1、#*经典易错题会诊与 2012 届高考试题预测（十三）考点 13概率与统计求某事件的概率离散型承受机变量的分存列、期望与方差统计与比赛有关的概率问题以概率与统计为背景的数列题利用期望与方差解决实际问题经典易错题会诊命题角度 1求某事件的概率1 （典型例题）从数字 1，2，3 ，4，5 中，随机抽取 3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为 （ ）125.1258.6.3.DCBA考场错解 基本事件总数为 53=125，而各位数字之和等于 9 的情况有：（1）这三个数字为 1，3，5；（2）这三个数字为 2，3，4 ；（3）这三个数字都为 3。第（1）种情况有A33
2、 个，第（2）种情况有 A33 个，第（3）种情况只有 1 个。各位数字之各等于 9 的概率为 。选 A专家把脉 考虑问题不全面，各位数字之和等于 9 的情况不只三种情况，应该有五种情况，考虑问题的分类情况，应有一个标准，本题应这样来划分：（1）三人数字都不相同；（2 ）三个数字有两个相同；（3 ）三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。对症下药 基本事件总数为 555=125，而各位数字之和等于 9 分三类：（1）三个数字都不相同，有（1，3，5 ） ， （2 ，3，4） ；共 2A33=12 个；（2）三个数字有两个相同，有（2 ， 2， 5） ， （4，4，1） ，共 2C
3、13 个三位数；（3）三个数字都相同，有（ 3，3，3） ，共 1个三位数。所求概率为 596。选 D。2 （典型例题）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格。（1 ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；#*（2 ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。考场错解 （1）由已知从 10 道题中，任选一道，甲答对的概率为 53,那么选 3 道题甲至少答对 2 道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.甲合格的概率为 .125)4(5)3(3C专家把脉 相互独立
4、事件的概念理解错误,只有当事件 A 发生与否对事伯 B 没有任何影响时,才能说 A 与 B 相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。对症下药 （1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B，那么对于 A：基本事件总数为 C310，而考试合格的可能有：（1）答对 2 题，共 C26C14；（2）答对 3 题，共 C36。.154)(.32)(046BPAP同 理（2）由（1）知 A 与 B 相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为 P（ BA）=,4)15()(B甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P )(=1-.453 （
5、典型例题）某人有 5 把钥匙，其中有 1 把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是_.考场错解 基本事件总数为 A55=120，而恰好第三次打开房门的可能为 A24=12，故所求概率为 .10专家把脉 在利用等可能事件的概率公式 P（A）= nm时，分子、分母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致错误。正确的想法是：要么分子分母都考虑 5 次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。对诊下药 （方法一）5 把钥匙的次序共有 A55 种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有 A44种，概率
6、 P= .514A（方法二）只考虑前 3 把的次序，概率 P= .512（方法三）只考虑第 3 把钥匙，概率 P= .4 （典型例题）20 典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 432和 。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（1）求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；（2）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；（3）假设某人连续 2 次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？#*考场错解 第（3）问，乙恰好射击 5 次后，被中止，则乙前 3 次都击中，4
7、、5 次未击中，所求概率为 .10247)4(专家把脉 乙恰好射击 5 次后，被中止射击，则 4、5 次未击中，但前 3 次不一定全部击中，可能有 1 次未击中，也可能有 2 次未击中。对症下药（1）甲射击 4 次，全部击中的概率为 )32(，则至少 1 次未击中的概率为.865)32(4（2）甲恰好击中目标 2 次的概率为 224)31(C乙恰好击中目标 3 次的概率为,)41(3C甲恰好击中 2 次且乙恰好击中 3 次的概率为 .814)3()1(24CC(3)依题意，乙恰好射击 5 次后，被中止射击，则 4、5 两次一定未击中，前 3 次若有 1 次未击中，则一定是 1、2 两次中的某一
8、次；前 3 次若有 2 次未击中，则一定是 1、3 两次，但此时第 4 次也未中，那么射击 4 次后就被停止，这种情况不可能；前三次都击中也符合题意。所求事件的概率为 .1025)3()1(22C考场思维训练1 （典型例题）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是 （ ） 31.61.32.3. 55 DCBA答案： C 解析：基本事件总数是：6 3，而这数点数是最小数点数的两倍包括：(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2，3，4)，(2，4,4)，(3，3，6)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，6，6)其中(1，1，2)，(1，2，2)，(2，2，4)，(2
9、，4，4)，(3，3，6)，(3，6，6)各包含 3种结果，共有 6 1C种结果；(2，3，4)，(3，4，6)，(3，5，6)各包含 3A种结果，共有 3 A种结果所求概率为 613A选 C2 （典型例题）同时抛掷 3 枚均匀硬币 16 次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率_（用式子作答） 。答案：1-（ 85） 16解析：事件 A：出现两个正面一个反面的概率为 85)(,3)21(ApC则 ，而事件 B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件 B：“没有一次出现两个正面一个反面”的概率 P(B)=( 85)16所求事件的概率为 1-( )16.#*3 （典型例题）设棋子在
10、正四面体 ABCD 的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为 A，则：（1）投掷 2 次骰子，棋子才到达顶点 BA 的概率；答案：“棋子才到达顶点 B” 包括两种可能：(1)第一次掷出奇数，第二次掷出偶数；(2)第一次掷出偶数，第二次掷出偶数它们的概率分别为 P1= .2132,3所求事件的概率为 P=Pl+P2= 365.（2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少？答案：设 Pn表示掷 n 次骰子，棋子恰巧在顶点 B 的概率，P n-1表示掷 n-1
11、次骰子，棋子恰巧在顶点 B 的概率，掷 n 次骰子， “棋子恰巧在顶点 B”包括两种可能：掷 n-1 次骰子，棋子恰巧在顶点 B，第 n 次掷出奇数，棋子在 B 处不动；掷 n-1 次骰子，棋子不在 B，第n 次掷出偶数，棋子从别的顶点移向 BP n= 21pn-1+(1-Pn-1) 61321nP,而 P1=6132.P 2= 5413,9P 所求事件的概率为： 543.专家会诊对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式 P（A
12、）=1-P（ A） ；对于 A、B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有 A、B 相互独立，才能利用公式 P（AB）=P（A）P（B） ，还应注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。命题角度 2离散型随机变量的分布列、期望与方差1 （典型例题）盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个。第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球（假设取到每个球的可能性都相同） 。记第一次与第二次取得球的标号之和为 。（1）求随机变量 的分布列；（2）求随机变量 的期望。考场错解 （1）依题意， 的取值是 3，6，7，它们所对应
13、的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量 的分布列如下： 3 6 7P 024 018 024专家把脉 随机变量 的取值不正确，当然随之概率之和不等于 1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量 的取值应为 2，3，4，6，7，10。对症下药 （1）由题意可得，随机变量 的取值是 2，3，4，6，7，10。且 P（=2）=0.30.3=0.09,P(=3)=C120.3 0.4=0.24,P(=4)=0.40.4=0.16,P(=6)=2 0.30.3=0.18,P(=7)2 0.40.3=0.24,P(=10)=0.3 0.3=0.09.故随机变量 的分布列如下： 2 3 4
14、 5 7 10P 009 024 016 018 024 009#*（2）随机变量 的数学期望E=20.09+3 0.24+40.16+60.18+70.24+100.09=5.2.2 （典型例题）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，回答不正确得-100 分，假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即 0）的概率。考场错解 （1）由于这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响， 服从二项
15、分布。E=1000.8。专家把脉 二项分布的概念理解错误，把 n 次独立重复试验事件 A 发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。对症下药 （1）设这名同学回答正确的个数为随机变量 ，则依题意 B（3，0.8）, E=2.4,又 =-300=180. =0 时，=-300; =1 时，=-100; =2 时,=100; =3 时，=300.所以 的分布列如下表所示： -300 -100 100 300P 0008 0096 0384 0512（2）这名同学总得分不为负分的概率为 P（0）=0
16、.384+0.512=0.986.3 （典型例题）某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 是一个随机变量，它的分布列如下： 1 2 3 12P 2112 12设每售出一台电冰箱，电器商获利 300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费 100 元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？考场错解 （解答 1）由题意， 的期望 E= 12（1+2+12 ）= 213，由期望的意义知：电器商月初购进 6 台或 7 台电冰箱才能使自己平均收益最大。（解答 2）设月初购进 x 台电冰箱，则获利也是随机变量，取值为 300-（x-1）100，600-（x-2）100
17、,，300x，它们的概率均为 12，获利的期望为),2(35122)304( xxx 1x2.x=12 时期望最大，月初购进 12 台电冰箱。专家把脉 解答 1，错把期望当作与实际等同，E= 213表示平均能卖 213台，不是一定能卖 213台，总之是期望理解错误；解答 2 中当获利的取值为 300x 时，概率也为 是错误的，错误认为只有 x 台，卖出比 x 大的台数不可能。实际上获利的取值为 300x 时，概率应为1x。#*对症下药 设月初进 x 台，则获利 是一个随机变量取值为 300-（x-1）100，600-（x-2）100，300x，共 x 个值，它的分布列如下： 300-（x-1）
18、100 600-(x-2)100 300xP 1212 123xE= 12 (400-100x+800-100x+300x-400)+300x 3x= 50(x2-19x).当 x=9 或 x=10时，E 最大，即月平均收益最大。月初购进 9 台或 10 台电冰箱才能使月平均收益最大。4 （典型例题）一接等中心有 A、B、C、D 四部热线电话，已知某一时刻电话 A、B 占线的概率为 0.5，电话 C、D 战线的概率为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有 部电话占线，试求随机变量 的概率分布和它的期望。考场错解 由已知得， 的取值为 0，1，2，3，4。且 P（=0）=0.5
19、20.62=0.09,P(=1)=0.5 20.62+0.520.40.6=0.15,P(=2)=0.5 20.62+0.520.40.6+0.520.42=0.23,P(=4)=0.5 20.42=0.04,P(=3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49.E=10.15+20.23+40.04+30.49=2.4专家把脉 P（=1） ，P（=2） ，P（=3）的计算有错误。P（=1）表示一部电话占线的概率，它有两种情况：（1）A、B 当中有一部占线，C、D 都不占线；（2）A、B 都不占线，C、D 当中有一部占线，而对于（1） ，A、B 当中有一部占线应为两次独立重复试验发生
20、一次的概率，（1）的概率应为 C120.520.62;同理（2）的概率应为 C120.520.40.6. P(=1)=C1+0.520.62+C120.520.40.6=0.3.同理可求 P（=2 ） ，P（=3） 。对症下药 由题意知 的取值为 0，1，2，3，4，它们的概率分别是：P（=0）=0.520.62=0.09,P(=1)=C 120.520.62+C120.520.40.6=0.3,P(=2)=0.5 20.62+C12C120.520.40.6+0.520.42=0.37,P(=3)=C 120.520.40.6+C120.520.42=0.2,P(=4)=0.5 20.42=
21、0.04。 的概率分布如下： 0 1 2 3 4P 009 03 037 02 004E=00.09+10.3+20.37+30.2+40.04=1.8.5 （典型例题）某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别为 0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响，设 表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值。（1）求 的分布及数学期望；（2）记“函数 f(x)=x2-3x+1,在区间2，+上单调递增”为事件 A，求事件 A 的概率。考场错解 （1） 的取值为 1，3，=3 表示客人浏览了 3 个景点，P(=3)=0.40.50.6=0.1
22、2.P（=1）=1-0.12=0.88,E=0.36+0.88=1.24.#*专家把脉 =3 表示的事件应为两个互斥事件，而错解中的 =3 表示一个事件，所以错误，这是很容易出现的错误，所以在做概率分布的题目时，特别应分析随机变量取某个值，对应哪些事件。对症下药 （1）客人浏览的景点数的可能取值为 0，1，2，3，相应地，客人没有浏览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的取值为 1，3.P（=3）=0.40.50.6+0.60.50.4=0.24,P(=1)=1-0.24, E=10.76+30.24=1.48.(2)当 =1 时，函数 f(x)=x2-3x+1 在区间上单调递增；当
23、=2 时，函数 f(x)=x2-9x+1 在区间2，+上不单调递增。P（A）=P（=1）=0.76。考场思维训练1某商店搞促销活动规则如下：木箱内放有 5 枚白棋子和 5 枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出 5 枚棋子，如果取出的 5 枚棋子中恰有 5 枚白棋子或 4 枚白棋子或 3 枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：取出的棋子 奖品5 枚白棋子 价值 50 元的商品4 枚白棋子 价值 30 元的商品3 枚白棋子 价值 10 元的商品如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用 50 元购买商品。（1）求获得价值 50 元的商品的概率；答案：解：（1）依题意，基本事件总数为 510C，而取到 5 枚
24、白棋子的可能只有一种. 获得价值 50 元的商品的概率为 .2510（2）求获得奖品的概率；答案：获得奖品有三种情况：摸到 5 枚白棋子，概率为 .251；摸到 4 枚白棋子、1 枚黑棋子，概率为 ;251045C摸到 3 枚白棋子，2 枚黑棋子，概率为 ,250135C由于互斥，所以获得奖品的概率为 P= .1+ .2150（3）如果顾客所买商品成本价为 10 元，假设有 10000 人次参加这项促销活动，同商家可以获得的利润大约是多少（精确到元） 。答案：设商家在某顾客处获得的利润为随机变量 ，则 的取值为：-50，-30，-10，40，它们所对应的概率分别为 251， ， 2510， .
25、 的分布列如下所示： -50 -30 -10 40P 251021E=-52 251+(-30) 251+(-10) 2510+40 = 790.10000 人参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约为 79010000=128571 元.#*2A、B 两地之间有 6 条网线并联，它们能通过的信息量分别为：1，1，2，2，3， 3，现从中任取三条网线，设可通过的信息量为 x，当可通过的信息量 x6 时，则保证信息畅通。（1）求线路信息畅通的概率；答案：解：（1）线路信息畅通包括三种情况，且它们彼此互斥：x=6; x=7;x=8.由已知 P（x=6）= .10)8(,51)7(,52 3623
26、623612 CxpCxpC线路信息畅通的概率 P=.105（2）求任取三条网线所通过信息量的数学期望。答案：任取三条网线所通过的信息量 为随机变量 x，且 x 的取值为：4，5，6，7，8。它们所对应的概率分别为 C,1052,1036362 的分布列如下：x 4 5 6 7 8P 25110Ex=4 10+5 5+6 2+7 51+8 0=6.任取三条网线所通过信息量的数学期望为 6。3袋中放 2 个白球和 3 个黑球，每次从中取一个球，直到取到白球为止，若每次取出的球不再放回去，求取球次数 的概率分布及数学期望。答案：解：袋中放 2 个白球和 3 个黑球，每次从中取一球，直至取到白球为止
27、，取球次数 的取值为 1，2，3，4，它们所对应的概率分别为 P（=1）= 52，P（=2）,103425P（=3）= 425 )4(,13P= 253 .10故 的分布列为： 1 2 3 4p 2 5110E =1 52+2103+3 5+410=2.专家会诊离散型随机变量的分布列，期望与方差是概率统计的重点内容，对离散型随机变量及分布列，期望与方差的概念的关键。求离散型随机变量的分布列的步骤是：（1）根据问题实际找出随机变量 的所有可能值 xi;（2）求出各个取值的概率 P（=x i）=P i;(3)画表填入相应数字，其中随机变量 的取值很容易出现错误，解题时应认真推敲，对于概率通常利用所
28、有概率之和是否等于 1 来进行检验。期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆。#*命题角度 3统计1 （典型例题）样本总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1，2，3，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为 10的样本，规定如果在第一组抽取的号码为 m 那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同，若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是_.考场错解 由于 m=6，k=7，m+k=13，它的个位数字是 3，在经 7 组中抽取的号码是73。或这样解答：由于第一组抽取的为 6 号，则第
29、二组抽取的为 16 号，第 7 组抽取的为66 号。专家把脉 答案为 73 的错因是：第 7 组中个体的号码错误，第 7 组应为 61，62，69。答案为 66 的错因是：死套课本上介绍的方法不管问题实际。对症下药 m=6，k=7，m+k=13,它的个位为 3，依题意第 7 组的号码为61，62，69。第 7 组抽取的号码应为 63。2 （典型例题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图 13-1 所示的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A06 B09C10 D15考场错解 由图
30、可以盾出用时间为 05 的人数最多，选 A。专家把脉 对条形图理解错误，实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题。对症下药 设每人阅读的时间为 ，则 =0,0.5,1.0,1.5,2.0.且 P（=0）=10，P（=0.5）= 52,P(=1.0)= 51,P(=1.5)= 51,P(=2.0)= 10. E=09.0.01.0.152. .这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 0.9 小时。选 B。3 （典型例题）若随机变量 、 都服从正态分布，并且 N（3，2） ，= 23，则随机变量 的期望是_。考场错解 N（3，2） ，=3， 2=2，= ,2E=3，又 = 23，E=
31、（ 3）= 1（E-3）=0。 的期望为 0。4 （典型例题）设随机变量服从正态分布 N（0，1） ，记 （x）=P(0)#*DP(|a)=1-(a)(a0)考场错解 由于 （a）可能小于 21，即 2（a）-1 可能小于 0，选 C。专家把脉 对正态分布不熟悉导致错误，实际上 （a）(0)= 21.对症下药 由玤态函数的图像知；（0）= 21，（x）=1-(-x),P(|a)=P(a)+P(Ac),则 c 等于A0 B6C- D答案： D 解析：由正态分布的知识知：C 应为正态函数的对称轴，C=，选 D.3 从某社区家庭中按分层抽样的方法，抽取 100 户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某
32、项指标，若抽出的家庭中有 56 户中等收入户和 19 户低收入户，已知该社区高收入家庭有 125 户，则该社区家庭总户数为_.答案： 3.500 解析： 分层抽样是按比例抽取，而高收入家庭有 125 户，抽取了 100-（56+19）=25 户，所以抽取的比例为 51，中等收入家庭有 280 户，低收入家庭有 95 户，该社区家庭总户数为 280+95+125=500.专家会诊对抽样方法，总体分布的估计，正态分布及线性回归近几年高考要求都不高，有的尚未考查，但作为新的知识点，高考也不会完全放弃，所以平时学习应以基础知识为主，重点学习抽样方法，正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解，正态分布主要是图像的性质。探究开放题预测预测角度 1与比赛有关的概率问题1甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方 1 号队员选赛，负者被淘汰，然后负方的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员实力相当，则甲方有 4 名队员被淘汰且最后占胜乙方的概率是_。解题思路 假设第一个被淘汰的队员站在第一个位置，第二个被淘汰的队员站在第二个位
