1、19-2 两直线的位置关系与距离公式 一、选择题1(文 )(2012江门模拟 )已知直线 l1 过点 A(1,1)和 B(2，1)，直线 l2 过点 C(1,0)和 D(0，a) ，若 l1 l2，则 a 的值为( )A2 B2C 0 D.12答案 A解析 kl 1 2，kl 2a，a 2. 1 1 2 1(理)(2012 江门模拟 )若 l1：x(1m)y (m 2)0，l 2：mx2y 6 0 是两条平行直线，则 m 的值是( )Am1 或 m2 Bm1C m2 Dm 的值不存在答案 A解析 若 m0 或 m1 时，易知两直线不平行；若 m0 且m1 时，则有 m1 或 2.1m 1 m2
2、 m 262点 P(m n，m)到直线 1 的距离等于( )xm yn2A. B.m2 n2 n2 n2C. D. m2 n2 m2n2答案 A解析 因为直线 1 可化为 nxmymn 0，则由点到直线的xm yn距离公式，得 d .|m nn mm mn|m2 n2 m2 n23(2012哈尔滨模拟) 若 k，1，b 三个数成等差数列，则直线ykx b 必经过定点( )A(1，2) B(1,2)C (1,2) D(1，2)答案 A解析 因为 k，1，b 三个数成等差数列，所以 kb2，即bk2，于是直线方程可化为 ykx k2，即 y2k( x1) ，故直线必过定点(1 ，2) 4(文 )(
3、2012珠海统考 )直线 2xy20 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是 ( )2Ax2 y40 Bx2y40Cx 2y40 Dx2y 40答案 D解析 直线 2xy20 与 y 轴的交点为 P(0，2) ，其斜率 k2，3绕点 P 逆时针旋转 后的斜率为 k ，2 1k 12故旋转后的直线方程为 y2 x，即 x2y40.12(理) 点 A(1,2)在直线 l 上的射影为 B(1,4)，则 l 的方程为( )Ax y 50 Bxy50C x y50 Dxy 50答案 D解析 ABl 可求 l 方程5已知两直线 l1：mxy 20 和 l2：(m2) x3y40 与两坐标轴围成的
4、四边形有外接圆，则实数 m 的值为 ( )A1 或3 B1 或 3C 2 或 D2 或12 12答案 A解析 两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆， 对角互补，两条直线垂直， (m)1， m1 或 m3.m 236(2012陕西华阴期末) 若直线 l1：y k(x 4) 与直线 l2 关于点(2,1)对称，则直线 l2 恒过定点( )A(0,4) B(0,2)C (2,4) D(4，2)答案 B4解析 由于直线 l1： yk(x4) 恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2) ，又由于直线 l1：y k(x4) 与直线 l2关于点(2,1)对称，直线 l2恒过定点(0,2)，故
5、应选 B.二、填空题7若直线 ax2y 3a 0 与直线 3x(a 1)y7a 平行，则实数a_.答案 3解析 由题意知， a(a1)230 得 a2 或 a3，当 a2时，两直线重合，舍去，a3.8(文 )直线 3x4y270 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是_答案 (5，3)解析 数形结合知所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点，可得P(5 ，3)(理) 已知三条直线 xy0，xy 10，mxy30 不能构成三角形，则 m 的取值集合为_答案 1，1，7解析 当三直线中有两直线平行时 m1 或1，当三直线交于一点时，将交点( ， )代入直线 mxy30，得 m7，因此12 12m
6、1 ，1，7三、解答题59已知两直线 l1：mx8y n0 和 l2：2x my 10，试确定m、n 的值，使(1)l1 与 l2 相交于点 P(m，1)；(2)l1 l2；(3)l1l 2，且 l1 在 y 轴上的截距为 1.解析 (1)由条件知 m28n0，且 2m m10，m 1，n7.(2)由 mm820，得 m4.由 8(1)nm0，得 Error!或Error!即 m4，n2 时，或 m4，n2 时，l 1l2；(3)当且仅当 m28m0，即 m0 时，l 1l 2，又 1，n8.n8即 m0，n8 时，l 1l 2且 l1在 y 轴上的截距为 1.点评 若直线 l1、l 2的方程
7、分别为 A1xB 1yC 10 与A2x B2y C20，则 l1l2的必要条件是 A1B2A 2B10 且 A1C2A 2C1；而 l1l 2的充要条件是 A1A2B 1B20.一、选择题61过直线 yx 上的一点作圆 (x5) 2(y 1)22 的两条切线 l1、l 2，当直线 l1、l 2 关于 yx 对称时，它们之间的夹角为( )A30 B45C 60 D90答案 C解析 过圆心 C(5,1)作 yx 的垂线，垂足为 P.过 P 作 C 的切线 l1、l 2，则 l1与 l2关于直线 PC 对称直线 PC 与直线 y x 垂直，l1与 l2关于直线 yx 对称，C 到直线 yx 距离为
8、 2 ，2又C 的半径 ，APC30，l 1与 l2的夹角为 60.22如图，已知 A(4,0)、B (0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )7A2 B610C 3 D23 5答案 A解析 易得 AB 所在的直线方程为 xy 4，由于点 P 关于直线 AB的对称点坐标为 A1(4,2)，点 P 关于 y 轴的对称点坐标为 A(2,0) ，则光线所经过的路程即为 A1(4,2)与 A(2,0)两点间的距离于是| A1A|2 .4 22 2 02 10二、填空题3ABC 中，a、b、 c 是
9、内角 A、B、C 的对边，且 lg sinA，lg sinB，lg sinC 成等差数列，则下列两条直线 l1：(sin 2A)x(sinA)ya0，l 2：(sin 2B)x(sinC)yc0 的位置关系是 _答案 重合解析 由已知 2lg sinBlg sinAlg sinC，得 lg(sinB)2lg(sin AsinC)，sin 2BsinAsinC .8设 l1：a 1x b1yc 10，l 2：a 2xb 2yc 20. ， ，a1a2 sin2Asin2B sin2AsinAsinC sinAsinC b1b2 sinAsinC ， ，c1c2 a c 2RsinA 2RsinC
10、 sinAsinC a1a2 b1b2 c1c2l1与 l2重合4(文 )若点 P(m,3)到直线 4x3y10 的距离为 4，且点 P 在不等式 2xy3 表示的平面区域内，则 m_.答案 3解析 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识点 P 到直线 4x3y 10 的距离 d 4，|4m 9 1|5解得 m7 或 m3，又点 P 在 2xy3 表示的区域内，故 m 3.(理) 将直线 l：x 2y10 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到直线 l，则直线 l 与 l之间的距离为 _答案 55解析 平移后 l： (x3)2(y2) 1 0即 l：x 2y20，d .|
11、 2 1|1 22 55三、解答题5已知两直线 l1：axby 40，l 2：(a1) xyb0.9求分别满足下列条件的 a，b 的值(1)直线 l1 过点 (3，1) ，并且直线 l1 与 l2 垂直；(2)直线 l1 与直线 l2 平行，并且坐标原点到 l1，l 2 的距离相等解析 (1) l1l 2，a(a1)(b)10，即 a2ab0. 又点(3，1) 在 l1上，3ab40 由得 a2，b2.(2)l1l2， 1a，b ，ab a1 a故 l1和 l2的方程可分别表示为：(a 1)xy 0，4a 1a(a 1)xy 0，a1 a又原点到 l1与 l2的距离相等4| | | |，a 2
12、 或 a ，a 1a a1 a 23a2，b2 或 a ，b2.236已知点 P(2，1)，求：10(1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)过 P 点与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过 P 点与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由解析 (1)过 P 点的直线 l 与原点的距离为 2，而 P 点坐标为(2，1) ，可见过 P(2，1)垂直于 x 轴的直线满足条件，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k (x2)，即 kxy 2k 10.由已知得， 2，解得 k ，这时直线 l 的方程为| 2k 1|1 k2 343x 4y100.综上所述，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y 100.(2)P 点在直线 l 上， 原点到直线 l 的距离 d| OP|，过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂直的直线，由 lOP ，得k1kOP1. k1 2，得直线 l 的方程为 2xy 50，即直线1kOP2x y50 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为 .| 5|5 5(3)由(2)知，过 P 点的直线与原点 O 最大距离为 ，故过 P 点不存在5到原点距离为 6 的直线
