1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测( 四)考点 4 数 列 经典易错题会诊 命题角度 1 数列的概念命题角度 2 等差数列命题角度 3 等比数列命题角度 4 等差与等比数列的综合命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度 6 数列的应用探究开放题预测预测角度 1 数列的概念预测角度 2 等差数列与等比数列预测角度 3 数列的通项与前 n项和预测角度 4 递推数列与不等式的证明预测角度 5 有关数列的综合性问题预测角度 6 数列的实际应用预测角度 7 数列与图形经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1(典型例题)已知数列a n满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+
2、(n-1)an-1,(n2)，则a n的通项 an=_.考场错解 a n=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，a n-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得 an-an-1=(n-1)an-1，a n=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a 2=2a1，由叠乘法可得an= 2!专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n的范围当 n=1时，a 1=1与已知 a1=1，矛盾对症下药 n2 时，a n=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 当 n3 时，a n-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an
3、-1当 n3 时，na=n，a n= 1a 2n 234a=n43a2= !na2，a 2=a1=1#*当 n2 时，a n= 2! . 当 n=1时，a 1=1故 an=).2(2!11n2(典型例题)设数列a n的前 n项和为 Sn,Sn= 2)13(对于所有 n1)，且a4=54，则 a1的数值是_.考场错解S n= 2)13(= 3)(a,此数列是等比数列，首项是 a1，公比是 3，由a4=a134-1，a 1=2专家把脉 此题不知数列a n的类型，并不能套用等比数列的公式而答案一致是巧合对症下药a 4=S4-S3= 21(34-1)- 1a(33-1)=54，解得 a1=2 3.(典
4、型例题)已知数列a n满足 a1=1，a n=3n-1+an-1(n2)(1)求 a2，a 3；(2)求通项 an的表达式考场错解 (1)a 1=1，a 2=3+1=4，a 3=32+4=13 (2)由已知 an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即 an成等差数列，公差 d=3n-1故 an=1+(n-1)3n-1专家把脉 (2)问中 an-an-1=3n-1，3 n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义对症下药 (1)a 1=1，a 2=4，a 3=32+4=13(2)由已知 an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a
5、1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=213n.4(典型例题)等差数列a n中，a 1+a2+a3=-24，a 18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220考场错解 由通项公式 an=a1+(n+1)d.将 a2,a3，a 18，a 19，a 20都表示成 a1和 d.求a1、d，再利用等差数列求和，选 C专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多对症下药 B 由公式 m+n=2Pam+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a 2=-24
6、由 a18+a19+a20=78，可得：3a 19=78 即 a2=-8，a 19=26又S 20= )(01a=10(a2+a19)=180 2(典型例题)若a n是等差数列，首项 a10，a 2003+a20040，a 2003a20040，则使前 n项和 Sn0成立的最大自然数 n是 ( )A.4005 B4006 C.4007 D.4008#*考场错解 a 2004+a20030，即 2a1+2002d+2003d0，(a 1+2002d)(a1+2003d)0即使 na1+ 2)(nd0这样很难求出 a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a 20040专家把脉 此
7、题运用等差数列前 n项的性质及图象中应注意a 20030，a 20040，a 2003+a20040，a 2003a20040，且a n为等差数列 a n表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且 a2003是绝对值最小的正数，a 2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a 2003|a 2004|在等差数列a n中，a2003+a2004=a1+a40060，S 4006= 2)(40640610 使 Sn0 成立的最大自然数 n是 4006 3(典型例题)设无穷等差数列a n的前 n项和为 Sn.()若首项 a1= 23，公差 d=1，求满足 Sk2=(Sk)2的正整数 k;(
8、)求所有的无穷等差数列a n ；使得对于一切正整数中 k都有 Sk2=(Sk)2成立考场错解 (1)当 a1= 23,d=1时，S n= 21n2+n，由 Sk2=(Sk)2得 1k4+k2= ，即k=0或 k=4 k0故 k=4()由对一切正整数 k都有 Sk2=(Sk)2成立 即 k2a1+ )(2d=(ka1+ dk2)()2即(a1- 2a)k2-adk2(k-1)+ dk2(k2-1)- 4dk2(k-1)2=0对切正整数 k恒成立 故 0,1da求得 a1=0或 1，d=0 等差数列 an=0,0,0, ，或 an=1，1，1， 专家把脉 ()中解法定对一切正整数 k都成立而不是一
9、切实数故而考虑取 k的特值也均成立对症下药 ()当 a1= 23,d=1时，S n=na1+ .21)(23)( nnd由 Sk2=(Sk)2,得21k4+k2=( k2+k)2，即 k3 )4(=0.又 k0，所以 k=4()设数列a n的公差为 d，则在 Sk2=(Sk)2中分别取 k=1,2,得).(21(234)1,.)(,241aaS即由（1）得 a1=0或 a1=1. 当 a1=0时，代入（2）得 d=0或 d=6.若 a1=0,d=0,则an=0,sn=0,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18， （S 3） 2=324,S9=
10、216知 S9(S 3)2，故所得数列不符合题意.当 a1=1时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得 d=0或d=2.若 a1=1,d=0,则 an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=1,d=2,则 an=2n-#*1,Sn=1+3+（2n-1）=n 2,从而 Sk2=(Sk)2成立.综上,共有 3个满足条件的无穷等差数列:a n：a n=0,即 0，0，0，；a n:an=1,即 1，1，1，；a n:an=2n-1,即1，3，5，.4.(典型例题)已知数列a n的各项都是正数,且满足:a 0=1,an+1= 21an(4-an),nN.(1)证明 ana n+12
11、,nN.(2)求数列a n的通项公式 an.考场错解 用数学归纳法证明：（1）1当 n=1时，a 0=1,a1= 2a0（4-a 0）= 23,a 0a 12,命题正确.2假设 n=k时有 ak-1a k2.则 n=k+1时，a k-ak+1= 21ak-1(4-ak-1)- 21ak(4-ak)=2(ak-1-ak)- 21(ak-1-ak)(ak-1+ak)= 21(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而 ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,a k-ak-10.又 ak-1= ak(4-ak)= 4-(ak-2)22.n=k+1 时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有 an
12、a n+12.(2)an+1= 2an(4-an)= 21-(an-2)2+4.2(a n+1-2)=-(an-2)2a n+1-2= 21(an-2)2令 bn=an-2,b n=-( )1+2+2n-1b1又b 1=a1-2=- 2.b n=-( 1)2n+2n-1.即 an=2-( )2n+2n-1.专家把脉 在（）问中求 bn的通项时，运用叠代法.最后到 b0而不是 b1.对症下药（）同上，方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1时，a 0=1,a1= 2a0(4-a0)= 23,0a 0a 12;2假设 n=k时有 ak-1a k2 成立，令 f(x)= x(4-x),f(x)在0，2
13、上单调递增，所以由假设有：f(a k-1)f(a k)f(2),即 21ak-1(4-ak-1) 21ak(4-ak) 212(4-2),也即当 x=k+1时 aka k+12 成立，所以对一切 nN,有aka k+12(2)下面来求数列的通项：a n+1= 21an(4-an)= 21-(an-2)2+4,所以 2（a n+1-2）=-(a n-2)2令 bn=an-2,则 bn=- 21=- (- b)2=- ( )2 1b=-（ ） 1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以 bn=-( )2n-1,即 an=2+bn=2-( 1)2n-1专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若 m+
14、n=p+q,则 am+an=ap+aq”；等差数列前 n项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进#*行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.考场思维训练1 在等差数列a n中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9- 31a11的值为 ( )A.14 B.15 C.16 D.17答案： C 分析：略。2 等差数列a n中,若其前 n项的和 Sn= m,前 m项的和 Sm= n(mn,m,nN *),则 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4S m+n-2答案： B 分析：略。3
15、数列a n是公差 d0 的等差数列，其前 n项和为 Sn,且 a10=1, .2159a()求a n的通项公式；答案：由已知 a1+9d=1 因为 a29 ,0)(,0, 1592595 aa即所 以因为 d0,所以 a9+a15=0,即 a1+11d=0 由解得 .2,1d.26na所 以()求 S的最大值；答案：解 an=6- ,0得 n12,所以，数列a n前 11，12 和最大， 3)21(211 S()将 Sn表示成关于 an的函数.答案：由 a 3214)21(3)21(,423,216 nnnnnn aaaS所 以又得4在数列a n中 a1= ,a2= 85,且 log2(3a2
16、-a1)log(3an+1-an),是公差为-1 的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2a n+1-an,是等比数列，公比为 q，|q|1,这个等比数列的所有项之和等于 .(1)求数列a n的通项公式;#*答案：设 bn=log2(3an+1-an),因为 b n是等差数列，d=-1.b 1=log2(3a2-a1)=log2.)1(13log)1853( 于 是即 log2(3an+1-a)=-n,所以 3an+1-an=2-n 设 cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为 q,|q|1,c1=2a2-a1=2.92385由 即于 是解 得 ,)31.(2).(9.311 nn
17、cqa.)(22nn由, 解得 ).()31nan(2)计算 lim(a1+a2+an).答案： lim(a1+a2+an).1)2.( 31)2(lim)(3()(li22n nnn 5已知数列a n是公差 d0 的等差数列，其前 n项和为 Sn.(1)求证：点 P1(1, S),P2(2, S),Pn(n, S)在同一条直线 l1上;1. 答案：因为等差数列a n的公差 d0, 所以.21,2)(1dkadkaSk 当 ).,32(),(21)(1,)( 1nkpkdkakS 是 常 数即是 常 数时所以 P2，P 3，P n都在过点 P1(1,a)且斜率为常数 的直线 l1上.(2)过点
18、 Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线 l1、l 2,设 l1与 l2的夹角为 ，求证：tan 42答案：直线 l2的方程为 y-a1=d(x-),直线 l2的斜率为 d.#*tan= .42|1|212|1 dddd当且仅当 .|,| 时 等 号 成 立即命题角度 3 等比数列1(典型例题)数列a n的前 n项和记为 Sn,已知 a1=1,aa+1= nS2(n=1,2,3).证明:()数列 nS是等比数列；()S n+1=4an.考场错解 ()已知 a1=1,an+1= nS2,a 2=3S1=3,S 2=4 a3= 24S2=24=8.S 3=1+3+8=12.即 4,1SS.故 n
19、S是公比为 2的等比数列.()由()知 1n=4 ,1于是 Sn+1=4(n+1) ,1nS=4an.又 a2=3.S2=a1+a2=4,因此对于任意正整数 n1,都有 Sn+1=4an.专家把脉 ()中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明. ()中运用前推一项必须使 n2.对症下药 () a n+1=Sn+1-Sn,an+1= 2Sn,(n+2)S n=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1)=Sn,所以 1Sn=2 故 S是以 2为公比的等比数列.()由()知 =4 ,1n(n2).于是 Sn+1=4(n+1) ,1nS=4an(n2).又 a2=3S1=3,
20、 故 S1=a1+a2=4.因此对于任意整数 n1,都有 Sn+1=4an.2.(典型例题)已知数列a n的前 n项和为 Sn,Sn= 3(an-1)(nN *).() 求 a1,a2;()求证数列a n是等比数列.考场错解 ()S 1= 3(a1-1),得 a1=- 2,S2= 3(a2-1),即 a1+a2= 3(a2-1),得 a2= 41.()a n=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),得 1n,所以a n是首项为- ，公比为- 的等比数列.专家把脉 在利用 an=Sn-Sn-1公式时,应考虑 n2 时才能成立.#*对症下药 ()由 S1= 3(a1-1), 得 a1=
21、 3(a1-1),a 1=- 2.又 S2= 31(a2-1),即a1+a2= 3(a2-1),得 a2= 4. ()当 n1 时,a n=SnSn-1= 31(an-1)- (an-1-1),得 1na=- 2,所以a n是首项为- 21,公比为- 2的等比数列.3.(典型例题)等比数列的四个数之和为 16,中间两个数之和为 5,则该数列的公比 q的取值为 ( )A. 41 或 4 B. 或 835 C. 4或- 41 D. 4或 或 835或 8415考场错解 设这四个数为 qa,3,aq,aq3.由题意得 ),2(5164aq由得 a=21,代入得 q=21或 q2= 2.q2= 41或
22、 q2=4,故所求的公比为 4或 4.故应选 A.专家把脉 上述解答设等比数列的公比为 q2是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象.对症下药设这四个数为 a,aq,aq2,aq3,则8415,5,1623 或或解 之 得 qaq或- 8415.因此,应选 D.4.(典型例题)设数列a n的首项 a1=a 4,且 an+1=,32,41212bnann记为 奇 数为 偶 数()求 a2,a3;()判断数列b n是否为等比数列,并证明你的结论;()求 lim(b1+b2+b3+bn).#*考场错解 ()a 2=a1+ 4=a+ ,a3= 21
23、a2= a 8;()b n+1=a2n+1- 44. 212nnab.()求 nlim(b1+b2+b3+bn)= lim41)(nb= 314)(341aab.专家把脉在求证 bn是等比数列是时， 2na式子中，an 中 n为偶数时， 21na 是连续两项，并不能得出 412na.对症下药()a 2=a1+ =a+ ,a3= 2a2= 1a+ 8;()a 4=a3+ = a+ 8,所以 a5= a4= a+ 6,所以 b1=a1- 4=a- ,b2=a3- 41= (a- ),b3=a5- 1= (a- ),猜想:b n是公比为 21的等比数列.证明如下:因为 bn+1=a2n+1- 4=
24、a2n- = (a2n-1- 41)= 2bn,(nN *)所以b n是首项为 a-41,公比为 2的等比数列.()求 nlim(b1+b2+b3+bn)= lim).41(212)(1abbn专家会诊1.证明等比数列时应运用定义证 na1为非 0常数,而不能 1na(此时 n2).2.等比数列中 q可以取负值.不能设公比为 q2.3.会运用等比数列性质,“若 m+n=p+k,则 aman=apak”.考场思维训练1 试在无穷等比数列 21, 4, 8 ,中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数列),使它所有项的和为 41,则此子数列的通项公式为_.答案： an= ;)8
25、1(分析：略。2 已知等比数列a n的首项为 8,Sn是其前 n项的和,某同学经计算得#*S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（ ）AS 1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C 分析：略。3 已知数列a n的首项为 a1,公比为 q(q-1),用 mnS表示这个数列的第 n项到第 m项共 m-n+1项的和.()计算 97643,S,并证明它们仍成等比数列;答案： S 13 =a1(1+q+q2),S46 =a1q3(1+q+q2)，S79 =a1q6(1+q+q2),因为 ., 9764316497 成 等 比 数 列所 以SS()受上面()的启
26、发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.答案：一般地 .),2(),1( ),1(),1(,)2( 22成 等 比 数 列所 以也 成 等 比 数 列均 为 整 数且 mrpmnnpmnpprmrmr mpprpn SSrqSqqaS qqaqqaSnPS 4 已知数列a n中,a 1= 65,an+1= 3an+( 21)n+1(nN *),数列b n对任何 nN *都有 bn=an+1-21an.(1)求证b n为等比数列;答案： b n+1=an+2 nnnn baaa 31)2(31)2(31)2(312 若 bn=0,则 an+1= n)21(3为 等 比 数 列即不 满 足 条 件 故 ,31,1 nnbab1=a2- 92)(311aa)(n(2)求b n的通项公式;(3)设数列a n的前 n项和为 Sn,求 xnlim.答案： a n+1 1)3(21ba又 an+1= )(3n
