1、背包问题九讲 v1.0目录 第一讲 01 背包问题 第二讲 完全背包问题 第三讲 多 重背包问题 第四讲 混 合三种背包问题 第五讲 二维 费用的背包问题 第六讲 分组 的背包问题 第七讲 有依赖的背包问题 第八讲 泛化物品 第九讲 背包问题问法的变化 附：U SACO 中的 背包问题 前言本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的 NOIP 难度的动态规划总结，名为解动态规划题的基本思考方式。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质
2、，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。你现在看到的是本文的 1.0 正式版。我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在 OI 学习以及将来可能的 ACM-ICPC 的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH 论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较
3、重大的版本更新都会在这里发贴公布。目录第一讲 01 背包 问题这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。第二讲 完全背包问题第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。第三讲 多重背包问题每种物品有一个固定的次数上限。第四讲 混合三种背包问题将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。第五讲 二维费用的背包问题一个简单的常见扩展。第六讲 分组的背包 问题一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。第七讲 有依赖的背包问题另一种给物品的选取加上限制的方法。第八讲 泛化物品我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。第九讲 背包问题问法的变化试图触类旁通、举一反三。附：USACO 中的背包
4、问题给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。联系方式如果有任何意见和建议，特别是文章的错误和不足，或者希望为文章添加新的材料，可以通过http:/ 阿坦 jason911 donglixp 他们每人都最先指出了本文第一个 beta 版中的某个并非无关紧要的错误。谢谢你们如此仔细地阅读拙作并弥补我的疏漏。感谢 XiaQ，它针对本文的第一个 beta 版发表了用词严厉的六条建议，虽然我只认同并采纳了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我的一剂清醒剂，让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的
5、几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是在论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇指，你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力，也鞭策着我不断提高自身水平，谢谢你们！最后，感谢 Emacs 这一世界最强大的编辑器的所有贡献者，感谢它的插件 EmacsMuse 的开发者们，本文的所有编辑工作都借助这两个卓越的自由软件完成。谢谢你们自由软件社群为社会提供了如此有生产力的工具。我深深钦佩你们身上体现出的自由软件的精神，没有你们的感召，我不能完成本文。在你们的影响下，采用自由文档的方式发布本文档，也是我对自由社会事业的微薄努力。P01: 01 背包问题题目有 N
6、 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的容量是 ci，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即 fiv表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci+wi这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物品的问
7、题。如果不放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入容量为 v 的背包中”，价值为 fi-1v；如果放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-ci的背包中”，此时能获得的最大价值就是 fi-1v-ci再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 wi。优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V)。先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1.N，每次算出来二维数组 fi0.V的所有值。那么，如果只用一个数组 f0.V，能不能保证第 i 次循环结束后 f
8、v中表示的就是我们定义的状态 fiv呢？fiv是由 fi-1v和 fi-1v-ci两个子问题递推而来，能否保证在推 fiv时（也即在第 i 次主循环中推 fv时）能够得到 fi-1v和 fi-1v-ci的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以 v=V.0 的顺序推 fv，这样才能保证推 fv时 fv-ci保存的是状态 fi-1v-ci的值。伪代码如下：for i=1.Nfor v=V.0fv=maxfv,fv-ci+wi;其中的 fv=maxfv,fv-ci一句恰就相当于我们的转移方程 fiv=maxfi-1v,fi-1v-ci，因为现在的 fv-ci就相当于原来的 fi-1v-ci。如果将
9、 v 的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了 fiv由 fiv-ci推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题 P02 最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解 01 背包问题是十分必要的。事实上，使用一维数组解 01 背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件 01 背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。过程 ZeroOnePack，表示处理一件 01 背包中的物品，两个参数 cost、weight 分别表明这件物品的费用和价值。procedure ZeroOnePack(cost,weight)for v=V.costfv=maxfv,fv-cost+w
10、eight注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成 v=V.0 是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为 cost 的物品不会影响状态f0.cost-1，这是显然的。有了这个过程以后，01 背包问题的伪代码就可以这样写：for i=1.NZeroOnePack(ci,wi);初始化的细节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
11、如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 f0为 0 其它 f1.V均设为-，这样就可以保证最终得到的 fN是一种恰好装满背包的最优解。如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将 f0.V全部设为 0。为什么呢？可以这样理解：初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 0，所
12、以初始时状态的值也就全部为 0 了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。小结01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。P02: 完全背包问题题目有 N 种物品和一个容量为 V 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的费用是 ci，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。基本思路这个问题非常类似于
13、 01 背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件等很多种。如果仍然按照解 01 背包时的思路，令 fiv表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：fiv=maxfi-1v-k*ci+k*wi|0=wj，则将物品 j 去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得 j 换成物美价廉的 i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况
14、的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。这个优化可以简单的 O(N2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于 V 的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以 O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。转化为 01 背包问题求解既然 01 背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为 01 背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第 i种物品最多选 V/ci件，于是可以把第 i 种物品转化为 V/ci件费用及价值均不变的物
15、品，然后求解这个 01 背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为 01 背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。更高效的转化方法是：把第 i 种物品拆成费用为 ci*2k、价值为 wi*2k 的若干件物品，其中 k 满足 ci*2k0 的最大整数。例如，如果 ni为 13，就将这种物品分成系数分别为 1,2,4,6 的四件物品。分成的这几件物品的系数和为 ni，表明不可能取多于 ni件的第 i 种物品。另外这种方法也能保证对于 0.ni间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分 0.2k-1 和 2k.ni两段来分别讨论得出，并不难，
16、希望你自己思考尝试一下。这样就将第 i 种物品分成了 O(log ni)种物品，将原问题转化为了复杂度为 O(V*log ni)的 01 背包问题，是很大的改进。下面给出 O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中 amount 表示物品的数量：procedure MultiplePack(cost,weight,amount)if cost*amount=VCompletePack(cost,weight)returninteger k=1while k0)if(giv=0)print “未选第 i 项物品“else if(giv=1)print “选了第 i 项物品“
17、v=v-ci另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据 fiv的值实时地求出来，也即不须纪录 g 数组，将上述代码中的 giv=0 改成 fiv=fi-1v，giv=1 改成 fiv=fi-1v-ci+wi也可。输出字典序最小的最优方案这里“字典序最小”的意思是 1.N 号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出 01 背包最小字典序的方案为例。一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品 1 的最优方案，那么答案一定包含物品 1，原问题转化为一个背包容量为 v-c1，物品为 2.N 的子问题。
18、反之，如果答案不包含物品 1，则转化成背包容量仍为 V，物品为 2.N 的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以 i.N 而非前所述的 1.i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从 N 到 1 输入时，如果 fiv=fi-v及 fiv=fi-1f-ci+wi同时成立，应该按照后者（即选择了物品 i）来输出方案。求方案总数对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的 max 改成 sum 即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品，转移方程即为fiv=sumfi-1v,fiv-ci初始条件 f00=1。
