1、1南通市教研室 2012 年数学全真模拟试卷三试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知向量 a(12)， ， b(32)， ，则 ()ab= 2 若直线 yx为函数1yx的一条切线，则实数 3 若使“ 1 ”与“ a ”恰有一个成立的 x的取值范围为 10x ，则实数 a的值是 4 已知点 A为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧B的长度大于 1 的概率为 5 给出如下 10 个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68根据这些数据制作频率分布直方图，其中 64.5， ）
2、 这组所对应的矩形的高为 6 已知2 ，且 sin12，则 cos 7 某圆锥的侧面展开图是半径为 1cm 的半圆，则该圆锥的体积是 cm 38 对于定义在 R上的函数 ()fx，下列正确的命题的序号是 若 (2)1ff，则 f是 上的单调增函数； 若 (2)1ff，则 ()fx不是 R上的单调减函数；若 ()fx在区间 0， 、 ， 上都是单调增函数，则 ()fx一定是 上的单调增函数9 给出下列等式： 2cos4， 2cos8， 22cos16， 请从中归纳出第 n*N个等式： 2n个 10已知电流 (A)I随时间 (s)t变化的关系式是 si0)IAt， ， ，设 105A， ，则电流(
3、)I首次达到峰值时 t的值为 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 (02)A， ， ( 0)B， ， (1 )C， ，分别以 ABC的边ABC、向外作正方形 EF与 AGH，则直线 F的一般式方程为 ABCOyxEGH（第 11 题图）212设 xy、 (2)， ，且 1xy，则函数2249xy的最小值为 13已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆2169yx的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为 14已知 为非零常数，数列 na与 2n均为等比数列，且 2013a，则 1a 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
4、明过程或演算步骤15 （本题满分 14 分）已知 sin1cos3, （1）求 co的值；（2）求 s的值16 （本题满分 14 分）如图，在正四棱锥 PABCD中，点 M为棱 AB的中点，点 N为棱 上的点.（1）若 ，求证： /N平面 P；（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假. 若为真，请证明；若为假，请举反例.17 （本题满分 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设点 ( )0Aab， ，点B为直线 l： ybx与抛物线 C：21xy异于原点的另一交点（1）若 a 1，b 2，求点 B的坐标；（2）若点 A在椭圆24y上，求证：点 B落在双曲线241xy上；（3）若点 B始终落在
5、曲线 ()cxd（其中 cd、 为常数，且 0c）上，问动点 A的轨DN（第 16 题）PA BCMQ3迹落在哪种二次曲线上？并说明理由18 （本题满分 15 分）如图甲，一个正方体魔方由 27 个单位（长度为 1 个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层 1EFGH转动 ，如图乙，设 的对边长为 x（1）试用 表示 x；（2）求魔方增加的表面积的最大值19 （本题满分 16 分）设各项均为非负数的数列 na的为前 项和 nSa（ 12， R） （1）求实数 的值；（2）求数列 na的通项公式（用 2, 表示） （3）证明：当 2mlp（ l*N, ）时，2mlpS20 （本题满分 16 分
6、）记定义在 1 ， 上的函数2()fxpq（p，q R）的最大值、最小值分别为 M、N ，又记 ()hpMN（1）当 02 时，求 M、N（用 p、q 表示） ，并证明 ()1hp ；（2）直接写出 ()hp的解析式（不需给出演算步骤） ；（3）在所有形如题设的函数 ()fx中，求出所有这样的 ()fx使得 ()f的最大值为最小试题（附加题）EFGH11（图甲）11 EFGNMxH（图乙）421 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A （几何证明选讲）如图， T为单位圆 O的切
7、线，过切点 T引 OA的垂线 TH， 为垂足求证： H为定值B （矩阵与变换）已知矩阵12A，51B满足 AXB，求矩阵 C （极坐标与参数方程）将参数方程1(e)cos 2inttttxy，（ 为参数， t为常数）化为普通方程（结果可保留e） D （不等式选讲）已知正实数 abc， ， 成等比数列，求证：222()abcabc【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22一批产品共 100 件，其中有 3 件不合格品，从中随机抽取 n（ *N）件，用 X表示所抽取的 n件产品中不合格品的个数（1）若 2，求
8、 X的概率分布；（2）求使 1的概率取得最大值时的 n的值 （参考数据： 901.5）23设等差数列 na的首项为 1，公差 d（ *N） ，m 为数列 na中的项（1）若 d=3，试判断 mx的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个 d，使得对每一个 m， 1mx的展开式中均不含常数项南通市教研室 2012 年数学全真模拟试卷三参考答案OAHT（第 21A 题）51. 4； 2. 2； 3. 0； 4. 13； 5. 15； 6. 1； 7. 3； 8. ；9. 12cosn； 10. 1； 11. 40xy； 12. 2； 13. 25xy； 14. 3答案解析1 (
9、)(12)40ab=， ， ；2. 由 2yx得 ，故切点为 (1 )， 或 1)， ，代入 yxb得 2；3. 易得 0；4. “劣弧 AB的长度大于 1”的概率等于 3；5. 落在区间 64.5， ） 的数据依次为 65，66，66，65，共 4 个，则矩形的高等于10=6.5-频 率组 距；6. 法 1 由2 得536 ，且 sin162，所以56，则cos36，此时cs1622；法 2 由 得53 ，且 sin6，所以56=，则 cos1；7. 设圆锥的底面圆的半径为 r，高为 h，则由 2r得12， 23h，所以该圆锥体积 2313V；8. 对于：不符合单调增函数的定义；正确；对于：
10、注意在 0x处，若函数 ()fx不连续时该命题就不一定正确；9. 易得第 n*N个等式： 2n个 1cosn；10. 易得周期2150T，则函数 si0)IAt， ， 首次达到峰值时1420Tt；11. 易得 ( 4)( 3)FH， ， ， ，则直线 FH的方程为 41xy；612. 易得2222249479443yxxyx，设294txy，则29txy 1（当且仅当24y时等号成立） ，则原式723512tt（当且仅当 12t时等号成立） ；13. 易得椭圆2169yx的外切矩形的四个顶点 4 3， 必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为25xy，可以验证过该圆上除点 ， 的任
11、意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆2169的交点都各只有一个；14. 因为数列 na与 n均为等比数列，所以 2112nnnaa且21nna，得 1a，故数列 na也为等差数列，不难得数列 na为非零常数列，则1203a15命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力（1）因为 sin1， cos3，2 得222 2iinicoscos4， （3 分）即 2+2 cos4， 所以 1；（6 分）（2） 2 得22 22sincos2sincosin即 cos()， （8 分）故 ()2cos()cs()()2， （12 分）化简得 coss()1，由（1）得12. （1
12、4 分）16命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、 DN（第 16 题图）PA BCMQ7推理论证能力【证明】 （1）延长 CM， DA交于点 Q，连结 P，因为点 N为线段 P上的点，且 ，所以点 为线段 的中点，又点 为线段 B的中点，所以 /PQ， （3 分） 又 MN平面 AD，平面 ，所以 /平面 .（6 分）（2） （1）的逆命题为：若 /N平面 PAD，则 PC（真命题） ， （8 分）下证之： 因为 /平面 ， MN平面 PQC，平面 AD平面 PQ，所以 /MN， （12 分）在 C中，点 为线段 AB的中点，点 N为线段 PC上的
13、点，所以，点 为线段 P的中点.（14 分）17命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探究能力解：（1）由 ybx与则21yab联立方程组得 1 bBa，又 a 1，b 2，则 B， ；（3 分）（2）将 ( )0Aab， 代入椭圆214xy得214b，将1 B，代入 2222aa，即证；（7 分）（3）将 ba，代入2()ycxd（其中 cd、 为常数， 0c）得21bcda， 0c， 若 ，则 2bca， 0，所以点 A的轨迹落在抛物线上；（9 分）8若 0d，则2214adbc0，若1c，则点 A的轨迹落在圆上；（11 分）若 0d，且 2c，则
14、点 的轨迹落在椭圆上；（13 分）若 c，则点 的轨迹落在双曲线上.（15 分）18命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力解：（1）由题意得3sintax，解得 3i 0 scox， ， （6 分）（2）魔方增加的表面积为28tanxS，由（1）得272sinco 0 (1)S， ， （10 分）令 sincsi 1t t， ，则236122360872()tSt（当且仅当 2t即时等号成立） ，答：当 时，魔方增加的表面积最大为 10872 （15 分）19命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索
15、求解、推理分析能力解：（1）当 1n时， 1a，所以 1或 0a， （2 分）若 ，则 nS，取 2得 ，即 12a，这与 1a2矛盾；所以 10a，取 得 12a，又 12，故 20，所以 ， （4 分）（2）记 2nnS，则 11()a 2 ， 得 1()nnna 2 ，又数列 na各项均为非负数，且 10a，9所以 12na3， （6 分）则354214122nan，即 21na3n ，当 n或 时， n也适合，所以 2a；（10 分）（3）因为 21n，所以 2(1)nSa0， 又 mlp（ l*N, ）则 222(1)()14pnaSml22(1)4al222 (1)mllll22(
16、)4alll（当且仅当 ml时等号成立）2 1lll=2()4aml l2ll0 （当且仅当 时等号成立）所以2mlpS.（16 分）20命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、分类讨论思想进行推理论证的综合能力解：（1）当 02p 时，函数2()fxpq的对称轴为1 02px，所以 (1) Mfq， 2 4Nf，此时，21php；（3 分）10（2）由（1）同理可得，2 10() 2 2php ， ， ， ， ， ，（6 分）（3）记 max()f，下证：1，且 inf1，所求函数21()fx， （8 分）若12p，即 2时，则 max() ff，
17、，所以 ()(1)24ffffp + ，即12；（10 分）若12p，即 2 时，则ax(1) pff， ，o1 若 q 时，则42pfq ，所以 2 （当且仅当 p = 0，1时等号成立） ；（12 分）o 若 q时，则 ()()21ffffq+，所以 (1) f， 中至少有一个大于1，即 ， （14 分）由 o2得， ，且 inf2，此时2()fx，综上所述，所有形如题设的函数21()即为所求.（16 分）21A命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力证明：因为 T为圆 O的切线， TH为 OA的垂线，所以 ， （3 分）故直角三角形 A相似于直角三角形 ， （6 分）则H，即 21，即证.（10 分）B命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力解：设Xab，由1251得25 1ab， ，（7 分） 解得7 1ab，此时71X.（10
