1、第六讲 不定方程解应用题大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。例 1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在 10 以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？分析 设三张牌为 x、y、z（xyz）.再设共发牌 n 轮（每轮发 3 张）.记作 x+yzS。nS131
2、523=51。由于 n 和 S 都是整数，51317.只有 n=3，S=17.现在转变为不定方程：xyz 且 10xyz1 的条件下：x+yz17求整数解。即 x6.x 可能值为 6、7、8、9。第一种情况，x=6yz，而 y+z=17-6=11，而此时 y+z 最多为 5+4.所以 x6。第二种情况，x=7yz，yz=17-7=10，只有 y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为 23，而 23 显然不可能表示为7，6，4中任意三个（可以重复的，下同）数之和。第二种情况 x=7 亦被排除。第三种情况，x=8yz，yz17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。而 13（
3、甲三次牌数字和）不能表示为8，7，2中任意三个数之和，23 不能表示为8，6，3和8，5，4中任意三个数之和，故x=8 亦被排除。第四种情况，x=9yz，yz=17-9=8，观察知 y=5，z=3.（可排除9，7，1和9，6，2.）综上所述，三张牌为 3、5、9。例 2 采购员用一张 1 万元支票去购物.购单价 590 元的 A 种物若干，又买单价 670 元的 B 种物若干，其中 B 种个数多于 A 种个数，找回了几张100 元和几张 10 元的（10 元的不超过 9 张）.如把购 A 种物品和 B 种物品的个数互换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数也恰好相反.问购 A 物几个，B
4、物几个？解：设购 A 种物 x 个，购 B 种物为 x+y 个，并设第一次购物找回 r张 100 元，s 张 10 元，则这是 4 个未知数，2 个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为 0 的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去 10，得由于（3）（4）式的右边都等于 1000，因此它们相等，整理后得8y9r-9s=0，再在方程两边同时加上 9s-9r，得：8y9（s-r） （5）由于 y 是大于 0 的整数，所以 s-r 也是整数0。因此 89（s-r），98y。但是 s 是 10 元钱的张数，s9，r 是 1
5、00 元钱的张数，所以 k=1，因此 y=9，s-r=8.显然 s=9，r=1。代回（3）式：得到 x=3。所以：x=3，x+y=3+912，r1，s=9.采购员购 A 物 3 件，B 物 12件，找回 1 张 100 元，9 张 10 元。这两个例题已综合地体现了不定方程的“风味”。例 3 现有 3 米长和 5 米长钢管各 6 根，安装 31 米长的管道，问怎样接用最省料？解：设 3 米长用 x 根，5 米长用 y 根，列成不定方程：3x5y=31.分两种思路求解答：用 3 米长的 2 根，5 米长的 5 根。用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。例 4 55 人去游园划船，小船每
6、只坐 4 人，大船每只坐 7 人，问要租大、小船各多少只？解：列不定方程，设大船 x 只，小船 y 只。7x4y=55。55-7x0（mod 4）；因此 7x55（mod 4）3（mod 4），但 73（mod 4），所以 x1（mod 4），因此 x1，或 x=5。所以有 x=1，y=12 以及 x=5，y5 两组解。例 5 王虎用 100 元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共 100 包.油菜籽每包 3 元，西红柿种子每包 4 元，萝卜籽 1 元钱 7 包，问他每种各买了多少包？解：设买油菜籽 x 包，西红柿种子 y 包，则萝卜籽（100-x-y）包，列28y+100-x-y700，也即 20
7、x+27y600。因此 y22.由于 6000（mod 20），所以 27y0（mod 20）；但（27，20）=1，所以 y0（mod 20）。因此 y20，x=3，100-x-y77。答：购油菜籽 3 包，西红柿种子 20 包，萝卜籽 77 包。例 6 100 匹马驮 100 筐物品，一匹大马驮 3 筐，一匹中马驮 2 筐，两匹小马驮 1 筐.问大、中、小马各多少？解：设大、中、小马的匹数依次为 x、y、z，由题意，列不定方程为：因此 y33.由于 5|100，所以 5|3y.y0，5，10，30.相应地可以得到 x 和 z.但（3，5）=1，所以 5|y.因此把结果列出：以上讲了 6 个例子，解不定方程（组）的一般思路和步骤都体现在其中了.这讲介绍的是最基本的整系数整式不定方程求整数解.总之，它要调用解方程时的常用的方程变形公共原则，又时时巧用未知数是整数这一“约定”.当然还有许多其他技巧.至于其他形式的不定方程，如x2y 2=25；奇质数 p，
