1、二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下： （1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。 （3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设 在 二阶可导，且 )(xf0 0)(,0)(xfxf(1) 若 ，则 在 取得极大值；)0f )(f0(2) 若 ，则 在 取得极小值)(0xf )(xf0例 试问 为何值时，函数 在 处取得a xaf 3sin1si)(极值
2、？它是极大值还是极小值？求此极值解 xxaxf 3coscos)(由假设知 ，从而有 ，即 0)3(f 0122a又当 时， ，且2a xxxf 3sinsin2)(，所以 在 处取03)3(f xxf3sin1i2)(得极大值，且极大值 )3(f例 求函数 的极大值59)(2xxf与极小值解 在 上连续，可导令)(xf4,2，0)3)(1(3963)(2 xxxxf得 和 ，1思考： 在 取得极大还是极小值？在 取得极大还是极小值？)(xf 3x6f-1 代入二阶导数表达式为-12， 在 取得极大值)(xf13 代入二阶导数表达式 12，在 取得极小值3三、函数图像凹凸定理 若 在 内二阶可
3、导，)(xf,ba则曲线 在 内的图像是凹曲线的充要条件是)(xfy,ba， 0)(f曲线 在 内的图像是凸曲线的充要条件是)(xfy),， 。f ,(bao oxxy y几何的直观解释：如果如果一个函数 f(x)在某个区间 I 上有 恒成立，()0fx那么在区间 I 上 f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。. 曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图 11 中的曲线为向下凸，而图
4、12 中的曲线为向上凸图 11 图 121212()()()fxff定义 4.5.1 设 在 内可导，若曲线 位于其每点处切线xfy,ba)(xfy的上方，则称它为在 内下凸(或上凹)；若曲线 位于其每点处切线,的下方，则称它在 内上凸(或下凹)相应地，也称函数 分别为ba )(xfy内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数),ba从图 11 和图 12 明显看出，下凸曲线的斜率 (其中 为切)tanxf线的倾角) 随着 的增大而增大，即 为单增函数；上凸曲线斜率 随着x)(xf )f的增大而减小，也就是说， 为单减函数但 的单调性可由二阶导x )(xf数 来判定，因此有下述定理)(x
5、f定理 4.5.1 若 在 内二阶可导，)(xf),(ba则曲线 在 内下凸(凹函数) 的充)(xfy,ba要条件是0)(xf ),(bax例 1 讨论高斯曲线 的凸性2xey解 ， 所以2xy 2)1(x当 ，即当 或 时 ；012x0y当 ，即当 时 221x因此在区间 与 内曲线下凸；在区间 内曲线上)1,(),()21,(凸四川高考数学 2006理 22 压轴题22，已知函数 ，证明 f(x)的导函数2()lnfxaxxf(x)对于任意两个不相等的正数 x1，x 2，当 时，有0a1212()()()fxfxf证法一：由2()lnfxaxx22121 1212()()()()(lnl)fxfx ax xx=22121 12()()lnxx ax2121 12124()() lnx xf ax比较大小，会算吗？二阶导数 QM 法：欲证1212()()()fxfxxf即证函数图像是凹的，只需证 f(x)0，( )0a2()fxx42324()aafxxx0,0xa()0fx问题得证
