1、1函数概念教学的几点思考摘要:函数的概念及相关内容是高中和职业类教材中非常重要的部分,许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图像多,方法灵活多样。以致部分学生对函数知识产生恐惧感。就教学过程中学生的反应和自己的反思,浅淡几点自己的看法。 关键词:函数;对应;映射;数形结合 中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-0992(2010)02-164-01 1 要把握函数的实质 17 世纪初期,笛卡尔在引入变量概念之后,就有了函数的思想,把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹,欧拉在 1734 年首次用 f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说” 、 “对应说” 、 “集合说”等
2、。变量说的定义是:设 x、y 是两个变量,如果当变量 x 在实数的某一范围内变化时,变量 y 按一定规律随 x 的变化而变化。我们称 x 为自变量,变量 y 叫变量 x的函数,记作 y=f(x)。初中教材中的定义为:如果在某个变化过程中有两个变量 x、y,并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y 都有唯一确定的值与之对应,那么 y 就是 x 的函数,x 叫自变量,x的取值范围叫函数的定义域,和 x 的值对应的 y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化,2它致命的弊端就是对函数的实质对应缺少充分地刻画,以致不能明确函数是 x
3、、y 双方变化的总体,却把 y 定义成 x 的函数,这与函数是反映变量间的关系相悖,究竟函数是指 f ,还是 f(x),还是 y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。 迪里赫莱(P.G .Dirichlet)注意到了“对应关系”,于 1837 年提出:对于在某一区间上的每一确定的 x 值,y 都有一个或多个确定的值与之对应,那么 y 叫 x 的一个函数。19 世纪 70 年代集合论问世后,明确把集合到集合的单值对应称为映射,并把:“一切非空集合到数集的映射称为函数”,函数是映射概念的推广。对应说的优点有:它抓住了函数的实质对应,是一种对应法则。它以集合为基础,更具普遍性。它将抽像的知识以模型并
4、赋予生活化,比如:某班每一位同学与身高(实数)的对应;某班同学在某次测试的成绩的对应;全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划,它们相互独立,缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。 对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念,而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式,似乎不是集合语言,1914 年豪斯道夫(F.Hausdorff)采用了纯集合论形式的定义:如果集合 f (x,y)|xA,yB且满足条件,对于每一个 xA,若(x,y1) f,(x,y2) f,则 y1=y2,这时就称集合 f 为 A 到 B 的一个函数。这里 f 为直积AB=(x
5、,y)|xA,yB的一个特殊子集,而序偶(x,y)又是用集合定义的:(x,y)=x,x,y.定义过于形式化,它舍弃了函数关系生动的直观,既看不出对应法则的形式,更没有解析式,不但不易为中学生理解,而且在3推导中也不便使用,如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。 2 加强数形结合 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。在 712 年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的,作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形,函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像,只
6、要心中有形,函数性质就比较直观,处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数 y=log0.5|x2-x-12|单调区间,令 t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|,t=0 时,x=-3 或 x=4,知t 函数的图像是变形后的抛物线,其对称轴为 x=?与 x 轴的交点是 x=-3 或x=4 并开口向上,其 x(-3,4)的部分由 x 轴下方翻转到 x 轴上方,再考虑对数函数性质即可。又如:判定方程 3x2+6x =1/x 的实数根的个数,该方程实根个数就是两个函数 y=3x2+6x 与 y=1/x 图像的交点个数,作出图像交点个数便一目了然。
7、 3 将映射概念下放 就前面三种函数概念而言,能提示函数实质的只有“对应说”,如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义,可有以下优点:体现数学知识的系统性,也显示出时代信息,为学生今后的学习作准备。凸显数学内容的生活化和现实性,函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。变抽像内容形像化,替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂,好像伸手会触摸到一样,身边到处都有函数。学生就会感到函数4不再那么可怕,它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可,学生完全能够接受,因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法,第二学段已接触到集合的运算,没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知
8、识下放的观点,当时不也有人得出反对意见吗?可现在不也下放到了小学吗?如果能下放到初中,就使得知识体系更完备,衔接更自然,学生易于接受,学生就不会提出“到底什么是函数?”这样的问题。 4 区分函数与方程 尽管函数和方程都是反映量与量之间的关系,可函数反映的是变量和变量之间的关系,强调的是一个变量随另一个变量的变化情况,从函数的角度来看,考虑的是 x 和 y 在各自取值范围内,彼此间怎样相互变化。而方程反映的是未知量和已知量之间的关系,等式 F(x,y)=0 是一个方程,只有在一定条件下才能确定为一个函数,从方程的角度来看,考虑的是 x 和y 选取哪些数值时才能使等式成立,另一方面,如果变量 x 和 y 的函数关系可以用解析式 y=f(x)表示,那就得到一个方程 y-f(x)=0,它们是可以互相转化的,有时用方程知识去研究函数,也常用函数知识去研究方程。
