1、 学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning1六年级（上）数学 知识点梳理第一章 数的整除1. 零和正整数统称为自然数。正整数、零、负整数统称为整数。 2整除：整数 除以整数 ，如果商是整数而余数为零，我们就说 能被 整除，或者说 能整除 .ababba用式子表示：如果 (其中 、 、 都为整数) 称 能被 整除或 能整除 .（区分两种表述）cabc a（1）整除的条件：除数，被除数都为整数；被除数除以除数，商是整数而且余数为零。（2）注意“整除”和“除尽”相区别， “除尽”指的是两个数（未必是整数）相除，
2、商是整数或有限小数。4因数和倍数：整数 被整数 整除， 叫 的倍数， 叫 的因数(约数)。因数和倍数是相互依存的。ababa（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身（2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，最大的倍数不存在5能被 2 整除的数的特征：个位上的数是 0，2，4，6，8能被 5 整除的数的特征：个位上的数是 0，5能被 10 整除（既能被 2 整除又能被 5 整除）的数的特征：个位上的数是 0能被 3 整除的数的特征：各位上的数字的和能被 3 整除（这是分数约分时比较容易疏忽的）能被 9 整除的数的特征：各位上的数字的和能被 9 整
3、除6. 能被 2 整除的整数叫做偶数，不能被 2 整除的整数叫奇数奇数：1,3,5,7,9,11,13, 偶数：2,4,6,8,10,12,14,，特别地，0 也是偶数7. 素数（质数）与合数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数；如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数，合数总可以写成几个素数相乘的形式。注意：1 既不是素数也不是合数，2 是最小的质数，4 是最小的合数 100 以内的素数（共 25 个，请看下表） ，特别注意：51 和 91 不是素数2 3 5 7 11 13 17 19 2329 31 37 41 43 47 53 59 6
4、167 71 73 79 83 89 97学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning2熟记 20 以内的全部素数（请默写出来）： 8. 每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。(短除法一定要掌握)下面第 9 点为第一章最重点的内容9. 几个整数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做最大公因数。 求几个整数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数。求两个整数
5、的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数是 1。特殊情形下的最小公倍数快速求法：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的最小公倍数是它们的乘积。两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素。特别注意：两个数都是素数，它们一定互素。但是两个互素的数不一定都是素数，比如 8 和 9 互素，但它们都是合数；比如 4 和 7 互素，但 4 是合数，而 7
6、是素数。学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning3第二章：分数1. 两个正整数相除，它们的商可用分数表示。被除数 除数 = . 被 除 数除 数用字母表示： ( 都为正整数) (特别地，当 时 )pq, 1qp整数看成是特殊的分数，即分母为 1 的分数。2. 数轴问题：（主要两类问题必会，一定要看清楚每个单位长度是代表多少）1）用数轴上的点表示分数2）写出数轴上点所表示的分数3. 分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等。即 )0,(nkbnakb4 （重
7、点概念）分子和分母互素的分数数叫最简分数。求一个数是另一个数的几分之几用除法，如 是 的几分子几，写成 （及相关应用题）abab5. 将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的通分母的分数。这个过程叫做通分。通分的依据是分数的基本性质： 6分数的加加法：关键是通分.1、分母相同的分数相加减：分母不变，分子相加减. 最后别忘了化成最简分数.2、分母不相同的分数相加减：先通分，再按分母相同的方法去做.7分数乘法（一）分数乘法的意义：1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。（二）分数乘法的计算法则：1、分数与整数相乘：分子与整数相
8、乘的积做分子，分母不变。2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意 （1）分数的化简：分子、分母同时除以它们的最大公因数。（2）关于分数乘法的计算：可在乘的过程中约分，也可将积的分子分母约分，提倡在计算过程中约分，这样简便。学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning4（3）当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。（三） 、规律：（乘法中比较大小时）一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外） ，积小于这个数。一个数
9、（0 除外）乘 1，积等于这个数。（四） 、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。（五） 、整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。乘法交换律: ab乘法结合律: ()()cabc乘法分配律: 或abc8分数乘法的解决问题：已知整体，求部分，用乘法（已知单位“1”的量（用乘法） ，求单位“1”的几分之几是多少）1、找单位“1”： “占” 、 “是” 、 “比”的后面2、求一个数的几倍是多少； 求一个数的几分之几是多少。用乘法列式计算。9倒数1）倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。(互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。)2）求倒数的方法
10、：（1）求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。（3）求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。3）1 的倒数是 1； 0 没有倒数。4）真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。10分数除法1）分数除法的意义：分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2）分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addict
11、ed to logical reasoning53）规律（分数除法比较大小时）：（1）当除数大于 1，商小于被除数；（2）当除数小于 1（不等于 0） ，商大于被除数；（3）当除数等于 1，商等于被除数。4、分数混合运算顺序：（1）同级运算要按从左往右顺序计算。 （2）先算乘、除后算加、减，有括号的，要先算括号里面的（3）一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的， 再算中括号里面的。（4）能用运算律的要用运算律。（巧妙计算）11分数除法解决问题：已知部分，求整体，用除法（已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。 ）学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEB
12、A MATH be addicted to logical reasoning6学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning7第三章：比和比例1比的概念：（1） 、 是两个数或两个相同的量 ，为了把 和 相比较，将 与 相除，叫做 与 的比，记作abbabab或写成 ，其中 . 读作 比 ，或 与 的比。: 0b其中 叫做比的前项， 叫做比的后项，前项 除以后项 所得的商叫做比值.（2）比和分数以及除法三者之间的关系：比： 前项 后项比值:分数： （分子分母分数值）分 子 分 数 值分 母除法：被除数除数商（
13、3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，比值不变三连比的性质：如果 ，那么 :,:abmnck:abcmnk如果 ，那么0l:ll当 时，要将 ， ， 写成三联比的形式，那么首先要将两个式子中 所:,:abpqcstbc b对应的比值进行调整，调整到一致： :,:sbsqt，最后在得出的结果中约去他们的最大公因数即可.abcpt或者直接寻找 和 的最小公倍数，将 和 直接调整到这个数值，那么根据 的变化，对 进行qss qp相同的变化，根据 的变化对 进行相同的变化。t例如：已知 ，求:34,:67abc:abc我们先改写为 3912,:4c那么 :9124ab（
14、4） 、 、 、 四个量中，如果 ，那么就说 、 、 、 成比例，cd:abcdabcd也就是表示两个比相等的式子成比例。 （可以用分数的约分去理解）学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning8（5）百分比：把两个数的比值写成 的形式，称为百分数，也叫做百分比或者百分率。10n记作 . 其中 叫做百分号（按比例来理解可理解为 ）%n :10abc百分数和分数的区别：百分数只能表示两个数的比的关系，而分数不仅可以表示数的关系，还可以表示成一个具体的量，可以带上单位名称。百分数和小数及分数的互化小数化成百分数：
15、把小数点向右移动两位再在数的后面加上百分号。百分数化成小数：把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。百分数化成分数：化成分母是 100 的分数，能约分的要约分。如果百分数分子是小数，要先根据分数的基本性质，把百分数改写成分数是整数的分数，再约分。分数化成百分数有两种方法：一种是根据分数的基本性质，把分数的分母化成为 100 的分数，然后改写成百分数。另一种是先把分数化成小数，在利用小数化百分数的方法。 （利用第二种时，除不尽，通常保留三位小数）（6）用百分数解决问题： 在生产工作中常用的百分率有：10%及 格 人 数及 格 率 总 人 数（注意看清楚：合格产品数量，不合格产品数量，产品总数量）
16、合 格 产 品 数合 格 率 产 品 总 数（注意分母是原来的产量，而不是后来的产量） 增 加 的 产 量增 产 率 原 来 的 产 量 10实 际 出 勤 人 数出 勤 率 应 该 出 勤 的 人 数%得 票 数得 票 率 总 的 投 票 数（注意分母是原来的基数，而不是后来的数目）增 长 的 数增 长 率 原 来 的 基 数利润问题：盈利（售价高于成本）： 1010%盈 利 售 价 成 本盈 利 率 成 本 成 本解决：已知售价和成本，求利润率？已知成本和利润率，求售价？已知售价和利润率，求成本？亏损（成本高于售价）： 亏 损 成 本 -售 价亏 损 率 成 本 成 本解决：已知售价和成本
17、，求亏损率？已知成本和亏损率，求售价？已知售价和亏损率，求成本？学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning9存款问题：（1）利息=本金利率期数；本利和=本金+本金利率期数 （2）税后 ；税后本利和 =本金+本金利率期数（1税率）利 息 本 金 利 率 期 数 （ 1-税 率 ）注意：一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。解答百分数应用题时，要注意弄清楚谁和谁比，比的标准不同，单位“1”也不同，解题时要注意找准把谁
18、看单位“1” 。在实际生活中，人们常用“增加百分之几” 、 “减少百分之几” 、 “节约百分之几”-来表示增加、减少的幅度，具有比较意义，不能直接加或减在数据后面。 （占谁的，把谁看成单位“1” ）如：一月份某水果店盈利 6800 元，二月份增加 10%，二月份的盈利=6800+680010%=6800（1+10%）税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几类。缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与计税总金额即各种收入（销售额、营业额）的比率叫做税率。在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等。存入银行的钱叫做本金；取款时银行多付的钱叫做利息，利息与本金的比值叫做利率。以前国家规
19、定，存款所得的利息要按 20%的税率纳税，这个税叫“利息税” 。我们从银行取款时得到的利息都是税后利息。国债的利息不纳税。成数、打折、利润、利息、税收应用题的解题公式：含义：五成的含义是：收成是 ，二成五的含义是：收成是 50%25%八折的含义是：现价是原价的 ，或按原价的 出售，或降了 ；8800八五折的含义是：现价是原价的 ，或按原价的 出售，或降了 。1常用公式：现价（也称折后价、优惠价） 原价折扣数（也称优惠率，通常写成百分数形式）【注】有时候，优惠价在折扣的基础上，还要“立减多少元”，那么现价=原价折扣-立减金额利润 售价 成本（也称进价）应纳税额（需要交给国家的钱） 计税总金额（如
20、果不税收的话，这个钱都是你的） 税率（7）等可能事件：如果一次试验由 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都是相等的，n那么每一个基本事件互为等可能事件。学吧数学工作室 初高中 1 对 1/小班培优XUEBA MATH be addicted to logical reasoning10（8）概率 P发 生 的 结 果 数所 有 等 可 能 的 结 果 数背景知识补充 1：扑克牌有 54 张，除了大小王之外的 52 张有四种不同花色：黑桃、红桃、方块、草花（也称梅花） ，每种花色有 13 张补充 2：骰子如没有特别说明，一般默认为正方体，有 6 个面，每个面分别标记为 1、2、3、4、5、6
