1、期权定价理论介绍（1）期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于 20 世纪 70 年代，并在 80 年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于 1971 年完成其论文，并于1973 年发表时，世界上第一个期权交易所芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973 年 4 月 26 日成立），定价模型马上被期权投资者所采用
2、。后来默顿对此进行了改进。布莱克斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。期权定价理论并不是起源于布莱克斯科尔斯定价模型（以下记为 BS 定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易巴舍利耶（Lowis Bachelier）于 1900 年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf ，1969 年) 、斯普里克尔（Sprekle，1961 年）、博内斯（Boness，1964 年）、萨缪尔森（Samuelson，1965 年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的 BS 定价理论。一、预
3、备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。假设数额为 A 的资金，以年利率 r 投资了 n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为 。如果每年计 m 次利息，则终值为： 。nr)1( mnrA)1(当 m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额 A 以利率 r 投资 n 年后，将达到： 。rnAe对一笔以利率 r 连续复利 n 年的资金，其终值为现值乘以 ，而对一笔以利率 r 连续rne复利贴现 n 年的资金，其现值为终值是乘上 。
4、rne在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为 S 投资股票，期望以复利 计息，经过 T 时期后（T 一般以年为单位），股票的期望价格为：，从而可得： 。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比TSeSTln1的对数。（二）股票价格的行为过程众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。1、基本的维
5、纳过程要理解遵循维纳过程的变量 z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量 z 值的变化。设一个小的时间间隔长度为 t ，定义 z 为在 t 时间内 z 的变化。如果满足：（1）z （6.1）其中， 是服从标准正态分布 N（0，1）的一个随机变量；（2）对于任何两个不同的时间间隔 t，z 的值相互独立。则称变量 z 遵循基本维纳过程。由（1）知，z 也服从正态分布，且其均值为 0，方差为 t，标准差为 。t由（2)知，z 遵循马尔科夫过程。设 z 值在时间 T 后的增量为 ，这可以被看作在 N 个长度为 t 的小时间间)(zT隔后 z 的变化的总量。其中 ，从而tN(6.2)iit1)0(其中 是
6、服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而),2i也服从正态分布，其均值为 0，方差为 ，标准差为 。)0(zT )(tNTT另外，6.1 式的极限形式可表示为： (6.3)dtz2、一般化的维纳过程变量 x 的一般化维纳过程定义如下：(6.4)bdzat其中 为常数， 为同 6.3 式的基本维纳过程。ba,z项表示变量 x 在单位时间内的漂移量，其期望值为 。dt a项可被看作为增加到 x 轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的 倍。z b在缺省 项的情况下，方程变为： dtx对其积分可得： at0其中 x0 为变量 x 在零时刻的值。经过 t 时间后，x 增加的值为 。at6.4 式的
7、离散形式为：(6.5)tbtazt从而， 具有正态分布，且 的均值为 ，方差为 ，标准差为 。xxtatb2tb经过时间 T 后， 值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为 ，方差为aT，标准差为 。b2b方程 6.4 给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为 ，方差率（即单位时间的方差）的期望值为 。如图 6.1 所示。2b3、ITO 过程（ ITO process）ITO 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为： dztxbtadx),(),(ITO 过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。在 BS 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循
8、ITO 过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价 S 的变动可用瞬时期望漂移率为 ，瞬时方差率为 的 ITO 过程来表达。表示为：2S(6.6) Sdztd(6.7) S这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的方差率恒为 0 时： ，得： 。其中， 是零时刻的股价。这说明了当方差率dtteS00S为 0 时，股价以单位时间为 的连续复利方式增长。图 7.1 一 般 化 的 维 纳 过 程 时 间 t变 量 x6.7 式的离散形式为：(6.8) ttztS例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年 30%，预期收益率以连续复利计每年 15
9、%，即 ，则股票价格的行为过程为：30.,15.dztSd30.15化为离散形式： t方程 6.8 的左边是短时间 后股票的收益比, 项是这一收益的期望值, 项tt是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差 )为 ,该方程表明 服从均值为 ,t2S方差为 的正态分布。即：t2),(tNS4、ITO 定理和股票价格的对数正态分布由前面的讨论知道，股价 S 的运动遵循 ITO 过程： Sdztd如果变量 G 是股价 S 和时间 t 的函数，即 G=G（S，t）由泰勒展开式，有： 22211tGtGt(6.9)由 6.8 式得， tStzSt因此， )(22o由于 服从标准正态分布，所以 10)(
10、22 ED因此 的期望值为 ，其方差的阶数为 。当 趋于 0 时， 变为非随机t2tttt2项，且等于该值对 的期望值，所以 就变成非随机项，且当 趋向于零时，S2其值等于 。将上述结果代入 6.9 式，且令 和 趋向于零，得其微分形式：tS2t(6.10)SdzGtStGd)1( 22这就是 ITO 定理。它表明 ITO 过程 S 和时间 t 的函数 G 也遵循 ITO 过程。由于 G 是 S 的函数，因此 G 与 S 都受到同一个基本的不确定性来源的影响。上式中，令 ，得：lndztd)2(这表明 G 遵循恒定的漂移率为 ，方差率为 的一般化维纳过程。由前面的2结果知，在当前时刻 t0 和
11、将来某一时刻 t1 之间 G 的变化是正态分布，均值为： T)2(方差为：其中 T 为时间间隔 t1 t0。t0 时刻 G 的值为 ，t 1 时刻 G 的值为 。其中 ST 是 T 时刻的股票价格，因此lnSTln在 T 期间 G 的变化为： 。 从而有：0lT（6.11）NST,)2(lnl0TT,)(ll0)2/(0TTT teS这表明，当 S 给定时，S T 服从对数正态分布，且有： )()2/(0tTEETTeSe02/)2/(20)2/( )( TT eSESDt 120TeS另外，由 6.11 式得： NST,)2(lnTNST,2ln1而我们又知道，时刻 t0 与 t1 之间的连续复利年收益率为：STln1从而有： N,2也就是说，连续复利年收益率服从均值为： ，标准差为： 的正态分布。2T说明：此处的 为无限短时间的预期收益率，而 是指预期连续复利)2(收益率。
