1、 MDNEC BFA DECBAPMBC DEA14-2 图形旋转变换及其常用辅助线一、回顾：旋转问题的突破口当旋转角是 60时，作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形；当旋转角是 90时，存在等腰直角三角形.反之，如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形，可以从图形旋转的角度分析图形关系. 相应的，我们通过添加辅助线能够构造出满足旋转的条件时，则仍然可以用旋转的角度进行复习图形。解决几何压轴题我们常遇到的难题为：找不到那两个三角形全等，若满足旋转的条件，则对于静止的图形我们让其动起来，找到两个全等的三角形。例题回顾：【例 1】 已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等CABCMBN边三
2、角形求证： N补充：(1)求证：CD=CE(2)求证： 平分 F练习：快速解答下列问题1 如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形，是 中点， 是 中点，求证： 是等边三角形DANEBMCDEMDNEC BA2( 年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段 同侧作208 AE两个等边三角形 和 ( )，点 与点ACDE120P分别是线段 和 的中点，则 是MCM_。A钝角三角形 B 直角三角形 C等边三角形 D非等腰三角形3 如图，等边三角形 与等边 共顶点于 点求证：AEED2、简单的辅助线的添加添加一条辅助线即可以构造相应的旋转对应1 如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，问ABC
3、BDAPBDC的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由BPPDCBAAB CDP2(2005 年四川省中考题)如图，等腰直角三角形 中， ， ， 为 中ABC90 ABaOC点， 求证： 为定值EOFBEF OBECFA4 321OBECFA延伸：如图，正方形 绕正方形 中点 旋转，其交点为 、 ，求证：GHKADEAECF54321OH BEDKGCFA【例 2】 (2004 河北)如图，已知点 是正方形 的边 上一点，点 是 的延长EADFCB线上一点，且 求证： AF FEDCBA【解析】 证明：因为四边形 是正方形，所以 ，ACDAD因为 ，所以90BADEEF，所以 ，
4、故 FBAERtBF，故 RtBF【补充】如图所示，在四边形 中， ， ， 于A90ACDP，若四边形 的面积是 16，求 的长_。PCDPPDCBAA BCD EP【解析】 如图，过点 作 ，延长 交 于点 ，容易证得 (实DEDEADPE际上就是把 逆时针旋转 ，得到正方形 )90正方形 的面积等于四边形 面积为 ， BC164【例 3】 、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ，EFAB5EF， 为垂足，求证： AHHACHFEDBACHFEGDBA【解析】 延长 至 ，使 ，连结 ，易证 ，CGDFAADF ， 再证 ，全等三角形的对应高相等A AE (利用三角形全等可证得)，则有 H
5、课堂练习如图，正方形 的边长为 ，点 在线段 上运动， 平分 交 边于B1CBC点 E求证： AFDE FEDCBAGAB CDEF3、真题选讲08 北京 25请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段ADFA， ， P的中点，连结 若 ，探究 与 的位置关系及DFPGC， 60BEPGC的值小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问PCPCH题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；PGCPG（2）将图 1 中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形BEFB
6、EF的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2） 你在（1）中得到ABCD的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图 1 中 ，将菱形 绕点 顺时针旋转任2(09)D A B EFCP G图 1 D C GPA B E F图 2意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出上述比的值（用含 的式子表示） 09 北京 24. 在 中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转ABD得到线段 EF(如图 1)90（1）在图 1 中画图探究：当 P 为射线 CD 上任意一点（P 1不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转 90得
7、到线段 EC1.判断直线 FC1与直线 CD 的位置关系，并加以证明；当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结90论.2011 北京 24(7 分)在 ABCD 中，BAD 的平分线交直线 BC 于点 E，交直线 DC 于点 F(1)在图 1 中，证明：CE CF ；(2)若ABC90，G 是 EF 的中点(如图 2)，直接写出 BDG 的度数；(3)若ABC120，FGCE，FGCE，分别连结 DB、 DG(如图 3)，求BDG 的度数B BA D A D
8、CCEFEGFAB CDEG F图 1 图 2 图 3作业3、 （2009 年牡丹江）已知 中， 为 边的中点，RtA 90D， ， A90EDF，绕 点旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于 、CBEF当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证DE12DFCABCSS 当 绕 点旋转到 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否和成立？若成立，请给予证明；若不成立， 、 、 又有怎样的数量关系？DEFS C AB请写出你的猜想，不需证明AEC F BD图 1 图 3ADFEC BADBCE图 2FFDCBA EG2G1P1HP2（2009 东营）已知正方形 ABCD
9、中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为 DF 中点，连接 EG， CG（1）求证： EG=CG；（2）将图中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG， CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）24. （1）如图 1：在ABC 中，AB=AC ，当ABD=ACD=60时，猜想 AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ； （2）如图 2：在ABC 中，AB=AC ，当ABD =ACD=45时，猜想 AB 与 BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图 3：在ABC 中，AB=AC ，当ABD =ACD= （20 70）时，直接写出 AB 与 BD+CD 数量关系( 用含 的式子表示 )。FBA DCEG图FBA DCEG图DFBACE图图1DABC 图2DACB 图3DABC
