1、高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 130192215191高考数学新题型选编（共 70 个题）1、 （）已知函数： 求函数 的最小1()2()(),0,)nnfxaxnN ()fx值;（）证明: ；()(0,)nnabbN（）定理:若 均为正数,则有 成123,k 123123()nnn nk kaaa 立(其中 请你构造一个函数 ，证明：,)kN为 常 数 ()gx当 均为正数时， 1231,kaa 1231231()nnn nk kaaa 解：（）令 得 2 分()2()0nnfxx()nnxxx当 时， 故 在 上递减0aaff0,a当 故 在 上递增所以，当 时， 的最
2、小值为 .4,()xf()fx,x()fx()0fa分（）由 ，有 即0b()0fa1()2()(nnnfbab故 5 分,2nnaN（）证明:要证： 1231231()nn nk k 只要证： 1231231()nnnk kkaaa 设 7 分()gx1 23()nxx 则 112 ()n nkkxa令 得 .8 分()0gx12k当 时，12ka 1 12()()n nkgxxax 112 2() )0nk knxa 故 上递减，类似地可证 递增12)0,kagx在 12(,)kagx在所以 的最小值为 10 分()kgx当 时 ， 12)ka高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老
3、师 130192215192而 112 12 122 12()()( )nnn nk k kk kaaagaa = 1212) nn nkk kk = =1()nnkknaa 1212()()nnnkkaa 由定理知: 故1212)0n nkkk 10g110,)()kkaga故 1231231( )()nnn nk kaa 即: .14 分k 2、用类比推理的方法填表等差数列 中na等比数列 中nb32d q2345 5412343aa答案： 5bb3、10定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：（i）1*1=1， （ ii） （n+1 ）*1=n*1+1，则 n*1 等于An
4、 Bn+1 Cn -1 D 答案：D2n4、若 为 的各位数字之和，如： ， ，则)(f*)(12N1974217;记 _71 )8(*,),()(,)(, 20112 fNknffnffnf k 则答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥 S-ABCD 的侧面与底面。aaaaaaaaa a高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 130192215193（1）请画出四棱锥 S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若 SA 面 ABCD，E 为 AB 中点，求二面角 E-SC-D 的大小；（3）求点 D 到面 SEC 的距离
5、。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）3 分证明： 且 AB、AD 是面 ABCD 内的交线 SA 底面,ASBABCD5 分（2）分别取 SC、SD 的中点 G、F，连 GE、GF、FA ，则 GF/EA,GF=EA, AF/EG而由 SA 面 ABCD 得 SA CD，又 AD CD， CD 面 SAD， CD又 SA=AD,F 是中点， SA面 SCD,EG 面 SCD, 面 SCDAFE则所以二面角 E-SC-D 的大小为 90 10 分(3)作 DH SC 于 H，面 SEC 面 SCD, DH 面 SEC,DH 之长即为点 D 到面 SEC 的距离，12 分在 Rt SCD 中，a
6、SC362答：点 D 到面 SEC 的距离为 14 分a366、一个计算装置有一个入口 A 和一输出运算结果的出口 B，将自然数列 中的(1)n各数依次输入 A 口，从 B 口得到输出的数列 ，结果表明：从 A 口输入 时，从naB 口得 ；当 时，从 A 口输入 ，从 B 口得到的结果 是将前一结果 先13a2nna1na乘以自然数列 中的第 个奇数，再除以自然数列 中的第 个奇数。试问：1n1（1） 从 A 口输入 2 和 3 时，从 B 口分别得到什么数？（2） 从 A 口输入 100 时，从 B 口得到什么数？并说明理由。解（1） 15a321735a（2）先用累乖法得 *1()()n
7、nN得 10()(20)39aSAB CDEFGH高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 1301922151947、在ABC 中， ，给出ABC 满足的条件，就能得到动点 A),(0,2),(yxACB的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件 方程ABC 周长为 10 ：125yABC 面积为 10 ：2C)0(4yxABC 中，A=90 ：31592则满足条件、的轨迹方程分别为 （用代号 、 、 填入）1C23答案： 213C8、已知两个函数 和 的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. )(xfg填写下列 的表格,其三个数依次为)(xfgA. 3,1,2 B . 2,
8、1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当 时， ；aba当 时， 。b2则函数 的最大值等于（ C ）fxxx()()12，（“”和“”仍为通常的乘法和减法）A. B. 1 C. 6 D. 12x 1 2 3f（ x） 2 3 1x 1 2 3g（ x） 1 3 2x 1 2 3g (f（ x） ) 高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 13019221519510、已知 ， x表示不大于 x 的最大整数，如 ， ， ，则R3120_；使 成立的 x 的取值范围是_ 答案：231311、为研究“原函数图象与其反函
9、数图象的交点是否在直线 上”这个课题，我们可yx以分三步进行研究：（I）首先选取如下函数：， ，yx21yx2yx1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：与其反函数 的交点坐标为（1，1）与其反函数 的交点坐标为（0，0） ， （1，1）yx21yx2与其反函数 的交点坐标为（ ） ，1， ()521，（1，0） ， （0，1）（II）观察分析上述结果得到研究结论；（III ）对得到的结论进行证明。现在，请你完成（II）和（III） 。解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线 yx 上 2 分（III ）证明：设点（ a，b）是 的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数fx
10、()与反函数图象关于直线 yx 对称，则点（b，a）也是 的图象与其反函数图象的交点，f()且有bfaf()()，若 ab 时，交点显然在直线 上yx若 a2 时，W 1W2，此时，把 a 单位量的水平均分成 2 份后，清洗两次，残留的农药量较少；当 a=2 时，W 1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当 a2 时，2W1W2，此时，把 a 单位量的水清洗一次，残留的农药量较少1216、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 f(x)的图象恰好通过k(kN*)个格点，则称函数 f(x)为 k 阶格点函数。下列函数： f(x)=sinx； f(x)= (x1) 2+3； ，;
11、)31(xfxf6.0log)(其中是一阶格点函数的有 . 答案：17、一水池有 2 个进水口,1 个出水口,一个口进出水速度如图甲、 乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口),给出以下 3 个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1）0 点到 3 点只进水不出水；（2）3 点到 4 点不进水只出水；（3）4 点到 6 点不进水不出水。则一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。答案：（2） （3）18、已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn.() 若 Sm，S m2 ，S m1 成等差数列，证明 am，a m2 ，a m1 成等差数列
12、；() 写出()的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.证 () S m1 S ma m1 ，S m2 S ma m1 a m2 由已知 2Sm2 S mS m1 ， 2(Sma m1 a m2 )S m (Sma m1 )，a m2 am1 ，即数列a n的公比 q .12 12a m1 am，a m2 am，2a m2 a ma m1 ，a m，a m2 ，a m1 成等差数列.12 14() ()的逆命题是：若 am，a m2 ，a m1 成等差数列，则 Sm，S m2 ，S m1 成等差数列.设数列a n的公比为 q， a m1 a mq，a m2 a mq2由题设，2a m2 a ma
13、m1 ，即 2amq2a ma mq，即 2q2 q10，q1 或 q .12当 q1 时，A0，S m， Sm2 ， Sm1 不成等差数列.逆命题为假.时 间0 时 间01时 间0465高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 13019221519919、2005 年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取 1000 户，按本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五”规划中明确提 出 要 缩 小 贫 富 差 距 ， 到 2010 年要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分
14、别为 ( B )A25% , 27.5% B62.5% , 57.9% C25% , 57.9% D62.5%,42.1%20、一个三位数 abc 称为“凹数” ，如果该三位数同时满足 ab 且 bc，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_答案：三位“凹数”可分两类：一类是 aba，共有 45 ，另一类是 abc，ac，共有2102 240，故共有 45+240285 个310C21、定义运算 ，若复数 ， ，则 。答案：-4cabcdix32iy14x3y22、从装有 个球（其中 个白球，1 个黑球）的口袋中取出 个球1nnm,共有 种取法。在这 种取法中，可以分成两类：一类是取出0,mNmC
15、1mn的 个球全部为白球，共有 ，即有等式：0101nC成立。试根据上述思想化简下列式子：1mmnnC2kmkknC。 。(1,)N答案： 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从 个球（n 个白球，k 个黑mnk 球）中取出 m 个球，可分为：没有黑球，一个黑球， ，k 个黑球等 类，故有1种取法。nkC23、定义运算 xy= ，若|m1|m=|m1| ，则 m 的取值范围是 )(y高收入 中等收入 低收入125 户 400 户 475 户65%20% 15%高考数学新题型选编（共 70 个题）-数学王老师 130192215191021m24、在公差为 的等差数列 中，若 是 的前 项和，
16、则数列)0(dnanSa也成等差数列，且公差为 ，类比上述结论，相应地在34230120,SS d10公比为 的等比数列 中，若 是数列 的前 项积，则有 )(qnbnTnb。10304210 , qT且 公 比 为也 成 等 比 数 列25、考察下列一组不等式： 将上述不等式在左右两端仍为 212253342235两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为0,0nmbababamnnm26、对任意实数 ，定义运算 ，其中 为常数，等号右边的运yx, cxyyx*cba,算是通常意义的加、乘运算。现已知 ，且有一个非零实数 ，使得对任632,41m意实数 ，都
17、有 ，则 。m*527、对于任意实数 ，符号 表示 的整数部分，即 是不超过 的最大整数” 。在实数xxx轴 R（箭头向右）上 是在点 左侧的第一个整数点，当 是整数时 就是 。这x个函数 叫做“取整函数” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么=_82041024log4log3l2log1l 222 28、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05 年 8 月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：媒体 A：“, 凯尔特人俱乐部出价已从 80 万英镑提高到了 120 万欧元。 ”媒体 B：“, 凯尔特人俱乐部出价从 120 万欧元提高到了 100 万美元，同时增加了不少附加条件。 ”媒体 C：“, 凯尔特人俱乐部出价从 130 万美元提高到了 120 万欧元。 ”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值） ，我们可以发现只有媒体 （填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。C
