1、1第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表 9-7 中的两组试验结果，都有两个因素 A 和 B，每个因素取两个水平.表 9-7(a) 表 9-7(b)A1 A2B1B230 5070 90表 9-7（a）中，无论 B 在什么水平（B 1 还是 B2） ，水平 A2 下的结果总比 A1 下的高20；同样地，无论 A 是什么水平，B 2 下的结果总比 B1 下的高 40.这说明 A 和 B 单独地各自影响
2、结果，互相之间没有作用.表 9-7(b)中，当 B 为 B1 时，A 2 下的结果比 A1 的高，而且当 B 为 B2 时，A 1 下的结果比A2 的高；类似地，当 A 为 A1 时，B 2 下的结果比 B1 的高 70，而 A 为 A2 时，B 2 下的结果比B1 的高 30.这表明 A 的作用与 B 所取的水平有关，而 B 的作用也与 A 所取的水平有关.即 A和 B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素 A和 B 的交互作用，记作 AB.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平 A 和 B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差
3、分析设有两个因素 A，B 作用于试验的指标，因素 A 有 r 个水平 A1,A2,Ar,因素 B 有 s 个水平 B1,B2,Bs,现对因素 A， B 的水平的每对组合(A i,Bj),i=1,2,r；j=1,2,s 都作 t(t2)次试验（称为等重复试验） ，得到如表 9-8 的结果：表 9-8B1 B2 BsA1 x111, x112, x11t x121,x122, x12t x1s1, x1s2, x1stA2 x211, x212, x21t x221,x222,x22t x2s1, x2s2, x2st Ar xr11, xr12, xr1t xr21, xr22, xr2t xr
4、s1, xrs2, xrst设 xijkN( ij, 2), i=1,2,r； j=1,2,s； k=1,2,t,各 xijk 独立.这里 ij, 2 均为未知参数.或写为(9.16).,2,1),0( ,;2不ijkijkijijk tsj 记A1 A2B1 B230 50100 80ABAB因素B因 素A2 = , , i=1,2,r,1rsijij1sijj, j=1,2,s,1rjij, i=1,2,r, , j=1,2,s,iijj.ijijij于是 ij= + i+ j+ ij. (9.17)称 为总平均， i 为水平 Ai 的效应， j 为水平 Bj 的效应， ij 为水平 Ai
5、 和水平 Bj 的交互效应，这是由 Ai,Bj 搭配起来联合作用而引起的.易知=0, =0，1ri1sj=0, j=1,2,s,1rij=0, i=1,2,r，1sij这样（9.16）式可写成(9.18) . ,2,1;,;,21),0(0,11不ijk sjirijsjri ijkijjiijk tkNx其中 , i, j, ij 及 2 都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B 及交互作用 AB 是否显著.要检验以下 3 个假设：.,:,0210不rH .,:,210不s .,: ,01230不rsH 类似于单因素情况，对这些问题的检
6、验方法也是建立在平方和分解上的.记3,1rstijkijxxt, i=1,2,r； j=1,2,s，1tijijk, i=1,2,r，1sti ijkjxx, j=1,2,s，1rtj ijkiST= .21()rstijkijx不难验证 分别是 , i, j, ij 的无偏估计.,ijix由 ，()()()()ijkijkijijijijxxx1ir,1js,1kt得平方和的分解式：ST=SES AS BS AB， (9.19)其中SE= ，21()rstijkijijxSA= ，1()riistSB= ，21()sjjrtxSAB= .21()rsijijijt xSE 称为误差平方和，S
7、 A，S B 分别称为因素 A，B 的效应平方和，SAB 称为 A，B 交互效应平方和.当 H01: 1= 2= r=0 为真时，FA= F(r-1,rs(t-1)；(1)()ESrst当假设 H02 为真时，FB= F(s-1,rs(t-1)；()()Esrt4当假设 H03 为真时，FAB= F(r-1)(s-1),rs(t-1).(1)(1)ABESSrsrt当给定显著性水平 后，假设 H01，H 02，H 03 的拒绝域分别为：(9.20)(,);1,(1).ABtsrFst经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表 9-9.表 9-9方差来源 平方和 自由度 均方和 F 比因
8、素 A SA r-1 1ASrFA= ES因素 B SB s-1 BsFB= ES交互作用 SAB (r-1)(s-1) (1)AABSrsFAB= E误差 SE rs(t-1) ()Et总和 ST rst-1在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算 ST，S A，S B，S AB,SE.记 T= ，1rstijkijxTij= , i=1,2,r; j=1,2,s，1tjkTi= , i=1,2,r,1stjkjxTj= , j=1,2,s,1rtiki即有5(9.21)2121221,.rstTijkijrAisBjjrsAijABiETABTSxrstttTSttStrt
9、S例 9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以 kgcm-2 为单位）的观察数据如表 9-10 所示.试在显著水平 0.10 下分析不同的硫化时间（A） ，加速剂（B）以及它们的交互作用（AB）对抗牵拉强度有无显著影响.表 9-10加速剂140下硫化时间（秒） 甲 乙 丙40608039，3643，3737，4141，3542，3939，4040，3043，3636，38解 按题意，需检验假设 H01,H02,H03.r=s=3, t=2，T,Tij,Ti,Tj的计算如表 9-11.表 9-11加速剂Tij硫化时间甲 乙 丙 Ti406080Tj75
10、 80 7876 81 7970 79 74221 240 231233236223692ST= =178.44，21,rstijkijTxrstSA= =15.44，21risttSB= =30.11，21jjTrtrstSAB= =2.89，21sijABi SttSE=ST-SA-SB-SAB=130，6得方差分析表 9-12.表 9-12方差来源 平方和 自由度 均方和 F 比因素 A（硫化时间）因素 B（加速剂）交互作用 AB误差15.4430.112.8913022497.7215.560.722514.44FA=0.53FB=1.04FAB=0.05总和 178.44由于 F0.
11、10(2,9)=3.01FA,F0.10(2,9)FB,F0.10(4,9)=2.69FAB,因而接受假设 H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表 9-13.表 9-13因素 B因素 AB1 B2 BsA1 A2Arx11 x12 x21 x22 xr1 xr2 x1sx2sxrs这时 =xijk,SE=0,SE 的自由度为 0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析 .ij但是，如果我们认为 A，B 两因素
12、无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将 SAB 取作 SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素 A，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式, (9.22)112,0,(),;1,2,.ijijijrsijijkxNirjs 各 相 互 独 立要检验的假设有以下两个： .,:,0210不rH .,:,210不s 记 111,rs rijij ijixxxx平方和分解公式为：7ST=SA+SB+SE， (9.23)其中 221 1(),(),rs sTij iij jxx2 211(),(),s rsBjEijijj ijSrSx 分别为总平方和、
13、因素 A，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为 ,当 H01 成立时，FA= F(r-1),(r-1)(s-1)，()AEsSH01 拒绝域为FAF (r-1),(r-1)(s-1). (9.24)当 H02 成立时，FB= F(s-1),(r-1)(s-1)，(1)BESH02 拒绝域为FBF (s-1),(r-1)(s-1). (9.25)得方差分析表 9-14.表 9-14方差来源 平方和 自由度 均方和 F 比因素 A因素 B误差SASBSEr-1s-1(r-1)(s-1)SA= SB=1rsSE= (1)rFA= ESFB=总和 ST rs-1例 9.6 测试某种钢不同含铜量
14、在各种温度下的冲击值（单位：kgmcm -1） ，表 9-15 列出了试验的数据（冲击值） ，问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（ =0.01）表 9-15铜含量冲击值试验温度0.2% 0.4% 0.8%200-20-4010.67.04.24.211.611.16.86.314.513.311.58.7解 由已知，r=4, s=3,需检验假设 H01,H02，经计算得方差分析表 9-16.8表 9-16方差来源 平方和 自由度 均方和 F 比温度作用铜含量作用试验误差64.5860.745.4332621.5330.370.90523.7933.56总和 130.75 11由于 F0.01(3,6)=9.78FA,拒绝 H01.F0.01（2,6）=10.92F B,拒绝 H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.
