1、初三 第 1 页 共 5 页第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第 1 试试题2013 年 3 月 17 日 上午 8：30 至 10：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日 10：00 在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：http:/www.hopecup .org “希望杯”微博：http :/ 数理天地微博：http :/ 4 分，共 40 分)1若 m，n 是方程 x2-2 x+1=0 的两个根，则 的值是( )5nm-mn(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 5 5 5 52设O 的半径是 5，点 P 不在O 外，若点 O 与点 P 的距离|OP|= m
2、2-2m+2，则m 的取值范围是( )(A)m- 1 或 m3(B)-1m3 (C)m-1 (D)m33如图 1，O 内的点 P 在弦 AB 上，点 C 在圆 O 上，PCOP，若 BP=2，AP=6，则 CP 的长等于( )(A)2 (B) 4 (C) 2 (D) 3 3 2 24图 2 是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标在数字“13”的正方形的边长是 ，那么标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是( )2(A)4 (B)2 (C)2 (D) 2325若 m，n 分别是 的整数部分和小数部分，则与(m+n)(n-m )的差20的绝对值最小的整数是( )(A
3、)-55 (B)-56 (C)-16 (D)-156如图 3，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON=30点 A在 OQ 上，AO=240(米)当火车行驶时，周围 200 米以内会受噪音的影响，现有一列火车沿 MN 方向以72 千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A 处受噪音影响的时间为( )(A)12 秒 (B)16 秒 (C)20 秒 (D)24 秒图 3 fig 4 图 5 图 6 7In ABC as shown in fig4，AB=AC ，BD= EC，BE= CF，if A=50， then the degree of DEF is( )(A)60 (B)
4、65 (C)70 (D)758如图 5，O 1的半径是 1，正方形 ABCD 的边长是 6，点 O2是正方形的中心，O 1O2垂直 AD 于 P点，O 1O2=8若将O 1绕点 P 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O 1与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( )(A)3 次 (B)5 次 (C)6 次 (D)7 次9如图 6，在同一个坐标系内，二次函数 y1=ax2+bx+c(a0) 和一次函数 y2=dx+e(d0) 的图象相交于点 A(m，n) 和点 B(p，q)当 y1y 2时，用 m，p 表示 x 的取值范围，则是( )(A)mxp (B)xm (C)xp (D
5、)xm 10如图 7，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别在边 AB、BC 上运动(不与正方形的顶点重合) ，且 BN=2AM，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点 M 有( )图 1 图 7 初三 第 2 页 共 5 页(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个二、A 组填空题(每小题 4 分，共 40 分)11已知实数 a，b 不相等，并且 a2+1=5a，b 2+1=5b，则 + = 1a2 1b212If a 1=1- ，a 2=1- ，a 3=1- ，then a 2003 in terms of m is 1m 1a1 1a213如图 8，在 32 的
6、方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有 个14若实数 x，y ，z 使 2x+y+z=0 和 3x+2y+5z=0 成立，并且 z0，则 的值是 2x2-y2+2z2-4xyx2-5z2+7xz15若一个三角形的三边的长是 ， ， ，则此三角形的面积是 2 13 1716已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的交点坐标为( -1，0) ，(3，0)，当-2x5 时， y 的最大值为 12，则该抛物线的解析式为 17如图 9，直角梯形纸片 ABCD 中，ADBC ，AB BC，AB=10，BC =25，AD=15 ，以 BD 为折痕，将ABD 折起，旋转 180后，点
7、 A 到点 A1，则凹五边形 BDCEA1的面积为 18如图 10，将边长为 a 的正方形 ABCD 绕其顶点 C 顺时针旋转 45，得四边形 ABCD，则图中阴影部分的面积是 19If - =7，then the value range of real number a is (a+4)2 (a-3)220如图 11，从边长为 5 的正方形纸片 ABCD 中剪去直角EBF(点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC 上) 若 EB+BF= ，则五边形 AEFCD 的面积的最小值是 15三、B 组填空题(每小题 8 分，共 40 分)21图 12 是由若干个棱长为 1 厘米的正方体堆成的几何体，
8、它的三视图中，面积最大的是 平方厘米，这个几何体的体积是 立方厘米22如图 13，在ABC 中，A=30，AB=AC =2，BD 是边 AC 上的高，利用此图可求得 tan15= ，BC= 23在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点若凸 n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其它整点，则 n= 图 12 图 13 图 14 图 15 24如图 14，直角梯形 ABCD 中，AB=15，CD=2，AF=1，AD=3，ABEFCD，A=90，分别以 AD， FE 所在的直线为 x 轴，y 轴建立坐标系(AD ，FE 为正方向) ，若抛物线 y=ax2+bx+
9、c 过点 B、C，并且它的顶点 M 在线段 EF 上，则 a= ，b= ，c = 25如图 15，ABC 中，B=90，A=60，AB=AD=2，点 M 在 DC 上，以 M 为圆心，以 DM 为半径的半圆切边 BC 于点 N，交 MC 于点 P，则 DM= ，曲边NCP 的面积= 附加题(每小题 10 分，共 20 分)1若 f(x)=6x3-11x2+ax-6 可以被 g(x)=2x-3 整除，则 a= ，当 f(x)0 时，x 的取值范围是 2有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出 3 枚黑子和 2 枚白子，当黑子被取完或剩下 1 枚或 2 枚时，则还剩 35 枚白子，如果每次取出 5 枚
10、黑子和 7 枚白子，当白子被取完或剩下不足 7 枚时，则还剩下35 枚黑子，那么这堆棋子中，原有黑子 枚，白子 枚图 8 图 9 图 10 图 11 初三 第 3 页 共 5 页第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第 1 试答案与解析一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)1选：D；【解析】根据一元二次方程根与系数的关系有：m +n=2 ，mn=1，5 = = =2 =8nm-mn(m+n)(n-m)mn (m+n)(n+m)2-4mnmn 5 (2r(,5)2-4 52选：B；【解析】|OP|=m 2-2m+2=(m-1)2+15，|m -1|2，-1m33选：A；【解析】根据垂径定理及
11、相交弦定理可得：APBP =PC2，PC=2 34选：B；【解析】正方形 11 边长为 2；正方形 9 边长为 2 ；正方形 7 边长为 4；正方形 5 边长为24 ；正方形 3 边长为 4， 标有数字“2”的等腰直角三角形斜边的长是 2 2 25选：C；【解析】m=4 ，n= -4，(m +n)(n-m)= ( -8)=20-16 -15.777120 20 20 56选：B；【解析】作 AB于 MN 于 B，以 A 为圆心，以 200m 为半径作圆交 MN 于 C、D，AB= OA=12，BC= =160，CD=2 BC=320 米，72 千米/时=20 米/秒，32020=16 秒 12
12、 2002-12027选：B；【解析】BDE CEF，DEC=DEF+FEC=B+BDE，DEF=B=658选：B；【解析】与 AB 相切两次，与 BC 相切一次，再与 CD 相切两次9选：A；【解析】利用函数图象解不等式，可以直接得到结论10选：B；【解析】设正方形边长为 a，AM=x(x a)，BM=a-x，NB=2x，NC =a-2x，当12DAMDCN 时，x= a-2x，x= a，有意义；当DAM 与MBN 相似时，a：x=(a-x)：2x，无有意义解，13或 a：x=2x：( a-x)，无有意义解；当MBN 与DCN 相似时，a：(a-2x)=( a-x)：2x，x= a，或5-
13、174a：( a-2x)=2x：(a-x)，无解所以只有两种二、A 组填空题(第小题 4 分，共 40 分)1123；【解析】a、b 是方程 x2-5x+1=0 的两根，所以 a+b=5，ab=1， + = =231a2 1b2 (a+b)2-2aba2b212m；【解析】a 1=1- = ，a 2=1- = ，a 3=1+m-1=m，变化周期为1mm-1m mm-1 -1m-13，3|2013 ， a2003 =m1368；【解析】 “ ”这样的有 64=24 个；“ ”这样的有 72=14 个；“ ”这样的有24=8 个； “ ”这样的有 24=8 个；“ ”这样的有 24=8 个；“ ”
14、这样的有 14=4 个；“”这样的有 12=2 个；共 68 个14 ；【解析】 2-得：x=3z，代入得：y=-7z，代入原式=115 2x+y+z=03x+2y+5z=0 ) 11515；【解析】如图： ，可算出 S =8-3-2- = 52 12 5216y=x 2-2x-3 或 y=-3x2+6x+9；【解析】对称轴是 x=(-1+3)2=1，在-2x5 这个范围内，当 a0时，过(1 ，12)，可得 y=-3x2+6x+9；当 a0 时，由于| -2-1|5-1| ，所以过(5 ，12)，可得 y=x2-2x-317145 ；【解析】S 梯形 ABCD= (15+25)10=200，
15、设 BE=x，作 DFBC 于 F，DE =BE=x，根据勾56 12股定理，x 2-(15-x)2=102，得：x= ，S BED = 10= ，S 五边形 BDCEA1=SA 1BD+ SCED = SABD + S656 12 656 3256初三 第 4 页 共 5 页CED= S 梯形 ABCD -SBED =200- = =1453256 8756 5618( -1)a2； 【解析】旋转 45，A、B、C 共线，(AD 、AB交于 E)，2S 阴影 =SACD -SAEB = a2- ( a-a)2=( -1)a212 12 2 219a3；【解析】 - =7，|a+4|-| a-
16、3|=7，这个等式可以理解为在数轴上 a(a+4)2 (a-3)2与-4 的距离比 a 与 3 的距离大 7，而 3 与-4 的距离刚好是 7，所以 3 及 3 右边的点都满足，所以 a32023 ；【解析】设 BE=x，五边形 ABCFE 的面积为 y，18则 y=25- x( -x)=- x2- x+25=- (x- )2+23 ，y 最小值 =2312 15 12 1215 12 1215 18 18三、B 组填空题(第小题 8 分，共 40 分)216；7；【解析】主视图面积为：4；左视图面积为：4；俯视图面积为：6所以最大面积为 6；共 7 个小正方体，所以体积为 7；222- ；
17、- ；【解析】 CBD=15，BD=1，AD = ，CD=2- ；tan15= =2- ；BC=3 6 2 3 3CDBD 3= = = =BD2+CD2 12+(2-r(,3)2 8-43 (r(,6)2+(r(2)2-2 6 2= - (r(,6) -r(,2)2 6 2233 或 4；【解析】通过画图可以验证，满足条件的三角形、四边形可以画出，而五边形以上画不出；24；0； ；【解析】此抛物线过(-1，1.5) 、(2，2) ，对称轴 x=0，可求出 a= ；b=0；c= ；16 43 16 4325； - ；【解析】DM=MN= MC，可得半径 MD= ，23 293227 12 23
18、S 曲边NCP =SMNC -S 扇形 MNP= - ( )2= - 122323316 23 293227附加题17；x ；【解析】g( x)|f(x)，f(x)= g(x)h( x)，32当 x= 时，g( )=0，f( )=0，即 6( )3-11( )2+ a-6=0，解得：a=7；6x 3-11x2+7x-6=(2x-3)(3x2-x+2)，32 32 32 32 32 323x 2-x+2=3(x- )2+ 0 恒成立， f(x)0，即 2x-30，得 x ；16 2312 322110；107；【解析】设第一次取 x 次，则白子有：2x+35 枚，黑子有 3x 或 3x+1 或
19、3x+2 枚；设第二次取 y 次，则黑子有 5y+35 枚；则有 7y2x+357y+7当 5y+35=3x 时， x= =2y+11+ (y 是除以 3 余 2 的整数)，有 7( x-7)2x+357( x-7)+7，5y+353 2-y3 35 35解得 14y ，y =15，无满足条件的整数解；17511当 5y+35=3x+1 时，x = =2y+11+ (y 是除以 3 余 1 的整数)，有 7y2( )5y+343 1-y3 5y+343+357y+7，解得 y ，y=14 或 15，无满足条件的整数解；15211 17311当 5y+35=3x+2 时，x = =2y+11- (y 是被 3 整除的整数)，有 7y2( )+357y+7，解得5y+333 y3 5y+333初三 第 5 页 共 5 页y ，y =14 或 15，其中 y=15 满足条件；代入得 x=3615011 17111黑子有 5y+35=110 枚；白子有： 2x+35=107 枚
