1、1,第四章 力学量用算符表示与表象变换,4.1 算符的运算规则,2,线性算符：,如果算符满足下列条件,则算符是线性算符,3,刻画可观测物理量的算符都是线性算符。,（通常）,4,这是算符最基本的运算。,对于任意的波函数都成立,5,6,（4）算符对易,讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。,若相等,则对易。,即,比如将要讨论的位置算符,7,而,因为对任意波函数：,那么,8,若一力学量有经典对应，可用这个关系导出其对易式。,对易关系的运算性质：,9,角动量算符的对易关系,角动量,在直角坐标系中的分量表达式,10,其中,11,类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：,下
2、面证明与角动量平方有关的一个对易式。,12,13,得证。,14,有关角动量的升降算符及其对易关系,引进升降算符,（希望会证）,下面看角动量算符在球坐标中的表示,15,在球坐标中，,以及,利用,16,从而有,17,可以理解吗？,18,显然,得证。,（课下证）,19,由于,又由于,所以,上述算符方程两边同左乘以,所以,20,将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。,例 动量算符的复共轭算符,（4）转置算符,21,利用内积的定义，有,则转置算符的表达式也可以写为,即：去掉“”，换位复共轭。要会转换！,一维粒子,三维粒子,其中对体积元：,22,对任意满足标准条件的波函数、,？,23,（5）厄米共轭算符,
3、显然在坐标表象中,同样可以证明,作业：1. P87 练习1 2. P90 练习3,24,按照转置算符A的定义，有,故对任意态和，有,25,利用转置的性质，可以证明：,下面介绍一个特别重要的算符,厄米算符：,满足下列关系的算符是厄米算符,或,所以,提示：可以首先证两个算符的关系,26,利用厄米共轭算符的定义式,结合上页定义可以得到,因此，厄米算符的定义式也可以写为,27,（已经知道 ）,28,在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。,证明：,介绍个定理:,29,在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。,证明：,存在逆定理:,30,所以,即,31,上面两式分别相加减，得,满足
4、厄米算符的定义,在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？,32,因此相应的算符对应于厄米算符,物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数,即物理可观测量用厄米算符表示。,而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。,即 厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。,33,前面我们介绍了几个算符：,复共轭算符,厄米共轭算符,逆算符,转置算符,单位算符,厄米算符,算符都有的属性：,单位算符,复共轭算符,转置算符,算符可能有的属性：,逆算符,厄米共轭算符,厄米算符,要注意区别使用。,34,（6）算符的函数,类似地，可定义算符的函数,35,例：,不难看出，利用泰劳展开，有,先对算符求n次导数
5、再令算符为0求值,36,两个或多个算符的函数可类似地定义,类似于多元函数,作业：p131-132 1,2 p162 3,37,4.2 厄米算符的本征值与本征函数,1、本征值与本征函数,处于 态中，测量力学量A，可得到各种值，这些值有一定的几率分布。,对于都用来描述其状态的大量相同体系进行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向于一个确定的值。,见下表：,38,多次测量,定义每一次测量结果范围绕平均值的涨落-,39,即由上式得,40,上述方程加上相应的数学和物理要求（边界条件），构成了量子力学的本征值问题，解此问题可得力学量的本征值和本征函数。由此有,此时,41,量子力学的又一基本原理：,42,下面
6、介绍两个定理：,定理1 厄米算符的本征值必为实数 （要会证）,定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。,证明：,43,以上两式相减，得,对方程,44,2、举例,解：这是个定轴转动问题，z为转轴，变量为,本征值方程为,45,解之得,利用周期性边界条件,46,所以，相应的本征函数为,47,解：,与以上问题的区别这里求的是能量的本征值和本征态,考虑绕z轴转动的平面转子(如右图)。,式中I为转动惯量。,其Hamiltonian为,48,或简写为,其正交归一化的解可取为Lz的本征态,相应的本征能量为,与第一章习题4(p14)结果进行比较。,49,也就是说，能量是二度简并的。,发现：,平面转
7、子的角动量z分量本征态和能量本征态可具有相同的函数形式。,为什么？,50,解：动量的x分量的本征值方程,动量的本征值,上式改写为,其解为,51,习惯上取,则有,平面波的“归一化”就用函数的形式表示了出来。,52,在三维情况下，动量算符的本征值方程是,动量算符的本征值,在直角坐标系中的三个分量px, py 和pz均为实数。动量本征值方程的解是,53,54,一维自由粒子的Hamiltonian为,或简写为,55,相应的能量本征值为,问题：,为啥具有相同的本征态？,一维粒子动量与能量算符具有相同的本征态,发现：,有何意义？,56,2、简并度问题,即力学量A的本征值方程为,57,而且一般说这些简并态不一定彼此正交。,下面介绍的Schmidt正交化方法就是经常采用的方法。,但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加使之彼此正交。,58,59,对于正交条件,取组合,60,尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数彼此正交，不管它们是否简并。,61,在常见的一些问题中，当出现简并时，为了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性问题将自动得到解决。这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态问题。下节课予以介绍。,作业：,P94 Ex. 5 P133 12,
