1、小学生运算思维品质培养的实验研究北京师大 林崇德 霍懋征等一、问题的提出小学生的数学能力应包括哪些结构，是如何发展的，这在教育界和心理学界众说不一。在过去自己的一些粗浅的研究中初步看到，对于小学生数学能力发展特点的研究，必须要使研究方式处于“动态“之中，即充分考虑到教育的主导作用，这样才能使研究获得可靠的、科学的结论。同时，我们还看到，小学生在运算过程中其思维品质是相当重要的，研究思维品质，可以作为研究数学能力的突破点。思维品质，是在个体的思维活动中智力特征的表现。人的思维就其发生和发展看，既服从于一定的共同规律，又表现出人与人之间的个体差异。这种个体差异就是思维品质，又可叫做思维的智力品质，
2、在小学生数学运算中，突出的思维品质是敏捷性、灵活性、深刻性和独创性等四个方面。思维的的敏捷性就是思维过程的速度;思维的灵活性是指思维活动的灵活程度;思维的深刻性也就是逻辑性，这是思维活动中抽象水平的表现，即抓住问题的本质和规律，开展系统的理性活动;思维的独创性是指独立思考创造出有一定新颖性成分的智力品质。这四个品质是区分儿童智力、才能的重要指标之一，也是提高儿童数学学习成绩的关键。我们的研究是密切结合学校第一线教学工作进行的，其目的就在于探讨小学生在数学运算过程中，如何通过有效的教学途径来培养上述儿童思维品质和提高教学质量、减轻学生的负担，并以我们提出问题概念界定的研究结果来讨论小学生数学能力
3、的结构和提出一些小学数学教学的建议。二、方法与步骤我们通过横向方法与纵向方法相结合，教育与心理发展相促迸，使整个研究处于“动态“。即从发展变化的观点来研究问题， 围绕着小学生运算过程中思维的敏捷性、灵活性、深刻性和独创性等四个品质的培养，展开全面的实验研究。(一) 实验班与控制班的确定研究的被试者，系北京市幸福村学区二至五年级八个班学生，每个年级两个班(一个实验班，二个控制班) ，为了便于统计，随机取样，每班定 35 名，共有被试者 280 名。实验班与控制班的被试者，均系就近入学;其中二、五年级实验班，都是儿童一人学就开始追踪研究，三、四两个年级追踪仅一年时间，研究前通过智力检查及语文与算术
4、两科考试，成绩都无显著的差异(经过检验，P0.1)，组成一一对应等组;使用教材相同( 都是全国通用教材);在校上课、自习及所留作业量相同，学生家长职业、成分大致相似，没有发现任何特殊的家庭辅导，或增加练习量的现象。所不同的是选择实验班的教师，应能与实验者积极配合，突出教学方法的改革，以利于实验班儿童在运算中思维品质的培养。而控制班按一般的教学方法进行，即不使用实验班的教学方法。实验班教师系统地学习了儿童思维心理学知识与思维品质的培养方法，定期集体备课，统一实验指导思想与具体措施;定期按实验措施搞“培养思维品质教学观摩课“，不断改进培养计划。(二) 实验措施的贯彻 (怎样采取措施)我们按照思维品
5、质的内容，并总结了北京市十余位先进数学教师的经验，制定了小学生在运算中思维品质的培养措施，内容如下:1、培养思维的敏捷性，主要是培养正确迅速的运算能力。具体的措施有两条:(1)在正确的基础上始终有速度的要求。我们强调敏捷运算思维的前提是正确。对于低年级，教师狠抓儿童的计算正确率，要求百分之百正确。落实到儿童身上，一是认真审题，划出重点词，二是题题有验算(如逆运算) ，三是错题当日更正;落实到教师身上，加强“及时强化” ，做到每天当堂批改作业，对的打“” ，错的不表态，让儿童在运算中获得及时的肯定与否定，从记忆到思维，有一个及时刺激，增强正确的“条件联系” 。在正确的基础上抓速度练习:a、低年级
6、，我们将正确而迅速的计算要求作为学习常规的重要内容。在速算练习时，我们不使用公开发行的固定的“速算卡片” ，因为时间一长，儿童就背熟了卡片中的习题和答案;而是教师每天换新习题，用黑板或写在纸上一道道出示，使儿童进行运算思维的速度练习而不是机械记忆的训练。b、在形成一定学习“常规”的基础上，每天坚持五分钟左右的速算练习。具体内容有：一是口算，如每人一题，一人计算，全班注视，发现错误，立刻更正，这样一人接一人回答，十分紧张：二是速算比赛，有规定时间比正确迅速完成计算的数量的，有给练习题比完成的时间，儿童在比赛申产生兴趣和“好胜”心理，逐步形成正确迅速的运算习惯;三是接力完成一个复杂题，例如应用题类
7、型复习，一人说类型特征，另一人接着说解题方法，第三人出一道这类的应用题，第四人说出答案，全班儿童，高度集中注意力，人人练习正确迅速地思考问题。c、到中、高年级，强调在数学运算中能把正确、迅速与合理、灵活结合起来。我们认为，思维结构是在法则支配下有一定方向、材料和形式的系统。速算的合理、灵活性，很重要的一点在于运用算术法则，于是我们鼓励儿童开动脑筋，充分运用速算方法和交换 律、结合律、分配律等算术法则，合理而迅速地运算。例如，对(60 +(357375-375356)+25) 12，只要运用分配律，提出 375，很快地获得答案而不需按部就班演算了。(2)教给儿童一定的速算要领与方法。速算方法有上
8、百种。我们是按照不同年级儿童所学不同的数学内容，分别教给他们，儿个数相加，中间有互补的，可以先加;连续数的加法，可以归纳为首项加上末项，再乘以项数的一半即成;某数(0 除外) 乘以或除以 5、25、125、625可以用五倍的数计算等，使他们能提高运算的速度。心理学认为，重复练习是形成习惯的重要条件。教会速算方法，反复地练习，儿童就能从领会这些方法到应用这些方法，这样逐步地“熟能生巧” ，一旦变成习惯-“生巧”，不仅可以丰富数学知识，而且可以促进思维敏捷性品质的发展、2、培养思维的灵活性，主要是培养儿童“一题多解” 、 “一题多变”的运算能力。我们认为，一题多解和一题多变是一种发散式的灵活的思维
9、方式，它们不仅是培养思维品质灵活性的好方法，而且还是一个提高教学质量的老方法。衡量一个儿童的智力高低，主要是看解决题目的难易程度和灵活程度，而不只是看解题的多寡。一题多解和一题多变的教学与练习的步骤与方法是:(1)抓儿童知识之间的“渗透”和迁移。心理学认为，迁移的实质是概括，迁移是灵活地运用知识的基础。我们实验申的措施是“运用旧知识，学习新知识” ，做到“新课不新” ，使每个旧知识都是新知识的基础;而每个新知识又是在旧知识基础上获得发展，这就为知识之间的“渗透”和迁移，提供了可能性。(2)引导儿童 “发散式”的思考。思维有发散式的，也有辐合式的。前者求多解，后者求一解;前者求异，后者求同。我们
10、认为这两者是统一的，后者是前者的基础，前者是后者的发展。在培养发散式思维时，我们分三步进行:第一步，通过儿童认识数量关系来培养，例如，任何一道试题，都能有“一加二减”三道题，或有“一乘二除”三道题。第二步，让儿童根据题中两个已知数量之间的关系揖考能提出哪些问题来。例如对“甲班种树 15 棵，乙班种树 30 棵” ，儿童经过发散式思考，可以从提出两三个问题逐步发展到 10 个左右的问题，最后个别儿童竟提出 23 个问题。这样训练，像滚雪球一样，越滚越大，使儿童根据题中的数量关系，经过“发散” ，可以得到众多的新的数量关系。第三步，进行应用题的发散思维训练。儿童可以把一道应用题，通过改变条件或问题
11、，从一步应用题，发散成五步、六步，甚至七步应用题;也可以把多步应用题，最后辐合为一道一步题。这一点，现时教学大纲并不提倡。 但我们认为，思维是对事物内在关系的反映，步数多，数量关系多，要找出多步的关系，d 能有力地锻炼儿童的思维不断地从具体的向抽象的过渡，逐步灵活地把握数量之间内在的关系及变化，提高思维的抽象逻辑程度。(3)教师的一个重要做法是每堂课都有精选例题，按类型、深度编选适量的习题，再按深度分成几套，使儿童通过一题多解，一题多变，灵活运用，以便在思维灵活性品质上有所发展。3、培养思维的深刻性，即逻辑性。我们认为，小学生数学逻辑思维能力，应包括数学概括能力、空间想像能力、数学命题能力、逻
12、辑推理能力和运用法则能力等五种。这里，数学概括能力是一切能力的基础。在实验中，我们在培养儿童思维深刻性上，着重点放在提高他们的概括能力上。(1)小学阶段，数的概括能力含义是什么?心理学已经指出，主要包括:a、认识数的实际意义(例如， “10”代表十个， “1/2”是指半个，等等); b、对各类数的顺序和大小的理解( 例如，89 在 98 之前，98在 89 之后，89(98，98,89); c、数的分解组合的能力和归类能力(例如， 100 由 50+50 组成，或由 10 个 10 组成，或由 1 叨个 1 组成，等) 。其中数的分解组合能力是数的概括能力的核心。因此，在实验班的教学中，突出抓
13、数的分解组合的培养。例如，一年级上学期的重点是 20 以内的进位加法和退位减法，正常进度用 53 课时，一位实验班教师，并没有按照教科书那样对 20 以内的数一个一个分别讲解，而是引导儿童对 20 以内的数比较实际意义，认识大小和顺序，进行组成与分解的练习，一共只用了 10 课时，献出色完成了教学任务(用市里的试题考试，全班仅有一人错了一道小题) 。(2)在培养儿童数学概括能力的基础上，逐步培养儿童逻辑推理的能力。这具体抓了两条:一是在应用题教学中，紧紧扣住简单应用题的十一种类型的教学，使儿童从类型出发，领会每种类型的解题原理，并以此为大前提，进行演绎，掌握各类应用题的解答方法，体现出应用题教
14、学中“一步是基础，两步是关键”的特点。十一类简单应用题的教学，按教学进度，要跨两年半到三年的时间，但考虑到应用题的教学中类型起演绎推理大前提作用，一位实验班教师全面分析了十一类应用题的特点，按四种基本数量的关系，引导儿童加以归类，结果只用一年时间就完成了十一类应用题的教学任务。之后，儿童充分获得运算演绎推理式有关习题的时间和机会。二是引导儿童在同类习题的运算中，善于归纳出一般性的算术原理来。例如，通过让儿童计算 14=0.25，1*2/4*2=0.25=?获得分数性质。这样，不仅又快又好地使儿童领会分数性质，而且也使他们学到了归纳法。演绎和归纳是逻辑推理的重要形式，通过训练，实验班儿童较快地学
15、会了自己提出假设、验证假设，能够进行算术范围内的逻辑推理了。(3)数学命题 (判断)能力和空间想像能力的培养不是我们这次实验的重点，但我们也加以注意了，尤其是儿童的判断能力。我们酶实验班教师重视这样一条措施:在数学教学过程中; 凡是遇到需要判断的机会，一定要启发儿童进行判断，教师不应代替，以发展他们的命题(判断) 能力。所以我们实验班的课堂教学气氛是十分活跃的。4、培养思维的独创性，发展创造性思维。创造性思维的特点具有独立性、发散性和新颖性。我们围绕这些特点采取如下措施:(1)加强培养儿童独立思考的自觉性，把独立思考的要求作为低年级学习“常规”加以训练。(2)提倡 “新颖性” ，在解题中运用的
16、方法越多越好，越独特越好，让儿童去挖掘解题的各种新方法。(3)突出地抓儿童自编应用题，以此突破难点，使儿童进一步理解数量间的相依关系。我们教会实验班儿童十一种编题的方法:根据实物演示或操作编题;根据调查访问编题;根据儿童生活实践编题;根据图画编题;根据图解编题;根据实际的数字材料编题;根据算术式题编题;仿照课本的应用题编题;改编应用题; 根据应用撞的问题编题; 补充题目缺少的条件或问题。这十一种编题的方法，大致分为两大类:前 7 种为一类，反映编题过程要求抽象概括的程度的差异性(以直觉编题十形象编题+语词或数字编题);后 4 种为另一类，反映编题的过程，从模仿，经过半独立的过渡，最后发展到独立
17、性编题的趋势。自编应用题，体现了独立性、发散性(每个学生儿乎编的题都有差异) 和新颖性(每个学生都在按照自己的思路对新异和困难的刺激提出决策) 等思维独创性的特点。我们按照不同难易程度的编题方法，从一年级就开始练习，随着年级的递增，不断增加编题的难度，以培养儿童的运算过程的独创性。(三) 实验者的工作重点我们这个研究与别的研究有一个突出的区别，就是不仅是测定被试者的心理及外部语言、行为的变化或分析其测验的结果，而是把重点放在儿童思维品质的培养上，具体地关注着实验班教师对实验措施的贯彻上。进行实验的单位认为我们在帮助他们培养“数学骨干教师“。我们认为，培养教师的工作是我们对儿童思维能力及思维品质
18、培养的前提。我们的做法，除了上面提到的给实验班的教师讲授思维心理学，组织集体备课，组织经验交流和进行观摩教学之外，每周还深入实验班听课。具体的做法是:(1)对照实验措施，逐条检查实验班教师的教学内容、教学方法、课堂组织、时间安排，甚至于教态。课后，肯定实验措施落实的方面，指出在贯彻实验措施中的不足。发现突出的教法，立即组织观摩课，及时在实验班教师中推广。(2)根据实验措施，逐条观察并记录儿童的反应: a、练习正确率和速度; b、对于各类习题，特别是多解或多变习题、推理习题、要求自编应用题的习题的反应(如举手发言的人数、课堂活跃的程度) ，解题方法和水平; c、对于解题时思路的自述(有时指定儿童
19、写下当时思考的过程)，等等。我们将这些记录及时整理，以便及时总结儿童在思维品质发展中思维活动的共同特征;及时发现教 师在培养儿童思维品质中的成功经验与不足之处，可以调整讲课的方式方法。(3)进一步控制实验班的实验因素，例如，不准增加练习量， 这是检查实验效果的一个重要方面，理由是: a、如果实验班增加练习量，就是增加实验的附加变量，使实验效果难以检查; b、我们实验的一个重要目的，在于“提高教学质量，减轻学生负担” ，因此，除了一年级的实验班留少量的课外作业，以便培养学习常规外，二至五年级，力求当堂的作业课上全部完成(大部分随堂批改，以做到“及时强化”)。课下不留一道作业题，也不用给学生补课来提高实验班的成绩(除个别智力缺陷者之外)。(4)实验者也深入到控制班课堂，作一般性观察，以便发现控制班“控制“的情况，也对有关教师作一些教学法的指导，但原则上不过多地提意见。(四)指标的确定数学能力的测定，有无客观的指标?我们在自己的研究中作了肯定的回答。1、测定思维敏捷性。以速度与正确度为指标，求出时间与正确率，确定正确一迅速，正确一不迅速，不正确一迅速，不正确一不迅速的四种类型。时间统计是一项较难的工作，我们计时的方法是:(1)给定一定
