1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测（九）考点 9圆锥曲线 对椭圆相关知识的考查 对双曲线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 对轨迹问题的考查 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 椭圆 双曲线 抛物线 直线与圆锥曲线 轨迹问题 圆锥曲线中的定值与最值问题经典易错题会诊命题角度 1对椭圆相关知识的考查 1 (典型例题) 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F lPF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )1.2.21. DCBA考场错解 A专家把脉 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把 |21PF当作离心
2、率对症下药 D 设椭圆的方程为 2byax=l (a，b 0) 由题意可设|PF 2|=|F1F2|=k，|PF 1|=2k，则 e= 122kac2 (典型例题)设双曲线以椭圆 952yx=1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ( )A2 B 34 C 21 D 43考场错解 D 由题意得 a=5，b=3，则 c=4 而双曲线以椭圆 925yx=1 长轴的两个端点为焦点，则 a=c =4，b=3 k= 43ab专家把脉 没有很好理解 a、b、c 的实际意义对症下药 C 设双曲线方程为 2yx=1，则由题意知 c=5， ca2=4 则 a2=20 b2=5，#
3、*而 a=2 5 b= 双曲线渐近线斜率为 ab= 21 3 (典型例题)从集合1，2，3 ，11 中任选两个元素作为椭圆方程 2nymx=1 中的 m 和n，则能组成落在矩形区域 B=(x，y)x|3 12+32=12 应用结论时也易混淆对症下药 (1)解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为 y=A(x-1)+3，代入 3x2+y2=，整理得(k 2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0 设 A(x1，y 1)、B(x 2、y 2)，则 x1，x 2 是方程的两个不同的根，=4(k 2+3)-3(k-3)20，且 x1+x2= 3(k，由 N(1，3)是线段 AB 的中点，得
4、12x，A(k-3)=k 2+3解得 k=-1，代入得，12，即 的取值范围是(12，+ ) 于是，直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0解法 2：设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有213x(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0依题意，x 1x 2，k AB=- 21)(3yxN(1，3)是 AB 的中点， x 1+x2=2，y l+y2=6，从而 kAB=-1又由 N(1， 3)在椭圆内，31 2+32=12， 的取值范围是(12 ，)直线 AB 的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0 ()解法 1：CD 垂直平分
5、AB，直线 CD 的方程为 y-3 =x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4又设 C(x3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为 M(x0，y 0)，则 x3， x4 是方程的两根，x 3+x4=-1，且 x0= (x3+x4)=- 21，y 0=x0+2= 23，即 M(- 21， )于是由弦长公式可得|CD|=.)(|)1(432k#*将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程得 4x2-8x+ 16-=0 同理可得|AB|= .)1(2|.12xk 当 12 时， )3( ,|AB|12，使得 A、B、C、D 四点共圆，则 CD 必为圆的直径
6、，点 M 为圆心点 M到直线 AB 的距离为 d= .23|421|4|0yx 于是，由、式和勾股定理可得 |MA|2=|MB|2=d2+ .|2|3219| CDAB故当 12 时，A、B、C 、D 四点均在以 M 为圆心， |CD为半径的圆上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：) A、B 、C、D 共圆 ACD 为直角三角形，A 为直角 |AN|2 =|CN|DN|，即 )2|)(|()2( d. 由式知，式左边= 1,由和知，式右边= ,21)9232)3()32( 式成立，即 A、B 、C、D 四点共圆解法 2：由( )解法 1 及 12 ， CD 垂直平分 AB，直线 CD
7、方程为 y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-=0将直线 AB 的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2 = .231,243x不妨设 A(1+ )23,1(),(,13,1 DC)213,213(,CA计算可得 0A,A 在以 CD 为直径的圆上又 B 为 A 关于 CD 的对称点，A、B、C、D 四点共圆 (注：也可用勾股定理证明 ACAD)专家会诊 1重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆#*位置关系时忽略了斜率不存在的情
8、形3注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点， A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2 分别为左右准线，l 1 与 x 轴交于 O，P、Q 两点在椭圆上，且 PMl 1 于 M,PNl 2 于 N，QF AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )|5(;|)4(;|)3(;|)2;|) BFABNFPM A.1 个 B2 个 C.4 个 D5 个 答案：
9、 C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于 caBOA2|=e，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|= ,2ab|BF|= ca2, eBFQ|故 ,故(5) 正确；(2)显然不对，所选 C2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 20，焦距为 2c，静放在点 A 的小球 (小球的半径不计 )，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 ( )A4a B2(a-c)C.2(a+c) D以上答案均有可能答案： D 解析： (
10、1)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2(d-c)，则选 B；(2)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 2(a+c)，则选 C；(3)静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 4a，则选 A.于是三种情况均有可能，故选 D.3 已知椭圆 2ax+y2=1(a1)，直线 l 过点 A(-a，0)和点 B(a，ta)(tt0) 交椭圆于 M直线 MO
11、交椭圆于 N(1)用 a，t 表示AMN 的面积 S；(2)若 t1，2，a 为定值，求 S 的最大值 答案：易得 l 的方程为了 y= 2t(x+a)1 分由#*,1)(2yaxt得(a 2t2+4)y2-4aty=0解得了 y=0 或 y= 42ta即点 M 的纵坐标 yM= 42taS=SAMN =2SAOM =|OA|yM= 42ta (2)由(1)得， S= t= t2 (t0)令 V= t4+a2t，V=- 24t+a2由 V=O at2当时 t a时，V0；当 02，则 00，b0)的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点A，OAF 的面积为 2(O 为原点)，则两条渐近线的夹角
12、为 ( )A30 B45 C60 D90 考场错解 B#*专家把脉 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角对症下药 D 由题意得 A( cab,2)sOAF = 21c baba21，则两条渐近线为了 y=x 与 y=-x 则求两条渐近线的夹角为 903 (典型例题) 双曲线 2byax=1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a，0)和(0,b)，且点(1，0)到直线 l 的距离与点(-1，0)到直线 l 的距离之和 s 54c，求双曲线的离心率 e 的取值范围考场错解 直线 l 的方程为 byax=1 即 bx+ay-ab=0 点(-1，0)到直线 l 的距离：2)1(ba，点(1，
13、0)到直线 l 的距离: 2)1( 2)1(ba+ 2)(a=c54得 5a 2ca于是得 5 2e即 4e4-25e2+250 解不等式得 45e 25，所以 e 的取值范围是 .5,2,5专家把脉 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e1对症下药 解法：直线 J 的方程为 byax=1，即 bx+ay-ab=0由点到直线的距离公式，且 a1，得到点(1 ，0)到直线 l 的距离 d1= .)(2ba同理得到点（-1，0）到直线 l 的距离 d2= .)1(2bas=d1+d2= .2cab由 0254.215.25,4,54 eeccs 即于 是 得即得解不等式，得 .,01.2
14、ee的 取 值 范 围 是所 以由 于专家会诊 1注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调 e1，必须明确焦点与准线的对应性 2由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏 3掌握参数 a、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用考场思维训练 1 已知 F1， F2 为双曲线 2byax=1(a0,b0)的两个焦点，过 F2 作垂直 x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为 P，且pF1F2=30 ，则双 曲线的渐近线方程为 ( )#*xyDyCBxA2.3. 3.2. 答案： D 解析：由已知有 21|FP=tan3
15、0= acb2，所以 2a2=b2渐近线方程为 y= x2,所以选取 D2 若 Fl、F 2 双曲线 2byax=1 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足 |,11FMP (1)求此双曲线的离心率； 答案：由 PDF1知四边形 PF1OM 为平行四边形，又由|1 OPMOFP知 OP 平分F 1OM, PF 1OM 菱形，设半焦距为 c，由 |1 OF=c知 eacc PMPFPMPF |,2|,| 1121 又，即 c+ eca1e2-e-2=0, e=2(e=-1 舍去)(2)若此双曲线过点 N(2， 3)，求双曲线方程： 答案：e=2= ,acc=2a, 双曲线方程为 )3,2(,132将 点ayx代入，有 3,14322a 即所求双曲线方程为 9=1.(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为 B1，B 2(B1 在 y 轴正半轴上 )，求 B2 作直线 AB 与双曲线交于 A、B 两点，求 AB1时，直线 AB 的方程 答案：依题意得 B1（0，3） ， B2（0，-3 ）,设直线 AB 的方程为 y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)则由 193 .186)(22yxkxk双曲线的渐近线为 y= x3,当 k= 3时，AB 与双曲线只有一个交点，
