专题五图形与证明.doc

1、专题五：图形与证明一、考点综述考点内容：1. 了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；2. 掌握平行线的性质定理和判定定理；3. 全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；4. 掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；5. 掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；6. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理；7. 与圆有关的性质和定理考纲要求：1.基本概念、三角形、四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象，要求能进行较严格的推理证明；题目以 “证明”形式存在；2.圆中的切线要求会证

2、明；4.会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题.5.会用解直角三角形的知识求解实际问题.6.能用圆心角、圆周角换算与计算，能求解弧长与扇形面积；会求圆柱与圆锥的表面积；能解决圆与解直角三角形的结合问题.7.能用反证法证明简单的文字问题.考查方式及分值：本部分的内容多以解答或证明说理的形式出现，中考压轴的题目往往是这部分多种知识的综合，所占分值比重比较高约占 30%左右。备考策略：本部分知识是中考的重点，在复习时必须首先要掌握好各种定理和性质，能熟练记住，再进一步强化训练，立足于课本，要一题多解、举一反三。二、例题精析例 1如图 1，已知点 在 的 边上，DABC 交 于 ， 交

3、于 DEAC BEDFAB CF（1）求证： ；（2）若 平分 ，试判断四边形 的形状，并说明理由ED解题思路：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握证明：（1） ，DEAC ，同理 AFFA ， ， （2）若 平分 ，四边形 是菱形DBCED ， ，EA F四边形 是平行四边形， ， ，平行四边形 为菱形D规律总结：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力例 2如图 2， 是 O 的直径， 是 O 上一点，过圆心 作ABC， 为垂足， 是 上一点， 是 的中点， 的延ODCEG

4、DEG长线交 于 F（1）图中线段 、 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；（2）猜想线段 三者之间有怎样的数量关系？BEFC， ，写出你的结论，并给出证明过程解题思路：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想 ODBC，再利用圆的有关概念及性质得证解：（1）结论： ODBC证明： 是 O 的直径， 是 O 上一点，A ，即 BC AC90C又 OD AC， OD BC（2）结论： EFBC证明： OD AC， AD=DC又 O 为 AB 的中点， OD 是 ABC 的中位线 BC=2OD在 ODG 与 EFG 中， DG=EG， GOD= GFE，

5、ODG= FEG， OD=EFODGFE 2BCBODEF 规律总结：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前提下进行本题就采用了这种方式该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系例 3如图，已知O 的直径 AB2，直线 m 与O 相切于点 A，P 为O 上一动点（与点 A、点 B 不重合），PO 的延长线与O 相交于点 C，过点 C 的切线与直线 m 相交于点 D（1）求证：APCCOD（2）设 AP x，OD y，试用含 x 的代数式表示 y（3）试探索 x 为何值时，ACD 是一个等边三角形解题思路：运用圆的切线的性质、三角形的相

6、似的判定和性质解析：（1） 是 O 的直径， CD 是 O 的切线PC PAC OCD90，显然 DOA DOC DOA DOC APC CODAPCOD （2）由 ，得 APOCD，1xy2x（3）若 是一个等边三角形，则ACD 6030AC，于是 ，可得 ，2O2y1x故，当 时， 是一个等边三角形1x规律总结：认真审题，根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。例 4如图, C 为线段 BD 上一动点,分别过点 B、 D 作 AB BD,ED BD,连接 AC、 EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x.(1)用含 x 的代数式表示 AC CE 的长；(2)请问点 C 满

7、足什么条件时, AC CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.9)12(42xx解题思路：代数知识与几何知识结合在一起，在直角三角形中利用勾股定理，注意运用两点之间线段最短。解析: (1) 125)8(2xx(2)当 A、 C、 E 三点共线时, AC+CE 的值最小(3)如下图所示,作 BD=12,过点 B 作 AB BD,过点 D 作 ED BD,使 AB=2,ED=3,连结 AE 交 BD 于点C.AE 的长即为代数式 的最小值. 9)12(42xx过点 A 作 AF BD 交 ED 的延长线于点 F,得矩形 ABDF,则 AB=DF=2,AF=BD=

8、8.所以 AE= =1322)3(1即 的最小值为 13.94xx规律总结：用代数的方法来解决几何问题，是我们常用的方法，在没有给出未知量的情况下，巧妙的设未知数。例 5如图， 为直角，点 为线段 的中点，点 是射线 上的一个动点（不与点 重合），ABMCBADBMB连结 ，作 ，垂足为 ，连结 ，过点 作 ，交 于 DEEEFCF（1）求证： ；F（2） 在什么范围内变化时，四边形 是梯形，并说明理由；F（3） 在什么范围内变化时，线段 上存在点 ，ADG满足条件 ，并说明理由14DG解题思路：根据题目的条件，注意角度之间的相等，三角形中位线的定理的运用，梯形的判定的运用。EDCBAFEDC

9、BAABCDFEM解析：（1）在 中， ， ，RtAEB C12EAB， CB，90F， EEFB， ，BD 90DF（2）由（1） ，而 ，BDCA，即 CFA EF若 ，则 ， B， 45当 或 时，四边形 为梯形0A90AACFE（3）作 ，垂足为 ，则 GHBDGHB， 1414又 为 中点， 为 的中点FF为 的中垂线GD点 在 h 上， EDG，180FF3180ED6F又 ，9A30当 时， 上存在点 ，满足条件 0 DEG14DAABCDFEMGH图7图图OC B A规律总结：探索在什么条件下结论成立，可以从结论出发，根据已知，充分利用图形的性质或判定，同时注意题目中的数量关系

10、。三、综合训练一、选择题1下列说法中错误的是 ( )A、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B、四边都相等的四边形是菱形 C、四个角都相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形2下列四边形等腰梯形，正方形，矩形，菱形的对角线一定相等的是（ ）A、 B、 C、 D、3如图，在平行四边形 ABCD 中， AC、 BD 相交于点 O，下列结论： OA OC； BAD BCD； AC BD； BAD ABC180中，正确的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、44如图AB 为O 的直径，AC 交O 于 E 点，BC 交O 于 D 点，CD=BD，C=70现给出以下四个结论：

11、 A=45； AC=AB： AB； CEAB=2BD 2其中正确结论的序号是（ ）A B C D5.如图,已知O 的半径为 1.AB 与O 相切于点 A,OB 与O 交于点 C,CDOA,垂足为 D,则 cosAOB 的值等于A.OD B.OA C.CD D.AB二、填空题1如图，在 口 ABCD 中，ABC 的角平分线 BE 交 AD 于 E 点,AB=5，ED=3，则 口 ABCD 的周长为 .2在菱形 ABCD 中，AC=16，BD=12，则菱形的高是_。3.菱形的周长为 20cm,一条对角线长为 6cm，则这个菱形的面积是_cm24. 如图，已知O 的直径 AB=8cm，C 为O 上的

12、一点，BAC=30，则 BC=_cm.CADBO(第 3 题图)O DCBADA ECB5已知菱形的周长为 ，面积为 ，则这个菱形较短的对角线长为 85166如图，把一个矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、 OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连结 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在 A的位置上若 OB= ， ，求点 A的坐标为_521OCB三、解答题1如图，在 ABC 与 ABD 中， BC BD设点 E 是 BC 的中点，点 F 是 BD 的中点（1）请你在图中作出点 E 和点 F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）（2）连接 AE， AF若

13、 ABC ABD，请你证明 ABE ABF2如图， O 的半径 OD 经过弦 AB(不是直径)的中点 C，过 AB 的延长线上一点 P 作 O 的切线 PE， E 为切点， PE OD；延长直径 AG 交 PE 于点 H；直线 DG 交 OE 于点 F，交 PE 于点 K（1）求证：四边形 OCPE 是矩形；（2）求证： HK HG；（3）若 EF2， FO1，求 KE 的长3如图，在 Rt ABC 中， AB AC， P 是边 AB（含端点）上的动点过 P 作 BC 的垂线 PR， R 为垂足， PRB 的平分线与 AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点 T，若以线段 PT 为一边作正

14、方形 PTEF，其顶点 E， F 恰好分别在边 BC， AC 上（1） ABC 与 SBR 是否相似，说明理由；（2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（3）设边 AB1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y 的最小值和最大值xyOAC BADABCPEDK HGCABFOTPSREABC F答 案一、选择题1. D 2. A 3. C 4.C 5.A二、填空题1. 26 2. 9.6 3. 24 4. 4cm 5. 4 6. ( ， )354三、解答题1.解：(1)能看到“分别以 B， C 为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点 M、 N，连

15、接 MN，交 BC 于 E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点 F(或以 B 为圆心， BE 为半径画弧交 BD于点 F)”的痕迹.(2) BC BD， E， F 分别是 BC， BD 的中点， BE BF，(4 分) AB AB， ABC ABD, ABE ABF.2.解：(1) AC BC， AB 不是直径， OD AB， PCO90 PE OD, P90， PE 是切线， PEO90，四边形 OCPE 是矩形.(2) OG OD, OGD ODG. PE OD, K ODG. OGD HGK, K HGK, HK HG.(5 分)(3) EF2， OF1, EO DO3. PE OD

16、， KEO DOE， K ODG. OFD EFK，(7 分) EF OF KE OD21, KE6.3.解：(1) RS 是直角 PRB 的平分线， PRS BRS45.在 ABC 与 SBR 中， C BRS45， B 是公共角， ABC SBR.(1 分) (2)线段 TS 的长度与 PA 相等. (图 1)TPSREABC F四边形 PTEF 是正方形， PF PT， SPT FPA180 TPF90,在 Rt PFA 中， PFA FPA90, PFA TPS，R t PAFRt TSP， PA TS.当点 P 运动到使得 T 与 R 重合时，这时 PFA 与 TSP 都是等腰直角三

17、角形且底边相等，即有 PA TS. 由以上可知，线段 ST 的长度与 PA 相等.(3)由题意， RS 是等腰 Rt PRB 的底边 PB 上的高， PS BS, BS PS PA 1, PS .12PA设 PA 的长为 x，易知 AF=PS，则 y PF PA PS ,得 y x ( ) ,2222即 y ，(5 分)514x根据二次函数的性质，当 x 时， y 有最小值为 .1515如图 2，当点 P 运动使得 T 与 R 重合时， PA TS 为最大.易证等腰 Rt PAF等腰 Rt PSR等腰 Rt BSR， PA .13如图 3，当 P 与 A 重合时，得 x0. x 的取值范围是 0 x . 13当 x 的值由 0 增大到 时， y 的值由 减小到5145当 x 的值由 增大到 时， y 的值由 增大到 .29 ，在点 P 的运动过程中，15294正方形 PTEF 面积 y 的最小值是 ， y 的最大值是 .1514(图 2)图 3)(T)PSREABC F(T)(P)SE(R)ABC F