1、1学术讲座：不动点理论王春光2008 年 12 月 10 日2不动点理论一、前言不动点理论是关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、微分方程、函数方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成 (x)=x 的形状，这里 x 是某个适当的空间 中的点， 是从 到 的一个映射，把每一点 x移到点 (x)。方程 (x)=x 的解恰好就是在 这个影射之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。 二、历史背景常见的不动点定理:1:压缩映射原理(C.(C.-).皮卡(1890) ；S.巴拿赫（1922
2、）)：设 X 是一个完备的度量空间，映射 : 把每两点的距离至少压缩 倍，即 d（x），(y)d(x,y)，这里 是一个小于 1 的常数，那么 必有而且只有一个不动点,而且从 的任何点 x0出发作出序列 这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。2:布劳威尔不动点定理(1910): 设 是欧氏空间中的紧凸集,那么 到自身的每个 连续映射都至少有一个不 动点。用这3定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值
3、映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。3:莱夫谢茨不动点定理: 设 是紧多面体,: 是映射,那么 的不动点代数个数等于 的莱夫谢茨数 L()，它是一个容易计算的同伦不变量。当 L()0时 ，与 同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理发展了布劳威尔定理。4：J.尼 尔斯 1927 年 发现，一个映射 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。三、有关定义及引理定义 1 设 为度量空间，若 ，dM, MxTuuxTnn ,lim,li则称 为轨迹连续自身映射。T定义 2 设 为度量空间，若 Cauchy 列 ， 收敛，, nx则称 为完全轨迹型
4、。引理 1 设 为完备度量空间， 为轨迹连续自身映射，dM, T有 )1,0(,),(),(),min),(),(min qMyxqdxyxdTyxTyxd（1）引理 2 设 为度量空间，不一定连续，有dM,4),(),(),),(min 22 TydxydTx（2）（ 1,0,(, qMyxxqyd四、研究结果定理 1 设 为度量空间， 为轨迹连续自身映dM, T：射，且 为完全轨迹型，若T（3）),(),(),(),min),(),(min TxqdyxpydxaTyxyxd 其中 ， 为实数，且 ，则 ，有 收敛qpa10qpMn于不动点 。u证明： ， 满足 ，若Mxn 112010
5、, nTxxTx，称 为 Cauchy 列，即1,nNn有（4）uxnlim假设 ，由（3）得nn xyx,20, 11对 ),(),(),(),(i)()()(mi 111 nnnnnn xqdxpdxdaxdd 0),i, 111 nn qpxx （5）),(,(),(i111 nnn xddx从而 , 其中),(1nhxd.0hqp因为 不存在，则由（5）有),()(,1xnn)(),(121nxx即 .),(),(),(, 121 Txdhxdhxhdd nnnn ，有Ip.),(1),(),(),( 111 xdhxdhxdxd npnkpnkKPn 又 ，（4）为 Cauchy 列
6、， 为完全轨迹型0limnhT5则存在一点 ，有Mu.MxuTn,lim，n故 为不动点。证毕u定理 2 设 是轨迹连续映射， 为完全轨迹型，满MT: T足下列条件： ),(),(),),(min 22 ydTxydx ),(),), dyTxqTxpTyda 。 10, paMy为 实 数 ，（9）则 ， 收敛于一个不动点。MxxTn证明：设 ，有 若 ，112010 , nTxxTx N有 ，则 为 Cauchy 列，于是，1nxn。 （10）ulim假设 ，由（9）有nnn xyxx,10,1当 0),(),(min),()()()(i 11212 nnn xdxadd ),(),(),
7、(),( 1111 nnnn xdxqxp ),(,min( 12 nn pdxd又 不存在),(),(),), 1111 nnxkx (qk结果有 。于是， ，有,(,( Tkxnn即 Ip)(0),(1),(),(), 111 nxdkxddxd npnipniin6（11）故 为 Cauchy 列， 为完全轨迹型，则 ， 又nxT xTuMnlim,使为轨迹连续映射，有。证毕。uxTunlim上述各种不动点定理，除压缩映射原理外，都未给出不动点的具体求法。由于应用上的需要，不动点算法的研究正在蓬勃发展，希望各位同学积极踊跃的加入到不动点研究的方向上来。数学计算机系2008 年 12 月学术讲座教师：王春光副教授
