1、 O BAxy初中数学讲座一次函数及其应用知识方法扫描形如 y=kx+b(k0)的函数叫做一次函数，当 b=0 时是正比例函数。在直角坐标系中，它的图像是一条直线。它与 y 轴的交点坐标是(0,b)，与 x 轴的交点坐标是( ,0).kb当 k0 时，随的增大而增大；当 k0 时，随的增大而减小。在本讲中应该掌握以下各点： 利用待定系数法来确定一次函数的方法 一般的一次函数没有最大值或最小值。但是当自变量的取值范围有限制时，在端点处可以取到最大值或最小值。 要注意运用数形结合的方法来解题。 在应用问题中，要特别注意自变量的取值范围。经典例题解析例 1 （2002 年江苏省初中竞赛试题）HJ 牌
2、小汽车的油箱可装气油 30L，原来装有汽油 10L，现在再加汽油 xL。如果每升汽油 2.95 元，油箱内汽油的总价（y）元与 x（L）之间的函数关系是 ，并在直角坐标系中画出其图像。解 设 y=kx+b，则由题意知,当 x=0 时，y=29.5; 当 x=0 时，y=88.5。于是有29.5=b, 88.5=20k+b。解得 k=2.95, b=29.5，且 0x20.所以函数关系是 y=2.95x+29.5（0x20）.其图像如右图所示。例 2 （2008 年第 6 届创新杯全国数学邀请赛 8 年级试题）已知 y=kx-3k+2的图象与 y 轴正半轴，x 轴正半轴分别交于 A,B，且 OA
3、+OB=12，求 k 的值。解 取 x=0,得 y=-3k+2, 所以 A(0,-3k+2); 取 y=0, 得 x=3- 。k因 OA+OB=12, 故(-3k+2)+( 3- )=12, 3k2+7k+2=0, k(3k+1)(k+2)=0, 所以 k=- 或 k=-2.31例 3 (1996 年上海市初中数学竞赛试题 )已知函数 y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96| 其中 a 为常数，且 19a96，当自变量的取值范围为 ax96 时，求 y 的最大值。解 因为 ax96，19a96 ，所以 x-a0，x+190，x-a-960。故 y=(x-a)+(x-19)-(x-a-96
4、)=x+115显然，当 ax96 时，y 随 x 的增大而增大。所以，当 x=96 时，y 取得最大值 96+115=211.例 4 （2008 年浙江省湖州市初二年级数学竞赛试题）已知直线 )1(2kykx（1）说明无论 k 取不等于 1 的任何实数此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标；（2）若点 B(5,0) , 点 P 在 y 轴上，点 A 为（1）中确定的定点，要使PAB 为等腰三角形，求直线 PA 的解析式解 （1）由题意知 ，1k若取 得 ,k62yx若取 得 0解、组成的方程组，得 , 4yx而 x=2, y=4 满足方程 ，所以，不论 取任何实数此直线)1(2kkk都经过一
5、定点，其坐标为（2，4）.（2）分三种情况讨论： 设 P1(0,m1) ,满足 P1B=P1A, 由勾股定理得， ，222)4(5m解得 ，即 P1（0， ） ，符合题意，直线 P1A 的解析式： .85m85 851637xy 设 P2(0,m2)，满足 P2B=AB, 易求得 AB=5, 所以点 P2（0，0） ，直线 P2A 的解析式： .xy设 P3(0,m3)，满足 P1A=AB, 由勾股定理得， ,25)4(m解得 ，即 P3（ 0， ，P 4（0， ，直线 P3A 的解析式：4m)21，直线 P3A 的解析式： . 21xy 2xy综上所述，直线 PA 的解析式为： ，或 ，或8
6、51637y，或 .214xy 42xy例 5 （2001 年天津市初中竞赛试题）如图所示，直线 y=- 与 x 轴、13y 轴分别交于点 A，B，以线段 AB 为直角边的第一象限内作等腰直角yxO ABCPABC，BAC=90。如果在第二象限内有一点 P（a, ）, 且ABP 的面积与21ABC 的面积相等，求 a 的值。解 令 y=0 和 x=0，得直线 y= 13x与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 A（ ） 、0,B（0， 1） ，即 OA= ，OB=1。 故3AB=2。ABC 为等腰直角三角形， SABC=2。又S ABP=SABC，S ABP=2。如图，连结 PO。S AOP= ，
7、S BOP= ，S AOB= 。432a23SBOP+SABO-SAOP=SABP， 。故 a=438例 6(2001 年河北省初中数学竞赛试题)设直线 nx（n1）y （n2为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn（n 1， 2，2000） ，则S1S 2S 2000 的值为（ ） 。（A）1 （B） 2019（C） 0（D） 0解 分别令 y0，x0，得直线 nx（n1）y 与 x 轴、y 轴的交点2坐标为 A（ ，0） ，B（0， ）,所以n2Sn |OA|OB| , 121n121)(nn故 S1S 2S 2000（1 ）（ ）（ ）3201 。201例 7 （1999 年呼和浩特
8、市初中数学竞赛试题）甲、乙两个仓库要向 A、B两地送水泥，已知甲库可调出 100t 水泥，乙库可调出 80 t 水泥，其中 A 地需70t 水泥，B 地需 110t 水泥，两库到 A、B 两地的路程和运费如下表：（表中运费栏“元/tkm” 表示每吨水泥运送 1km 所需人民币）路程（ km） 运费（元 /tkm）甲库 乙库 甲库 乙库A 地 20 15 12 12B 地 25 20 10 8（1）设甲库运往 A 地水泥 xt，求总运费 y（元）关于 x（t）的函数关系式。（2）当甲、乙两库各运往 A、B 两地多少水泥时，总运费最省，最省运费是多少？解（1）依题意，得：y=1220x+1025（
9、100-x） +1215（70-x）+82080-（70-x）=-30x+3900（0x70）即 y=-30x+39200（0x70）（2）因为此一次函数中，k=-300，所以 y 随 x 的增大而减少，当 x=70时，总运费 y 最省，最省运费为 37100 元。例 8 （2006 年第 4 届“创新杯”数学邀请赛试题）如图，在直角坐标系中，己知点 A（-4，5） ，点 B（-8，3） ，在 x 轴上找一点 C，在 y 轴上找一点 D，使四边形 ABCD 周长最小。（1）在图中画出 C，D，并写出作法；（2）设点 C（a,0） ，点 D（0，b） ，求 的值。a解 （1）作点 A 关于 y
10、轴的对称点 A，点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，分别交 x 轴、y 轴于C、D 两点，连 AB，BC ，CD，DA，则四边形ABCD 的周长最小（证明略）（2）因为 A（4，5） ，B（-8，-3） ，设点 A，B在一次函数 y=kx+b 的图象上，则538kb解之得 ，因此，直线 AB之解析式为27,。3yx当 y=0 时， ；当 x=0 时， 。72x73y因此点 C、D 之坐标依次为 C（ ） ，D（0， ） ，故,273.7,233baa从 而同步训练一 选择题1 （2008 年龙泉市初中八年级数学竞赛试题）已知一次函数,函数 随着 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，
11、则2m-xyyx的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D ）21m21m2 （2000 年全国初中数学联赛试题）某人骑车沿直线旅行，先前进了 a km，休息了一段时间，又原路返回 b km（b ，再前进 c km，则此人离起点)a的距离 s 与时间 t 的关系示意图是（ ）3 （2007 年四川初中数学联赛决赛试题）已知实数 满足 ，cba,0c并且 ，则直线 一定通过（ ）.kbaccba3kxy（A）第一、二、三象限 （B）第一、二、四象限（C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限4（2003 年江苏省第十八届初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点
12、为整点.设 k 为整数，当直线 y=x-2 与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取( )(A) 4 个 (B) 5 个 (C) 6 个 (D) 7 个5( 2000 年绍兴初中数学竞赛题) 如图，在一次函数 的图象上取点 P，作3xyPAx 轴，PB y 轴;垂足为 B，且矩形 OAPB的面积为 2，则这样的点 P 共有（ ）（A） 4 个（B）3 个（C）2 个（D）1 个二 填空题6 （2005 年四川省初中数学联赛决赛试题)已知一次函数 yax b 的图象经过点 (0，1) ，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a 的值为。7 （1996 年“东方航空杯”上海市竞赛试题）已知
13、函数 y=（a-2）x-3a-1，当自变量 x 的取值范围为 3x5 时，y 既能取大于 5 的值，又能取得小于 3 的值，则实数 a 的取值范围为 。8 （第十一届江苏省初中数学竞赛试题）有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始 5min 内只进不出水，在随后的 15min 内即进水又出水，得到时间 x（min）与水量 y（L）之间的关系如图，若 20min 后只放水不进水，则这时（即 x20）时，y 与 x 之间的函数关系是 。9 （2000 年江苏省初中数学竞赛试题）函数y=3-|x-2|的图像如图所示，则点 A 与 B 的坐标分别yxAOB P是 A
14、 ，B 。10(1994 年河南省初中数学竞赛试题)一次函数 (k 为正1kxy整数)的图像与 x 轴,y 轴的交点是 A，B。O 为原点。设 RtABO 的面积为 Sk，则（1）S 1= ； （2）S 1+ S2+S1994= .三 解答题11 （2007 年四川省初中数学联赛初二初赛试题）已知 x，y，z 都为非负实数，满足 xy-z=1 ，x+2y+3z=4记 w=3x+2y+z,求 w 的与最大值最小值12 （2000 年江苏省初中数学竞赛试题）某产品每件的成本价格是 120 元，试销阶段，每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售 y（台）之间的关系如下表：x（元） 130 150 1
15、65y（台） 70 50 35若日销量的台数 y 是随销售价 x 的一次函数，为获得最大的销售利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每晶的销售利润是多少？（销售利润=销售价-成本价）13(1998 江苏省年初中数学竞赛试题)求证：不论 k 为何值，一次方程 (2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 所表示的函数的图象恒过一个定点。14( 2007 年全国初中数学联赛四川初赛初二试题)已知一次函数 y=ax+b的图象经过点 A( 3, +2),B(1, 3),C(c,2c)，求 a-b+c 的值.15 （1986 年吉林省初中数学竞赛试题）设一次函数 y=ax+b(a0)有一组对应值 x
16、= ， y=0, 试证明 y=ax+b 不能有二组或二组以上有理数的对应值。2同步训练题参考答案1. D由已知，1-2m0,且 m-2 0，故有 。21m2C由前进 a km 休息了一段时间，可排除 A。由原路返回 b km，又可排除 B、D 。3Dk(a+b)=c, k(b+c)=a,k(c+a)=b. 于是 2k(a+b+c)=a+b+c.因 a+b+c0, 则 k = , 直线 y = x-3 的图象经过第一，三，四象限;21214. A 解方程组 ，得二直线交点坐标为(-1- ,-3- ). 为使交点为整点，kxy 13kk-1 应该是 3 的约数，于是 k-1=1，3. k = -2
17、, 0, 2, 4. 故选 A.5A设 P 点坐标为 (a,-a+3),则 PB=|a|, PA=|-a+3|, |a(-a+3)|=2, 这个方程有 4 个不同的解，故选 A617a8当 x=3 时，y=3（a-2）-3a-1=-7, 满足题设条件，即取小于 3 的值；当 x=5 时，y=5（a-2）-3a-1=-7, 即 y=2a-11, 依题意, y 应取大小 5 的值，故有：2a-115，a8， 8 )39520(3xxy由题图可知：当 0x5 时，只进水不出水，y=4x；当 5x20 时，既进水又出水，y=15+x；当 x20 时，只出水，不进水。由 y=4x 知进水管每分钟进水 4
18、L；由 y=15+x（5x20）知进水管每分钟出水 3L。这样既进水又出水，实际上每分钟进水 1L，如图，只出水，每分钟出水 3L。设函数关系为：y=-3x+b（x20） ，因直线 y=-3x+b（x20）经过（20，35） ，可求得 b=95。故所求的函数关系式为： y=-3x+95（x20）当 y=0 时，x= 。20x , 即当 x= 时，水放完。3953953959 （5，0） （2，3）令 y=0，由 3-|x-2|=0 有 x=5 或 x=-1，点 A 在 x 轴正半轴，A （5，0） ，点 B 为图像的最高点，即 y 值最大，y=3，此时 x=2，B 点坐标为（2，3） 。10
19、；417A, B 的坐标分别为（ ，0） ， （0， ） 。S k= = （ - ） 。k111k1（1） S1= （1- ）= ；24（2）S 1+ S2+S1994= （1- ）+ （ - ）+（ - ）= 23194519711由 得 ， 因 解得 43zyxzyx45025z。w=3x+2y+z=3(5z-2)+2(3-4z)+z=8z。故当 z= 时，w 有最小值 452z 56此时，x=0,y= 。当 z= 时，w 有最大值 6, 此时 , x= ,y=05744712 设已知的一次函数为 y=kx+b, 将 x=130，y=70; x=150, y=50 代入上式，求得 k=-1
20、, b=-200,y=-x+200（120x200）,日销售利润 S=y（x-120）= （-x+200） （x-120 ）,配方可得：S=- （x-160） 2+1600,当销售价为每件 160 元时最大利润为 1600 元。13证法 1 分别令 k=1,k=2,得 ， 解得095314yx32yx因 x=2,y=3 时，方程左边=(2k-1)2+(k+3)3-(k-11)=0 恒成立，故一次方程 (2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 所表示的函数的图象恒过定点（2，3）证法 2 原方程可化为 k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0, 为使定点与 k 无关，故令含有 k 的项
21、即 2x-y-1=0，于是 -x-3y+11=0。解得 x=2,y=3. 即一次方程 (2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0 所表示的函数的图象恒过定点（ 2，3）14由条件知， 3+2= a+b,且 =-a+b,解得 a= -1,b=2 3-1. 于是 2-c=ac+b=( -1)c+(2 -1),解得 c= -2 因此，a-b+c= ( -1) (2 -1)+( 3-2) = -215 将 x= ，y=0 代入 y=ax+b 得 b=- a,所以 y=a(x- ) 222设此函数存在二组不同的有理数对应值 (x1,y1), (x2,y2), 代入 式，得 y1=a(x1- ) ，y 2=a(x2- ) 。显然 y2 不为 0，否则 x2= 是无理数与 x2 是有理数矛盾。上二式相除，得 ，即 (y1-y2) =(x1y2-x2y1)。若 y1-21xy2=0，则 x1=y1，与(x 1,y1), (x2,y2)是二组不同的有理数对应值矛盾。故 y1-y20。于是 = 12y上式左边为无理数，右边是有理数，矛盾。所以 y=ax+b 不能有二组或二组以上有理数的对应值。
