1、14-12 几何图形中的动点问题（动中求静、方程思想的简单应用）1、基本问题图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题-动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静” ，化“动”为“静” ，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。从知识块而言，可分为两类：一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。此类问题常集代数、几何知识于一体，数形
2、结合，有很强的综合性，是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。解决问题的关键：以动制静数学思想：数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想2、运动中的不变量在运动过程中往往存在若干个不变的量，有时中考题往往根据这些不变量找到问题的突破口。例 1. 如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止，设点P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则ABC的面积
3、是（ ）A94xyOPD CBA例 2. 如上右图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合） ，在 AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形 CDE、AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结PQ.以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60.恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 。课堂练习1 已知：如图,在等边三角形 ABC 中，M 、N 分别是AB、AC 的中点， D 是 MN 上任意一点，CD、BD 的延长线分别与 AB、AC 交于 F、E，若 ，则等边三角形16CBFABC的边长为A. B.
4、C. D.18142222 （本题满分 4 分）（1）如图 两个正方形的边长均为 3，求三角形 DBF 的面积 .（2）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1, 求三角形 DBF 的面积. QPOBEDCANMCBAEDFAQCDB P（3）如图，正方形 ABCD 的边长为 a， 正方形 CEFG 的边长为 ，求三角形 DBF 的面b积. 3、方程思想在动点问题中的简单应用题目的设问方法为：当 t 为何值时，满足 。在解题时我们需要把结论变为条件，即当满足这样的条件时，t 应该为何值，所满目的条件即为方程，解此方程即能求出 t 值。例 1 如图，在矩形 ABCD
5、中，AB= ，AD=3，点 M 是边3BC 上的动点（点 M 不与点 B，点 C 重合） ，过点 M 作直线MNBD，交 CD 的边与点 N，再把CMN 沿着动直线 MN 对折，点 C 的对应点是点 P，设 CM 的长度为 x.（1）求CMN 的度数；（2）当 x 取何值时，点 P 落在矩形 ABCD 的对角线 BD 上？（3）当 x 在什么范围内取值时，点 P 落在三角形 ABD 的内部？例 2 （2009 年内蒙古包头）如图，已知 中， 厘米，ABC 108厘米，点 为 的中点DAB（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA
6、 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？（2）若点 Q 以中的BD C运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 三边A运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇？A练习 1（黄冈）如图,在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 与 x 轴的交点为点 B,过241089yx点 B 作 x 轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结xy MCDPQOABAC现有两动点 P,Q
7、分别从 O,C 两点同时出发,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动,点 P 停止运动时,点 Q 也同时停止运动,线段 OC,PQ 相交于点 D,过点 D 作 DEOA,交 CA 于点E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位: 秒)(1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当 t 为何值时,四边形 PQCA 为平行四边形? 请写出计算过程;解：（1） ，令 得 ，21(80)yy2810x180x 或 ；18x,A在 中，令 得 即 ；22419yxxy(,)B由于BC
8、OA，故点 C 的纵坐标为10，由 得 或2140089x8x0即 且易求出顶点坐标为 3(8,10)9(4,)于是， ，顶点坐标为 。4,(),81A(4,)练习 2练习 3（2011 西城）24如图 1，在 RtABC 中，C90，AC9cm，BC12cm在RtDEF 中，DFE90，EF6cm，DF8cmE，F 两点在 BC 边上，DE ，DF 两边分别与 AB 边交于 G，H 两点 现固定ABC 不动，DEF 从点 F 与点 B 重合的位置出发，沿BC 以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 P 从点 F 出发，在折线 FDDE 上以 2cm/s 的速度向点 E运动DEF 与点 P
9、同时出发，当点 E 到达点 C 时，DEF 和点 P 同时停止运动设运动的时间是 t（单位：s） ，t0（1）当 t2 时，PH= cm ，DG = cm；（2）t 为多少秒时PDE 为等腰三角形？请说明理由；（3）t 为多少秒时点 P 与点 G 重合？写出计算过程；作业 1.（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线经过点 ，抛物线的顶点为 ，过 作射线 过3)1(2xay(2)A， 0DOMAD顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结 DOMCBxBC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 从点 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的P P时间为 问当
10、 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？()tst P2（2009 年淄博市）如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm ， P，Q，M，N 分别从A， B，C ，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（ ） ，则0AP=2xcm，CM=3 xcm，DN=x 2cm（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M
11、，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 ?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由ABDCPQ MN3 （2009 年吉林省）如图所示，菱形 的边长为 6 厘米， 从初始时刻开ABD60B始，点 、 同时从 点出发，点 以 1 厘米/ 秒的速度沿 的方向运动，点PPA以 2 厘米/秒的速度沿 的方向运动，当点 运动到 点时， 、 两QCQDPQ点同时停止运动，设 、 运动的时间为 秒时， 与 重叠部分的面积为QxP BC平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 的三角形） ，解答下列问题： （1）点 、y O从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点 、 从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时 的值是
12、 秒；AP x（3）求 与 之间的函数关系式y22 （本小题满分 4 分）已知等边三角形纸片 的边长为 ， 为 边上的点，过点 作 交ABC8DABDGBC于点 于点 ，过点 作 于点 ，把三角形纸片 分别ACGDEGFCA沿 按图 1 所示方式折叠，点 分别落在点 ， ， 处若点F， ， ， ， AGCFBEBD图 2， ， 在矩形 内或其边上，且互不重合，此时我们称 （即图中阴ABCDEFGABC影部分）为“重叠三角形” （1）若把三角形纸片 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为 1 的等ABC边三角形） ，点 恰好落在网格图中的格点上如图 2 所示，请直接写出此时D， ， ，重叠三角形 的面积；（2）实验探究：设 的长为 ，若重叠三角形 存在试用含 的代数式表示重mABCm叠三角形 的面积，并写出 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）AGCFEBD图 1
