1、第 1 页 共 67 页高中数学教学案例设计汇编（中 部）10、直线与平面平行的判定一、教学内容分析:本节教材选自人教 A 版数学必修第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。二、学生学习情况分析：任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不
2、足，学习方面有一定困难。三、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。四、教学目标通过直观感知观察操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现
3、的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。五、教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入提问 1：根据公共点的情况，空间中直线 a 和平面 有哪几种位置关系？并完成第 2 页 共 67 页下表：(多媒体幻灯片演示)位置关系公共点符号表示图形表示我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为 a提问 2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定
4、直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。设计意 图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。（二）判定定理的探求过程1、直观感知提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？生 1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生 2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。学情预设 ：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。2、
5、动手实践教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。设计意 图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空 间观念与空间图
6、 形性质。 3、探究思考(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：平面外一条线 第 3 页 共 67 页平面内一条直线 这两条直线平行(2)如果平面外的直线 a 与平面 内的一条直线 b 平行，那么直线 a 与平面 平行吗？4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：（内外）线线平行 线面平行符号表示： |ab温馨提示：作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。思想：空间问题转化为平面问
7、题（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）1、想一想：(1)判断下列命题的真假？说明理由：如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行( )过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行( )一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行( )(2)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a 与 的位置关系是( )A、a | B、a C、a | 或 a D、a学情预设 ：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设(1)中的学生可能认为 正确的，这样就无法达到老师的预设 与生成的目的，这时教师要引导学生思考，让学生想象的空 间更广阔些。此外教 师可用 预先准备好的羊毛针与
8、泡沫板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生空间想象力强，能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行演示。2、作一作：设 a、b 是二异面直线，则过 a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。设计意 图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重第 4 页 共 67 页要的是培养学生空间感与思维的严谨性。3、证一证：例 1(见课本 60 页例 1)：已知空间四边形 ABCD 中，E
9、、F 分别是 AB、AD 的中点，求证：EF | 平面 BCD。变式一：空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 、DA 中点，连结 EF、FG 、GH、 HE、AC、BD 请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。( 共 6 组线面平行)变式二：在变式一的图中如作 PQ EF，使 P 点在线段 AE 上、Q 点在线段 FCA上，连结 PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？(在变式一的基础上增加了 4 组线面平行)，并判断四边形 EFGH、PQGH 分别是怎样的四边形，说明理由。设计意 图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及 时巩
10、固定理，运用定理，培养学生的识图 能力与逻辑推理能力。 例 2：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 BC 与 C1D1 中点，求证：EF | 平面 BDD1B1C1D1B1A1CDA BFE分析：根据判定定理必须在平面 BDD1B1 内找(作)一条线与 EF 平行，联想到中点问题找中点解决的方法，可以取 BD 或 B1D1 中点而证之。思路一：取 BD 中点 G 连 D1G、EG，可证 D1GEF 为平行四边形。思路二：取 D1B1 中点 H 连 HB、HF，可证 HFEB 为平行四边形。知识链 接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为找平行四边
11、形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。平行问题找中点解决是个好途径好方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要思想方法4、练一练：练习 1：见课本 6 页练习 1、2练习 2：将两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 拼在一起，设 M、N 分别为AC、BF 中点，求证：MN | 平面 BCE。变式：若将练习 2 中 M、N 改为 AC、BF 分点且 AM = FN，试问结论仍成立吗？试证之。第 5 页 共 67 页设计意 图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通过练习2 及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决 问题的
12、途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。（四）总结先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。2、定理的符号表示： |ab简述：（内外）线线平行则线面平行3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。七、教学反思本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的第一节课，也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习对发展学生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。本节课的设计遵循“直观感知操作确认思辩
13、论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达，对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在先，学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理，体验
14、数学即生活的道理，比如让学生举生活中能感知线面平行的例子，学生会举出日光灯与天花板，电线杆与墙面，转动的门等等，同时老师的举例也很贴进生活，第 6 页 共 67 页如老师直立时与四周墙面平行，而向前、向后倾斜则只与左右墙面平行，而向左、右倾斜则与前后黑板面平行。然后引导学生从中抽象概括出定理。本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节，能从易到难，由浅入深地强化对定理的认识，特别是对“证一证”中采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在复习引入，定理的探求以及定理的运用等过程中，都有效地使用了多媒体。
15、福建省宁德第一中学 叶洪康点评本节课教师利用教室现有实物，如日光灯管、地面、教师个人、门等做教具，让 学生认识和理解直线和平面平行的理由和条件。学生在应用观察、猜想等手段探索研究判定定理时，能获得视觉上的愉悦，增强探求的好奇心。学生经过思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。创设的问题情景有效，能遵循认识规律，从感性到理性，从具体到抽象。本节课的设计符合新课程立几中“直观感知操作确认思辩论证” 的教学理念。整体设计中规中矩，自然流 畅。教师对问题、例题的设计都别具匠心， 考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固已有知识，又 为新知识提供了附着点，充分体现
16、学生的主体地位。本节课蕴涵着化归思想，设计中注重对学生进行思想方法的训练，通过一题多解、一题多变，渗透了联系与转化的思想，使学生学会思考、掌握方法，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。第 7 页 共 67 页11、循环结构一、教学内容分析循环结构是人民教育出版社课程教材研究所编著的普通高中课程标准试验教科书数学 3（必修） （A 版）中1。1。2 的第二课时的内容。 （1）算法是高中数学课程中的新内容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐渐成为每个现代人所必须具备的数学素养。 （2）本节课的内容是循环结构，它与顺序结构、条件分支结构是算法的三种基本逻辑结构，可以表示任何一个算法。并且循环结构是
17、算法这一部分的重点和难点，它的重要性就是充分体现计算机的优势，也即能以极快的速度进行重复计算。二、学生学习情况分析学生已经学习了有关算法和框图的基础知识。绝大多数同学对算法和框图的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。三、设计思想建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、
18、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。具体流程如下：创设情景（课前准备、引入实例）授新设疑（自主探索形成概念理解概念第 8 页 共 67 页能识别框图）质疑问难、论争辩难（进一步加深对概念的理解突破难点）沟通发展（反馈练习归纳小结）布置作业。四、教学目标理解循环结构，能识别和理解简单的框图的功能，通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达，解决问题的过程，发展有条理的思考与表达的能力
19、，提高逻辑思维能力；能运用循环结构设计程序框图解决简单的问题，感受和体会算法思想在解决具体问题中的意义，增强学生的创新能力和应用数学的意识。五、教学重点与难点重点：理解循环结构，能识别和画出简单的循环结构框图。难点：循环结构中循环条件和循环体的确定。六、教学过程设计（一）创设情境引例：德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 123499100？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。 （课本例 6）你能否写出求 的值的一个算法，并用框图表示你的算法。此例由学生动手完成，投影展示学生的做法，师生共同点评。鼓励学生一题多解。【设
20、计意图】通过高斯求和的故事，复习顺序结构，提出递推求和的方法，导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。（二）授新设疑1循序渐进，理解知识（1）引进“计数变量” 、 “累加变量” 。借助“计数变量”和 “累加变量”使学生经历把“递推求和”转化为“循环求和”的过程，同时经历初始化变量，确定循环体，设置循环终止条件 3 个构造循环结构的关键步骤。将“递推求和”转化为“循环求和”的缘由及转化的方法和途径引例“求 的值”这个问题的自然求和过程可以表示为：123102431, (2,310)iiSSSi 用递推公式表示为： 1(2,0)ii直接利用这个递推公式构造算法
21、在步骤 中使用了 共 100 个1iiS12310,S变量，计算机执行这样的算法时需要占用较大的内存。为了节省变量，充分体现计第 9 页 共 67 页算机能以极快的速度进行重复计算的优势，需要从上述递推求和的步骤 中1iiS提取出共同的结构，即第 步的结果第（ 1）步的结果 。若引进一个计数变iii量 来表示计算到第几步，一个累加变量 来表示每一步的计算结果，则第 步可i sumi以表示为赋值过程 。1,isui“ ”、 “ ”的含义im利用多媒体动画展示计算机中计数器的工作原理，借助形象直观对知识点进行强调说明1） 的作用是将赋值号右边表达式 的值赋给赋值号左边的变量 。i1ii2）赋值号“
22、”右边的变量“ ”表示前一步累加所得的和，赋值号“=”左边i的“ ”表示该步累加所得的和，含义不同。i3）赋值号“”与数学中的等号意义不同。 在数学中是不成立的。i4） 的作用是将赋值号右边表达式 的值赋给赋值号左边的变sumisumi量 。 （类比 理解）1借助“计数变量” 、 “累加变量”既突破了难点，同时也使学生理解了“ ”、1i“ ”的含义。si初始化变量，设置循环终止条件由 的初始值为 0， 的值由 1 增加到 100，可以初始化循环变量和设置循环umi终止条件。（2）循环结构的概念开始i=1sum=0i=i+1sum=sum+ii100?结束输出 sum是否循环变量初始化循环体循环
23、条件从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的结构称为循环结构。教师学生一起共同完成引例的框图表示，并由此引出本节课的重点知识循环结构的第 10 页 共 67 页概念(循环变量、循环体、循环终止的条件)。【设计意图】这样讲解既突出了重点又突破了难点，同时学生在教师引导下，在已有探索经验的基础上，借助多媒体的形象直观，共同完成问题的抽象过程和算法的构建过程。体现研究问题常用的“由特殊到一般”的思维方式。2类比探究，掌握知识例 1：改造引例的程序框图表示求 的值4610求 的值235求 的值1此例可由学生独立思考、回答，师生共同点评完成。【设计意图】通过对引例框图的反复改造逐步帮助学生深入理解循环结构，体会用循环结构表达算法，关键要做好三点： 确定循环变量和初始值 确定循环体 确定循环终止条件。例 2：根据程序框图回答下面的问题开始i=1sum=0i=i+1sum=sum+ii5?结束输出 sum是否开始i=1sum=0sum=sum+ii=i+1i5?结束是否输出 sum图 A 图 B（1） 图中箭头指向时，输出 _;指向时输出 _。sumsum（2）该程序框图的算法功能是_。（3）去掉条件“ ”按程序框图所蕴含的算法，能执行到底吗，若能执行5i到底，最后输出的结果是什么？对比练习：（1）图 B 输出 _。sum
