1、课 题8.6 复数的三角形式课 型新授课课时安排一课时教学目标认知目标 使学生切实掌握复数的三角表示法,并理解其与复数的代数形式的联系。能力目标 使学生掌握复数的三角形式和代数形式的互换。情感目标 通过复数、复平面内的点及位置向量三者的联系与转换的教学,继续对学生进行辨证观点的教育。教学重点1 使学生理解复数三角表示法；2 使学生掌握复数的三角形式与代数形式的互换。教学难点复数的三角形式与代数形式的互换，特别地，将含三角函数式的复数转换为复数的三角形式。教学关键切实掌握复数的三角表示法。教学方法启发引导，讲练结合。教学工具投影仪，自制幻灯片。教学过程一、 温故知新，导入新课1复习提问（1）我们
2、已经学过的、表示一个复数有几种方法？（2）画出表示下列复数的向量（学生回答，老师画图）：3+2i +3i i导入新课这节课我们来学习复数的另一种重要的表示方法复数的三角形式（板书课题）二、 讲授新课1复数的模与辐角如图（1）（投影幻灯片），与 z=a+bi 对应的向量 的模 r 叫做这个复数的模，并且OZr= 。2ba以 x 轴的正半轴为始边、向量 所在的射线（起点是 O）为终边的角 ，叫做复数Zz=a+bi 的辐角 。yZ：a+birbO a x提问：根据定义，不等于零的复数 z=a+bi 的辐角是否只有一个？如果不止一个，那么它们之间有何关系？分析：不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值
3、相差 2 的整数倍。例如，复数 i的辐角是 +2 （ ）。2kZ为了使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合于 02 的辐角 的值，叫做辐角的主值，通常记作 argz，即 0argz2。每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。提问：当 aR 时，a，a，ai，ai 的辐角主值分别是什么？在前面我们一直都说非零复数，若 z=0，那么它的辐角是多少呢？分析：当 aR 时，arga=0arg（a）=arg（ai）= 2arg（ai）= 3如果 z=0，那么与它对应的向量 缩成一个点（零向量），这样的
4、向量的方向是任意OZ的，所以复数 0 的辐角也是任意的。2复数的三角形式学生活动 ：观察图（1）（幻灯片），试找出复数 z=a+bi 的实部，虚部与辐角 ，模 r的关系。（引导学生推出复数的三角形式）分 析 ：从图中可看出， sincorbaa+bi=rcos+irsin=r(cos+isin)其中r= ,cos= ，sin= 。2bararb当 z 对应的点 Z 不在实轴或虚轴上时，z 的辐角 的终边所在的象限就是点 Z 所在的象限；当点 Z 在实轴或虚轴上时，辐角 的终边就是从原点 O 出发、经过点 Z 的半条坐标轴。总 结：任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成r（cos+isin）的
5、形式。r（cos+isin）叫做复数 a+bi 的三角形式。为了同三角形式区别开来，a+bi 叫做复数的代数形式。练习（1）：下列复数是不是复数的三角形式？（投影复式幻灯片） ； ；4sinco23sinco21 ； 。3i1i 57is分析：（1）复数的三角形式 z= r（cos+isin）必须满足： r 为非负数；同角；括号中的实部为 cos，虚部为 sin；连接符号“+”。因此，一个表示复数的式子能否叫做它的三角形式，不是只看它是否含有三角函数符号，而在于这个式子是否正确地给出了模、辐角、及连接符号。（2）复数的三角形式，实质上也是用一个有序实数对（r，）来确定一个复数。3例题分析例 1
6、 把复数 +i 表示成三角形式。3解 r= =2，cos= ；123因为 +i 对应的点在第一象限，arg（ +i）= ，于是3 6+i=2（cos +isin ）6例 2 把复数 1i 表示成三角形式。解 r= = ，cos = = 。212因为与 1对应的点在第四象限，所以 arg（1i）= ，于是471i= 。47sinco2例 3 把复数表示成三角形式。解 。01因为与对应的点在 x 轴的负半轴上，所以 arg（1）=，于是cos+isin点评在化代数形式为三角形式时，不一定要求辐角取主值，如例 2 也可以表示成1i= )4sin()co(2如果辐角是主值范围内的特殊角，可把辐角化成它
7、的主值，在其它情况下，一般不要求。4 巩固练习练习（2）：把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量。 4 ；2i ；i；+2i ； i； i 。321练习（3）：将练习（1）中不是复数的三角形式的复数表示成三角形式。点评：注意不要弄错复数所在的象限。练习（4）：把下列复数表示成代数形式：4 ； ；3sinco43sinco26 ； 3 。61i 2i三、 归纳小结本节课重点学习了复数的又一种表示方法复数的三角形式，应熟练掌握复数的三角形式与代数形式的互换。四、 作业：P 210 习题二十八 1.(2)(4)(6)(8) 2.(2)(4)(6) 3.五、后记：六、 板书设计投 课题：辐角与辐角主值：影 屏 复数的代数、三角 学生练习：形式的互换幕例题分析：
