.3.6 聚焦纤维透镜长度在1/41/2周期之间的成像,(4)在 时， ， 。此时有L= 0，m0，为正立实像；当 时，L0，m0，m0，为正立的实像。如图6.3.9所示。,图6.3.9 聚焦纤维透镜长度为3/4周期的成像,(7)在 时， ， 当 时，有L0，为正立的虚像。当 时，同样此时成像在端面上，为正像。当 时，有L0，m0，为正立的实像。如图6.3.10所示,图6.3.10 聚焦纤维透镜长度为3/41周期的成像,(8)在 时， ， 。此时有L=- 0，m=1，故为正立的放大率为1的虚像；
13、当物距 =0，两端面共轭，在端面成一个放大率为1的正像。,图6.3.11 聚焦纤维透镜长度为1个周期的成像,上面就聚焦纤维的长度、中心折射率、特性常数以及物距和像距组成不等式进行了讨论，但必须注意 的正负号在不同的区间是不同的.,通过以上研究，可以看出自聚焦透镜成像的另一些优点:,1。可以在透镜端面上形成实像，2。容易获得与物体同样大小的直立实像，3。能够得出在光学成像上相当于几个球透镜的单个透镜，,6.4 聚焦纤维透镜的像差及测量,聚焦纤维透镜，无论其折射率是抛物线分布:,还是双曲线分布:,(6.4.1),(6.4.2),像差,光学系统并不能使来自物点的全部光线都会聚于一点,也不能使像与物的
14、形状完全相似,球差慧差像散综合高级像差,场曲畸变,都会产生像差,这里仅讨论自聚焦透镜的球差，如图6.4.1所示，从物平面上点追迹一条实际光线，求得其在理想面上的交点，改交点到轴的距离TA 称为这条光线对于近轴光线的横向球差，而这条实际光线与光轴的交点到理想像面的距离LA 称为这条光线的纵向球差，显然LA可能是正的也可能是负的,图6.4.1透镜的球差,由几何关系：,而:,其中 为近轴光线与光轴的交点到出射端的距离， 为实际光线与光轴交点到出射端的距离。,(6.4.4),(6.4.3),单独存在球差时的波像差初级项可表示成:,(6.4.5),式中第二项是考虑进离焦时的波面误差。,测量普通光学透镜像
15、差通常有刀口法和哈德曼法，由于自聚焦透镜口径小，仅有12mm，用上述方法很不方便，所以这里介绍一种用全息双频光栅测量自聚焦透镜像差的方法。,全息双频光栅测量方法：,全息双频光栅是用双曝光技术，在全息干板上记录两套空间频率像差甚微的正弦光栅。这样入射光波面在两套光的1级衍射方向上就被剪切开了一个小量，产生波面剪切干涉。对两套空间周期分别为 和 的光栅,双频光栅对入射光波面的角剪切量有:,(6.4.6),(6.4.7),定义其拍频的空间周期d为:,若观察屏到光栅的轴间距离为z，则横向剪切量:,对旋转对称光学系统，可只对其中一个方向进行剪切，这时式(6.4.5)波像差函数可写成:,由剪切引起的在观察
16、屏上某点x处形成干涉的两相干光线x1和x2的光程差 (如图6.4.2所示)为:,(6.4.9),(6.4.8),(6.4.10),图6.4.2双频光栅测透镜像差原理图,在观察平面上，暗条纹处每点对应一对光程差为/2奇数倍的相干光线，亮条纹则为偶数倍。其中，暗条纹或亮条纹的位置坐标x按下式求得:,(6.4.11),通过对第n级暗(亮)条纹及其位置坐标x的追迹，可以得出数组式(6.4.10)的方程组，两两联立求得数组 和 ，最后取式(6.4.10)中的系数a和b分别为数组 和 的平均值，记为 和 :,这样，对应不同位置坐标x处的干涉现场中的条纹间距x可以按下面方法计算:,(6.4.13),(6.4
17、.12),相对于位置坐标x，由几何关系可以求出 和 ，对应一个x值，有一组A，B的值.,取A， B的平均值 ， 则求出球差的函数式:,用于测量自聚焦透镜像差的实验装置如图6.4.3所示，,图6.4.3 测量自聚焦透镜像差的剪切干涉光路,(6.4.14),He-Ne激光束直接耦合待测自聚焦透镜GRIN，双频光栅DH放置在自聚焦透镜的焦平面附近，其拍频周期d=0.008mm，平均衍射角 =27.8，K为观察屏。当轴间距离z=119.5mm时，横向剪切量x=9.9mm,图6.4.4 自聚焦透镜的 球差曲线,图6.4.4是用双频光栅剪切干涉法测量的自聚焦透镜的球差曲线。,该自聚焦透镜的直径是1.33
18、mm，数值孔径是0.15，1/4周期长度是12.36mm。透镜本身的长度是11.38mm。实验表明这种测量自聚焦透镜像差的方法是简单、有效和方便的,6.5 聚焦纤维透镜的应用,随着聚焦纤维透镜研究的进一步深入，制作工艺的不断改进和透镜质量的不断提高，聚焦纤维透镜的应用也越来越广泛。,应用,透镜链,低像差透镜,微型纤维透镜,应用光学系统中。例如准直透镜，摄影物镜，显微物镜，光通信中的耦合、连接、开关及复印传真机中的纤维透镜阵列等等,在集成光学中，在同一元件上做成微型激光器、光波导、光放大器、光开关、光耦合器,6.5.1 在光纤通信中的应用,在光纤通信中，除了要有理想的光源、光导纤维和接收元件之外
19、，还要解决各部分之间的光耦合、连接、分路等问题。因聚焦纤维透镜端面使平面，它能直接粘合到光纤或其它元件上，而得到一个紧凑、稳定和牢固的整体结构。,下面介绍聚焦纤维透镜在耦合器和波分复用器中的应用,1.耦合器,如果在激光器LD发光面和光纤端面之间用聚焦纤维透镜耦合就可以把发光面成像到光纤端面上。从而增加光纤端面的光功率密度，使耦合效率提高到50%。,图6.5.1 聚焦纤维透镜的耦合作用,体积小，便于密封在激光器内，使激光器封装起来,重要特点:作平行透镜对使用,两个聚焦纤维透镜对之间的准直光束中插入偏振器和法拉第旋光器，就可以做成隔离器，隔离器是用来阻止从光纤端面和其它器件反射回来的光束进入光源，
20、使光源稳定，从而可提高通信系统的传输质量和可靠性。,图6.5.2 聚焦纤维透镜隔离器,从左边入射的光束经过聚焦纤维透镜称为大致平行的光束，经=0的偏振器后，唯有偏振方向与光轴平行的光能继续前进。其偏振光在法拉第旋光器中旋转45，经=45的偏振器和聚焦纤维透镜后与光纤耦合，从光纤一端反射回来或从器件反射回来的光经=45的偏振器后即变成与光轴成45的偏振光。由于偏振光不能在=0的偏振器中通过，从而起到隔离的作用,另外，由于这种连接器聚焦纤维透镜之间可以有一定的距离，因此在聚焦纤维透镜之间准直光束中可插入衰减器,聚焦纤维透镜还可以用作光开关，光开关是使光信号从一条传输通道转换到另一条传输通道的器件。
21、这里介绍一种棱镜移动机械式开关,图6. 5.3所示的是用全反射棱镜和聚焦纤维透镜做成的一组转换开关。,图6.5.3 聚焦纤维透镜光开关,移至上方,移动透镜,光波就在上方光纤和中间光纤中进行耦合,光就在中间光纤和下方光纤之间的耦合,移至下方,2.波分复用器,波分复用器是使大量的光信道以不同波长在一根光纤中传播的技术,目前光纤通信中使用的波分复用方法较先进的是密集波分复用。例如在1.55m波段的15401565nm之间使用32各波道，每个波道之间间隔在1nm左右，使光纤通信的传输容量提高几十倍。,根据波长敏感元件，一种是采用干涉滤光片的波分复用器，如图6.5.4所示。,图6.5.4 干涉滤光片型波
22、分复用器,这种结构紧凑、稳定而且容易制作。缺点是复用路数不多,另一种是衍射光栅型复用器的结构如图6.5.5所示。聚焦纤维透镜一端有光栅，另一端与输入输出光纤对准。光束从光纤入射聚焦纤维透镜后变成准直光束，再射入衍射光栅。衍射一个角度(各波长角度不同)后再通过聚焦纤维透镜变成会聚光，然后分别耦合到不同的输出光纤中。,图6.5.5 衍射光栅型波分复用器,优点：复用路数多，损耗低但一般只能作分路器，不能作合路器,6.5.2 在复印机中的应用,对于横向放大率m=1的聚焦纤维透镜，在式(6.3.16)中，设L= ，则有:,这里一旦加上正立、倍、实像的条件，图6.5.6表示 与L的关系曲线。从6.5.6可
23、知，透镜长 必须介于和2之间，把这种透镜排列成直线形式，就可以进行1:1的图像变换。,(6.5.1),图6.5.6 与L的关系曲线,以前，一直使用着将3块球面透镜组合的方法，在传送大幅图像时，就需要将作用距离放长。为了得到1:1的目标像，其共轭长度一般是焦距的四倍。采用聚焦纤维透镜阵列后可大大地缩短其共轭长度如图6.5.7所示,图6.5.7 聚焦纤维透镜共轭长度,聚焦纤维用热拉伸的办法可做成锥形聚焦纤维透镜。在垂直于轴的任意截面上，它的折射率仍呈抛物线分布，可用下式表示:这里r=r1-kz，k=(r1-r2)/z，r1、r2是锥形透镜两端的半径，z是长度。如图6.30所示。,6.5.3 锥形聚焦纤维的应用,(6.5.2),图6.30 锥形聚焦纤维示意图 锥形聚焦纤维可用作光 耦合器，多路复用等场合。还可以用作传光，比普通光纤优越的地方在于，它传送的波前不被扰乱，这样就保证了超高速光脉冲低畸变传送。同时，聚焦纤维外表的缺陷不影响光传送。,r1/r2=25，=632.8 ，=0.4%。光二极管接收单位面积光强可大大增加。,
