1、1几何画板课件制作圆锥曲线的形成和画法作者：马现岭摘 要几何画板是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件。主要包括：用动态效果展示圆锥曲线及截面的形成和圆锥曲线的画法。这两类课件在教学上都有很重要的应用。最新的普通中学数学课程标准中强调“教师应向学生展示平面截圆锥得到的椭圆
2、的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解，有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。”这表明圆锥曲线的教学在以往的教学过程中存在着很大的困难，由于以往教育技术的落后，无法生动直观的进行讲解。现在有了这个课件，我们就能达到既生动又直观的教学效果。第二类利用几何画板实现了轨迹、函数图像的变换以及图像变换的动态演示，并由此法制作了几个有关函数图像变换的课件。第二类课件系统介绍了圆锥曲线的画法,为在教学中提高学生学习兴趣,开展对圆锥曲线的研究,提供了良好的方法和方便的途径。全文由三部分组成：第一部分：几何画板 课件制作的选题原则。第二部分：详细介绍了我所选择制作的数学
3、课件及其制作过程。第三部分：学习及应用几何画板的体会。关键词：几何画板、标记向量、椭圆、圆锥曲线、圆锥截面、轨迹。2AbstractThe Geometer s Sketchpad is an excellent platform for teaching of geometry (plane geometry, analytic geometry, projection geometry and solid geometry). It also applies to teaching of partial physics and astronomy. This platform not on
4、ly can help teachers use the modern education technology in the course of teaching, but also can help students grasp the inwardness of science, and cultivate their ability of observation, solving question, and progressing their ideation. It represents the developing direction of the educative tool s
5、oftware.After I learn the Geometers Sketchpad, I have made kinds of comprehensive mathematics course wares, mainly including: Demonstrate the development of cone curve. These kinds of course wares have very important application on teaching. In “The newest ordinary middle school mathematics course s
6、tandard “, it is emphasized that “ teacher should demonstrate to student the plane section ellipse that cone gets, make student deepen the understanding for cone curve, under certain condition schools should play the role of modern educational technology fully, using computer to demonstration incomi
7、ng of cone curve from cone by the plane. It shows that the teaching of cone curve has great difficulty in former teaching course, just because that educating technology fall behind before, and it can not be active and visual to explain. Now, here are these course wares, we can reach active and visua
8、l teaching effect. The second kind of side spread out problem is concerned with in former lesson, but the method to produce is fussy. The biggest advantage of my lesson lies in the method that I have used a unification to carry out, so that the time to produce is shortened greatly, and has reached v
9、ery good demonstration effect.The paper text is composed of three parts: In the first part: I write some fundamental about what kinds of problem we can make the coursewares in the Geometers Sketchpad.In the second part: The mathematics coursewares and its produce course that I select to make are int
10、roduced in detail.In the last part: I relate the experience study by using the Geometers Sketchpad.Keywords: The Geometers Sketchpad、 mark vector、 ellipse、 cone curve、cone 3section、trace.引 言The Geometers Sketchpad 是美国优秀的教育软件。由美国 Nicholas Jackiw 和Scott Steketee 程序实现，Steven Rasmussen 领导的 Key Curriculu
11、m 出版社出版。它的中文名是几何画板21 世纪的动态几何，以下简称几何画板。它小巧玲珑，操作简单，是数学学习的有力助手。它可以说是我们的数学实验室，因为它能够有效地使数形结合，使我们在数学学习中既理解了数学结论，又得到了数学经验。众所周知数学是训练逻辑思维的，尤其几何。通过教师的辅导，我们在自己的记忆中形成套逻辑思维体系。那么怎样才能使我们更好地理解几何知识、掌握逻辑思维方法呢？一个方法是多看、多想，增加我们的学习经验，另一个方法就是寻找良好的辅助工具，帮助我们在动态的几何之中，去观察，探索。几何画板就是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射影几何，立体几何）、部分物理、天文教学的专业学科优秀
12、平台软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养其观察能力，问题解决能力，并发展思维能力。它代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。在对几何画板进行系统的学习之后，我利用有关知识制作了两大类综合的数学课件，主要包括：用动态效果展示圆锥曲线的形成和圆锥曲线的画法。这两类课件在教学上都有很重要的应用。这里我所选择的几何画板版本为 4.04版，目前最高的版本为 5.0 英文版，此外还有 3.03 版、4.03 版和 4.06 版.下面我就课件的选题、制作及使用几何画板的感受几方面来展开我的论文。4第一部分 几何画板的选题原则在数学
13、教学过程中，不论是代数教学还是几何教学，遇到的最大困难就是：教师在教学过程重使用常规工具（如黑板，粉笔，圆规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，而且无法达到动态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过程中的规律。几何画板21 世纪的动态几何。顾名思义，几何画板就是一个可以很好的解决以上难题的辅助教学工具。几何画板在中学数学教学中有很多应用，不论在代数教学还是在几何教学中都显示出它的超凡魅力。例如，在代数学教学中，它对函数、极限、复数和不等式等的教学起到了很大的作用。在几何学教学中，平面、立体和解析几何更让几何画板大显身手。当然，并不是所有教学都要利用几何画板来完成，也并不是所有教
14、学内容都适合利用几何画板达到最好的效果，这就要遵循几何画板的选题原则：第一：几何画板可以动态地演示图形的变化过程。例如：下面要展示的圆锥曲线和函数图象的变换的课件都体现了动态的特点；第二：几何画板可以有效地使数形结合。例如：大量极值问题都可以通过几何画板来动态模拟。第三：几何画板可以精确画出函数图形并表现其全部情况。例如：函数教学中大量的绘图工作可以轻而易举地通过几何画板来完成。而且对于一类函数， 几何画板可以通过改变系数及参数而达到表现其全部情况的目的。例如：三角函数中正弦函数 y=A sin(x+)+d 的图像可以通过调整 A， ，d 的值得到不同的精确图像。第四：几何画板最重要的是可以很
15、好的表现图形的任意性。例如：在让学生掌握三角形重心，内心，外心等概念时，在以往的教学过程中只能在黑板上画出几个三角形作代表，不能很好地说明三角形的任意性，而利用几何画板就可以任意拖动三角形的顶点以达到任意三角形的目的。 总之，在所做课件中我们能够充分体现出几何画板的以上优势，并能够恰当的应用到教学实践中，为教学服务。这就可以称作是一个成功的课件设计。利用几何画板就是要充分利用它动态几何的特点，把在传统教学中比较难描述清楚的图形，用动态效果展现给学生，从而达到更好得教学效果。5第二部分 课件设计与制作第一类课件：圆锥曲线的形成选题：圆、椭圆、抛物线、双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得
16、到的截线，故它们统称为圆锥曲线。在中学数学教学中，很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程。在学习之初，学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识。现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程 ，动态演示不同圆锥曲线及截面的形成，为高中数学圆锥曲线的学习作引入。这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识，更便于学生理解圆锥曲线的实际意义。原理：圆锥面被一平面所截所得的曲线形有：圆、椭圆、抛物线、双曲线。制作过程：圆锥曲线的构造1构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图1 作小椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴为 OA，短半轴为 OB；（1） 过 O 作 OA 的垂线，在垂线的上方任取一点
17、 H，作线段 HO 并隐藏垂线。用线段连接 AH，分别在线段 HO 和 AH 上任取点 C 和点 D，连接 CD；（2） 作截面：以点 C 为圆心，以小线段 r 为半径作圆。在上半圆上任取一点 E，隐藏小圆。依次选定点 E 和点 C 并标记为向量，把点 C 按标记向量平移得到点 E，再依次选定点 C 和点 D 并标记为向量，把点 E 和 E按标记向量平移得到点 F 和F。同时选定点 E、F、F和 E，用线段相连得截面 EFFE，并涂上浅黄色，如图 1 所示：rFFEAOBHCDErba圆 锥 截 面 的 形 成GGPNMFDFE CHAO A OHC DEMN P6注意：利用示意图控制截面作移
18、动和倾斜变化：1）拖动点 A 或点 B，可以改变椭圆的大小；2）拖动点 C 或点 D，可以使截面 EFFE上下移动或上下倾斜；3）拖动点 E，可以使截面左右倾斜或翻转。 2构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程（1）做大椭圆：利用同心圆法作椭圆，椭圆的长半轴 OA=2|OA|，短半轴OB=2|OB|，椭圆中心为；（2）作圆截面：依次选定点 O 和点 H 并标记为向量，把点 O按标记向量平移两次得点H,使 OH=2 |OH|。在椭圆上任取一点，用线段连接 O依次选定点和点 并标记为向量，把点按标记向量平移得点，用线段连接和；作 P轨迹，同时选定点 P 和点 P，执行作图/轨迹选项，求得一个与
19、圆椭圆关于 H对称的椭圆；作 PP轨迹，再同时选定线段 PP和点 P，执行作图/轨迹选项，作出圆锥面，并用浅颜色表示。（3） 作截面：依次选定点 O 和 C 并标记为向量，把点 O按标记向量平移两次得点C，使 OC=2|OC|。过点 C作平行于 CD 的直线 a 交 HA于点 D。在直线a 上任取一点 M，选定点 M 和 C并标记为向量，把点 C按标记向量平移得点M。过点 M 作 EE平行线 d，在 d 上任取一点 N，选定点 N 和 M 并标记为向量，使点 M 按标记向量平移得点 N。依次选定点 M 和 M并标记为向量，使点 N，N按标记向量平移得点 Q 和 Q。隐藏直线 d，用线段连接 N
20、、N、Q、Q 得截面 NNQQ，并涂上浅黄色。（4）作圆锥曲线：先求作截面 NNQQ 与棱 HP 的交点 G。过点 D作 OA平行线交 OH于 O点。分别过点 O和 D作线段 OP 和 FF的平行线 b 和 c，并交于点 R。作直线 RC，求得 RC与 PP的交点 G，即为截面与棱 PP的交点。隐藏除直线 a 外的所有直线。（5）求点 G 的轨迹，同时选定点 G 和点 P，执行作图/轨迹选项，求得截面与锥面相交的圆锥曲线。根据截面不同位置，点 G 的轨迹可分别形成椭圆、抛物线、双曲线等，建立动画按钮控制截面的运动，改标签为“圆锥曲线” 。用同样方法，可求得圆锥曲线在水平面上的投影，即过 G 点
21、作 AO的垂线与 PO交于点 G，求点 G的轨迹即是。（6）在控制图上选取四个特殊点，此时所成圆锥曲线为双曲线、抛物线、椭圆、圆。分别构造到这几个点的移动按钮，并改名为“双曲线” 、 “抛物线” 、 “椭圆” 、 “圆” 如图 2 所示：7第二类课件 圆锥曲线的画法选题：圆锥曲线的画法虽然很多种，但归纳起来有以下五种：1.利用圆锥曲线的第二定义；2.利用圆锥曲线的第一定义；3.利用圆锥曲线的参数方程；4.利用圆锥曲线的极坐标方程；5.利用圆锥曲线的标准方程。此部分将将详细介绍以上方法，并将以动态的形式展示出来。一、由第二定义出发统一构造椭圆、抛物线和双曲线原理：到定点和定直线的距离之比等于定值
22、 m 的点的轨迹：当 01 时，轨迹为双曲线。制作过程：1） 如图（3）所示：打开一个新画板，画一条竖直的直线 j（定直线）和直线外一点A（定点） 。在直线 j 上取点 C，过点 A，C 作直线 j 的垂线 l,k,点 B，C 为垂足。c3c1lkj01t = 1.54tDFG EEB AC2） 取点 C，B 作圆 C1，交直线 k 于 E。3） 新建参数 t，并标记比值，让点 E 以 C 为中心，按标记比进行缩放得 E。84） 取 C，E作圆 C2，取 CA 的中点 G 和点 C 作圆 C3，交 C2 于 F。5） 用直线连接 A，F 交直线 k 于 D，则 AD/CD=CE/CE=1/t。
23、6） 选中 C，D 作轨迹，作点 D 关于直线 l 的对称点 D，选中 C，D作轨迹，最后隐藏不必要的对象。说明：（1）在圆 C1 中，CB=CE，在圆 C2 中，CF=CE，在BCF 和ADC 中，因为CFB=ACD=BAC，CBF=DAC（同弧上的圆周角相等） ，所以BCF 和ADC 为相似三角形。则 CB/CF=AD/CD=CE/CE=m=1/t,即定点 A 和定直线 j 距离之比等于定值 m。（2）单击“运动参数 t“按钮，比值 m 随之改变，这时可以动态地看到，当 m 小于 1的值逐渐变为 1 时，轨迹由椭圆变成抛物线；当 m 大于 1 时，轨迹变成双曲线。二、由第一定义出发，构造椭
24、圆和双曲线及抛物线原理：椭圆（双曲线）到定点的距离和定直线的距离之和（差）等于定值的点的轨迹；抛物线到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹。制作过程：1.椭圆（或双曲线）的制作：642-2-4-10-55 BAEH NO F1F2M642-2-4-5 5 10BAEHNOF1 F2M 12 11 21 12,2 ()()x FxFFMFMNNNABFAB作 出 平 面 直 角 坐 标 系 ， 在 轴 上 任 取 两 点 作 圆 标 记 圆 心 的 点 记 为 ， 另 一 点 隐 藏 。再 轴 上 任 取 一 点 记 为 （ 在 圆 内 时 并 且 不 与 重 合 时 如 图 (4)， 轨 迹
25、 为 椭 圆 ， 在 圆 外 时如 图 （ 5） ， 轨 迹 为 双 曲 线 ） ， 在 圆 上 任 取 一 点 。过 、 作 直 线 ， 交 圆 于 另 一 点 。 联 结 、 ， 并 且 作 它 们 的 中 垂 线 ， 与直 线 相 交 于 、 。 即 为 过 焦 点 的 椭 圆 或 双 曲 线 的 弦 ， 、 就 是 椭 圆或 双 曲 线 的 焦 半 径 。2.抛物线的制作： 98642-2-4-6-5 5 10 15jPN O FM 221,0, ,2, , sinPFxFyMFxNMPpxPFQXFaa ） 是 轴 正 向 上 的 自 由 点 过 的 动 直 线 与 轴 交 于 过
26、作 的垂 线 交 轴 于 作 与 关 于 对 称 的 点 。 如 图 （ 6） 选 择 点 、 ， 单 击 ， 得 点 的 轨 迹 为 抛 物 线 方 程 为 。是 它 的 一 条 焦 半 径 。说 明 ： 设 过 的 抛 物 线 的 焦 点 弦 为 。 设 ， 则 过 抛 物 线 焦 点 的 弦 长 为 ，这 样 可 以 计 算 出 ， 以 为 圆 心 ， 以 算 出 的 值 为 半 径 作 圆 ， 可 以 找 Q出 点 。 从而 作 出 抛 物 线 的 焦 点 弦 。三、利用参数方程构造椭圆和双曲线1. 作椭圆原理：利用椭圆参数方程 cosinxayb制作过程：1）如图（7）所示：开一个新
27、画板，画线段 AB，以 A 为圆心，AB 为半径构造大圆 C1。10642-2-4D-5 5 10om lkjc2c1IHGFA B CE2）构造过点 A 与 AB 垂直的直线 k，在直线 k 上取一点 C，以 A 为圆心，以 AC 为半径构造小圆 C2。3）在大圆 C1 上任取一点 D，构造过点 D 和点 A 的直线 l，直线 l 与小圆 C2 交于 E。4）构造过 E 与 AB 平行的直线 m。5) 构造过 D 与 AB 垂直的直线 n，并构造 m 与 n 的交点 F。6）建立轨迹：同时选中点 D 和点 F，单击选项，画板显示椭圆，拖动点 A 或点 C，可以改变椭圆的形状。7）除了保留点
28、A，B，C 和椭圆轨迹外，隐藏其它对象。2. 作双曲线原理：利用双曲线参数方程 secxaybtg制作过程：1）打开一个新画板，单击，建立直角坐标系，标记原点为 A，单位点为B。2）在 x 轴上取一点 C，按顺序选取 A，C，单击记为 C1，同样，在 y 轴上取一点 D，构造以 A 为圆心通过点 D 的圆 C2。3）在 C1 上取一点 E（自由点） ，构造过 A，E 的直线 j。4）构造过 E 和 AE 垂直的直线 k,并构造 k 与横轴的交点 F。同样构造过 F 与 x 轴垂直的直线l.5）构造 C2 与 x 轴正向的交点 G，并构造过 G 与 x 轴垂直的直线 m,交直线 j 于 H，过 H 与 x轴平行的直线 o,交直线 l 于 I 点。
