1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区
2、设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) 1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1自来水定价问题摘要本文在政府提高水价的情况下，以北京市为例，针对阶梯型水价合理性分析以及水价方案、节水量的求解问题，建立了阶梯式水价模型、线性优化模型，
3、利用 LINGO软件，得到阶梯型水价科学性的结论、水价的合理建议及实施新水价方案后的节水量。问题一：此问是考虑阶梯型水价的合理性分析的问题。本文首先基于线性支出系统理论，用各个梯度上的水,以及其他各种商品满足的效用函数为目标函数，居民总支出为约束条件建立了阶梯式水价模型。代入05年北京的数据解得：未实行阶梯式水价时，北京市年人均自来水用量为60.02立方米 ；实行水价级差为1：2：5时,北京市年人均自来水用量为46.49立方米 ；实行水价级差为1：3：5时，A市年人均自来水用量为43.33立方米。由此可知：实行1:3:5阶梯式水价差可以减少人均用水量，使水资源的分配更加合理，提高有效水资源的利
4、用率。问题二：此问是在问题二的基础上考虑能否给出更合理水价方案的问题。本文在保证供水企业成本的全部收回或微含微利的基础上，考虑居民收入和承受能力，以承受能力为上限，供水企业全部成本和微利为下限为约束条件，各行业总产值最大为目标函数，建立一个线性优化模型，根据附录所给数据，并利用 LINGO 软件求解出调整后合理的水价方案如下表：用水类型 居民 工商业 服务业 洗浴业 洗车业、 农业赔水 中水水价（元） 3.69 4.10 4.68 90.00 54.00 0.60 0.96问题三：此问是在前两个问题上考虑新水价方案节水量的问题。根据新的方案的水价，可以得到各行业自来水总节约量为 1644.7
5、万立方米，再根据此行业的用水量占总用水量的比例，可得出新方案的节水量为 8320.9 万立方米。关键词： 阶梯式水价 效用函数 线性优化模型 LINGO2一、问题重述1.1 问题背景水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，也一个非常敏感的社会问题。目前大部分自来水公司都在亏损运转，提高水价会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和政府对水价调整是慎之又慎。1.2 涉及材料背景北京市水价调整听证会的报道（参考网址:/ 市 2005 年暨“十五”期间国民经济和社会发展统计公报。1.3 问题提出（1）根据北京市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价，尤其是对阶梯式
6、水价方案的合理性和科学性进行分析评价。（2）你能否给出更合理的水价方案？并给政府提出合理化建议。（3）请你分析预测新的水价方案后的节水量是多少？二、问题分析提高水价不仅影响人民的生活，而且还会影响社会的安定和经济的发展，本文则主要针对阶梯式水价合理性、如何给出具体水价方案以及节水量进行分析。问题一：对于阶梯型水价的合理性分析，本文只考虑居民生活用水采用阶梯型水价，而不考虑奢侈品的用水为阶梯型水价。阶梯型水价合理性分析不仅仅是对阶梯式水价的合理性分析，同时也是对选择水价极差为多少的分析。因此本文首先用各个梯度上的水,以及其他各种商品满足的效用函数为目标函数，居民总支出为约束条件建立了阶梯式水价模
7、型。然后根据附录所给的数据，将未实行阶梯式水价、实行水价级差为1：2：5、实行水价级差为 1：3：5 分别计算其人均用水量。最后比较人均用水量得出实行 1:3:5 阶梯式水价差可减少人均用水量，提高水资源的利用率的结论。问题二：根据所给条件给出更加合理的水价方案。根据所给条件给出更加合理的水价方案。水价方案的制定，往往比较复杂，需要考虑的因素很多，涉及到的用户也很多。过低的水价，不能起到督促居民、企业等节约用水的效果，同时供水公司的利益也会减少，影响其正常运营。而过高的水价又会影响居民的正常生活、增加企业的生产成本，给企业的发展带来不利。所以，要综合考虑这些因素，找到一种优化方案，确定各行业用
8、水的价格。这一方案在起到节约用水、保证公司正常运营作用的同时，也能让居民接受，并且能够促进企业的发展。并根据前两问给政府给出合理建议。问题三：在问题二的基础上算出新方案的节水量。本文利用附录中的数据算出实施新方案前的总用水量，然后再根据新提出的水价方案算出实施新方案后的总用水量，最后比较出新方案的节水量。3三、模型假设1.我们研究的只是自来水的售价,不考虑整个地区的水价。2.从可持续的角度分析,假设 A 市自来水集团的供水量没有受到自然灾害的影响.即其供水系统稳定。3.北京市 2005 年的经济发展与人口均稳定增长,没有出现剧烈的波动。4.北京市水价是采用完全水价制定的,水污染处理费是自来水集
9、团为排水集团代收的,我们可以把水污染处理费作为自来水集团的成本计价.在文中所说的水价均是在成本基础上论述的。四、主要符号说明1Q表示调价前的用水量2表示调价后的用水量1p表示调价前的水价2表示调价后的水价iqi=1,2,3,4,5,6，分别表示工商业、服务业、洗浴业、洗车业、农业赔水、中水的用水量五、模型建立与求解问题一5.1 问题一的模型建立与求解对于本问题的解决，首先从整体上进行分析，即首先分析整个的水价调整方案的合理性。据附件可知：北京市价格部门提出的调整方案的三个主要目：一是为南水北调工程筹集资金，二是为限制高耗水行业发展，三是为促进居民节约用水。对于此调整方案，我们从以下几点来分析其
10、合理性：（1）从自来水集团的角度出发，供水成本增加，由于原水资源水质的恶化带来了4自来水生产和供应上的变化，使得北京市的自来水价格已不适应当前的供水情况，调整水价也缓解了供水企业所面临的亏损压力。（2）从改善水资源的角度出发，为改善水资源的匮乏和恶化，政府实施了南水北调工程，而此工程的资金需要从自来水销售价格中来筹集。另外，随着人口的增加，用水量也逐渐增加，由此产生的污水也在增加，因此处理污水也成为自来水集团的又一艰巨任务，对于污水的处理，污水处理量增加，资金需求量加大，污水处理标准提高，所以处理污水也需要一笔大的资金。（3）从节约水资源的角度出发，水价的调整会引起人民对水资源的重视，同时人们
11、会形成节约用水的观念。从上述的三点来看，调整水价是有一定的道理，同时调整水价也是考虑到了可持续发展，对社会的发展也具有一定的促进作用。5.1.1 阶梯式水价分析接下来，我们针对阶梯式水价进行理论性的讨论和研究。自来水是指经过自来水厂处理后可直接饮用的水，具有一定的价值。在市场经济条件下，自来水是商品。按照市场经济的商品供求规律，在市场总需求一定的条件下，商品的需求量一般会随着商品价格的上升而下降。自来水大体上也遵循上述供求规律，但是自来水在干旱缺水地区有稀缺性，如果定价不合理将破坏当地水资源，引起水资源的不合理分配。自来水的定价应该区别于一般的商品定价，其定价政策应该首先保证居民的最基本需要，
12、还要抑制不合理需求，而一般的单一水价又不能做到这两点。因此，对居民生活用水用该实行阶梯式水价。阶梯式水价，就是对用水者按用水量分阶段征收不同价格的水费。用水量超过一定额度后，水价随之上浮,超得越多，水价越高。阶梯式计量水价共分为三个梯次：第一梯次是保障居民基本生活的需水量, 在此范围内,水价较低,市民都能够承受水费的支出；第二梯次是在保障居民基本生活的需水梯次后为改善和提高生活质量而增加的用水量, 在水资源比较紧张的条件下,水价比第一梯次范围内高,一般为第一梯次范围内用水价格的2倍左右；第三梯次是超过第二梯次范围、为满足特殊要求的用水量,比如家庭泳池用水等,此范围内的用水实行较高的价格,一般为
13、第一梯次范围内用水价格的10倍左右。而对于作为奢侈品的用水本文则先不进行讨论，下边我们主要分析居民用水阶梯型水价方案的合理性。5图一 用水量与水价的关系根据上图，可以计算得出下表，下表为阶梯式用水量的支出费用表。i=1,2,3；表示第 i 阶的自来水价格iPi=1,2；表示阶梯式自来水价格价格变化时的用水量iQ表示居民用水量X表 1 用阶梯式用水量的费用分布用水量 X 用水量为 X 时的费用1Q0P12 2)(Q )3121X根据 A 市自来水集团提供的四个阶梯式水价方案（详见下表） 。表 2 四个阶梯式水价方案 按四人户定量（立方米）方案第一级 第二级 第三级 水价级差一 12 12-16
14、16 1：2：5二 12 12-16 16 1：3：56按三人户定量（立方米）方案第一级 第二级 第三级 水价级差三 9 9-12 12 1：2：5四 9 9-12 12 1：3：5市自来水集团同时建议，按四口人家庭确定基数水量，更符合北京市实际情况。水价级差可在 135 或 125 两个方案中选择。因此在本文中，对于问题一，我们将会首先分析阶梯式水价的合理性，其次说明选择水价极差为多少时更符合实际情况。5.1.2问题一的模型建立在本题的解决研究中，我们选择用效用函数的阶梯式自来水水价模型来分析并选择水价级差。将自来水按水量划分为m个阶梯,设水量的划分密度为t (每t单位水为一个台阶) ,在第
15、i 阶上的水价为p i，需水量为x i，对于其他商品而言，p i表示商品的价格，x i表示第i种商品的需求量。根据线性支出系统理论,消费者所用的各个梯度上的水,以及其他各种商品满足如下所示的效用函数:（1）mi nmiii xxaU11)l()l(式中： 表示阶梯式自来水； 表示其他商品； 表示起码miix1)ln( nii1)l( ix生活水平下第i种商品的需求量；n代表商品的种类与自来水阶梯数m的和。预算约束为（2）01Mxpini式中: 为居民总支出。M消费者在预算约束下，追求效用函数的极大化，因而构造以下拉格朗日函数：（3）)()ln()ln(),( 11121 niimiimiin
16、MxpxxaPL 由一阶条件有（4）0),2(Lipi因此，最优化的一阶条件为jipxjUi 7即)()(jjii xpaxjjiiija两边对j求和,并注意到 ，则得niiMxp1， （5）njjnjiii xpax11 ),21(ni令 ，则 ，njii1njjii xpMx1),21(ni总用水量等于各个梯度上需水总量相加,即（6） mi njjiimi xpxx111总在本题给出的附件中，阶梯式水价是三个阶梯，所以，总用水量表示为（7） 31131i njjiii xpMxx总5.1.3 问题一的模型求解根据题目中附件 1 可知：北京市居民人均月用水量为 3 立方米，则人均年用水量为
17、36 立方米。2005 年的人均年总消费支出 M=23636 元，人均基本生活支出。根据参考文献，可以用类比的方法来确定 ，一般情况下，对于维持49201njjxp i基本生活的必需品和奢侈品的消费倾向小于一般正常的消费品，即 ，且231，根据 2005 年全国城镇居民的消费支出和边际消费倾向统计表结果，休闲娱0i乐和交通通讯的边际消费倾向分别 0.04 和 0.15。通过类比的方法，模拟 的值。321,将维持基本生活的第一级水的消费倾向 ，只是为了满足生活基本需要，可以认为01剩余收入对于这种商品的边际消费为 0.第二级水消费类比为正常消费品交通通讯。第三级水消费为了满足奢侈需求，类比为休闲
18、娱乐，因为休闲娱乐看成奢15.028侈品补充型消费支出， ，考虑水费支出占人均收入的比率为 2.5%，所以得到04.33321 1025.04,175.5.,0 因此,满足基本需要后,消费者用剩余货币消费后面两个梯度上的水量：，)(926( 321311 pxpMi njji 人均年自来水用量为:（立方米） 32131 )403(6pxi 总根据方案，北京市 2006 年的居民用水一阶水价（包含污水处理费）将从 2005 年的 2.9 元涨至 3.7 元。当不实行阶梯式水价时， ，人均年自来水用量为 :7.321p)(02.6)4906(3 33211 mpxi 总当水价级差为 1：2：5 时
19、， ， ， ，人均年自来水用量为:7.1p.25.8)(49.6)49036( 332131 pxi 总当水价级差为 1：3：5 时， ， ， ，人均年自来水用量为:7.1p.25.83)(.4)49036( 33211 mpxi 总通过计算，我们可以得出以下结果：不实行阶梯式水价时，北京市年人均自来水用量为60.02立方米 ；实行水价级差为1：2：5时,北京市年人均自来水用量为46.49立方米 ；实行水价级差为1：3：5时，A市年人均自来水用量为43.33立方米。1、通过分析结果，我们可以得到：a)实行阶梯式水价后的年人均自来水用水量比不实行阶梯式水价的用水量小。所以实行阶梯式水价具有合理性和科学性。b)实行水价级差为1：2：5的年人均自来水用量比实行水价级差为1：3：5时的用水量要大，所以，选择水价级差拟为1：3：5更有效。因此，本题选择方案二最好，即按四人户定量，水级差为1：3：5。根据该集团的测算，调价之后居民每人每年增加支出32元。此时的利润的增加可为南水北调工程筹集资金和其他水利设施的建设或污水处理等项目。2、根据该集团的测算，调价之后居民每人每年增加支出32元，占2005年北京市城
