1、- 1 -两圆位置关系中的分类思想例 1 已知两圆半径之比是 5:3，如果两圆内切时，圆心距等于 6，问当两圆的圆心距分别是 24、5、20、0 时，相应两圆的位置关系如何?选题意图：考查两圆五种位置关系.解：设大圆半径 R=5x两圆半径之比为 5: 3， 小圆半径 r=3x，两圆内切时圆心距等于 6，5x-3x=6，x=3，大圆半径 R=15，小圆半径 r=9，当两圆圆心距 dl=24 时，有 dl=R+r，此时两圆外切；当两圆圆心距 d2=5 时，有 d2R-r, 此时两圆内含；当两圆圆心距 d3=20 时, 有 R-rd3R+r, 此时两圆相交；当两圆圆心距 d4=0 时，两圆圆心重合，
2、两圆为同心圆点评：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力考察数形结合能力例 2 已知两相交圆的半径分别为 5cm 和 4cm，公共弦长为 6cm，求这两圆的圆心距选题意图：已知两圆相交，求两圆圆心距。解：分两种情况：（1）如图 1，设O 1 的半径为 r1=5cm，O 2 的半径为 r2=4cm圆心 Ol，0 2 在公共弦的异侧 O 1 O2 垂直平分 AB，AD= AB=3cm连 O1A、 O2A，则 （cm）（2）如图 2，圆心 Ol，0 2 在公共弦 AB 的同侧，同理可求0 1D=4cm，0 2D= （cm） （cm）7- 2 -点评：此题为基本题目；此题未给出图形，所以
3、应分两种情况求解；若题中给出图形，按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时，两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧例 3 已知：如图，O 和O 1 内切于 A，直线 OO1 交O 于另一点 B，交O 1 于另一点 F，过 B 点作O 1 的切线，切点为 D，交O 于 C 点，DEAB 垂足为 E求证：(1)CD DE；(2)若将两圆内切改为外切，其他条件不变，(1)中的结论是否成立?请证明你的结论选题意图：主要应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”这一结论解决的综合题证明：（1）连结 DF、AD，AF 为O 1 的直径，FDAD，又 DEAB，DFE= EDA ，BC 为O 1
4、的切线，CDA=DFE，CDA=EDA ，连结 AC，AB 为O 的直径，ACBC，又 AD 公共，Rt EDARtCDA，CDDE（2）当两圆外切时，其他条件不变，(1)中的结论仍成立证法同（ 1）点评：此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；第（2）问是开放性问题例 4 如图，O经过 O 的圆心，E、F 是两圆的交点，直线 OO交O 于点Q、D，交O于点 P，交 EF 于点 C 且 EF=2 ，sinP= 415(1)求证：PE 是O 的切线；(2)求O 和O的半径的长；(3)点 A 在劣弧 上运动( 与点 Q、F 不重合) ，连结 PA 交
5、于点 B，连结 BC 并延长交O 于点 G，设 CG=x，PA=y 求 y 关于 x 的函数关系式- 3 -选题意图：主要考查切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识的综合题。证明：（1）连结 OE， OP 是O 的直径，OEP=90 ，PE 是O 的切线（2）设O、O的半径分别 r、r O 与O交于 E、F，EFOO，EC= 21EF= 5在 Rt EOC、Rt POE 中，OEC= OPEsinOEC= sinOPE= ，4sinOEC= ，即 OC= r，1rOCE4r 2- r=15，得 r=416在 RtPOE 中，sinOPE= ，r=8P/（3）按
6、题意画图，连结 OA，OEP=90，CEOP，PE 2=PCPO又PE 是O 的切线，PE 2=PBPA，PCPO=PBPA，即 ，又CPO=APO，CPBAPO， ，PBAC PACOBBC=60/PA 由相交弦定理得 BCCG=ECCF，BC=15/CG，PA=4CG，即 y=4x（ X5）1例 5 两圆的半径分别是方程 的两根且两圆的圆心距等于 3，则两圆的位置关系是（ ）（A）外离（B）外切 （C）内切（D）相交解：方程 的两根分别为 1 和 2，而两圆的圆心距是 3，两圆的半径之和等于圆心距，两圆的位置关系是外切，故选 B点评：本题利用两圆的半径的和或差与圆心距的数量关系判定两圆的位置关系设- 4 -两圆的半径分别为 R、 r，圆心距为 d，则（1）两圆外离 ；（2）两圆外切 ；（3）两圆相交 ；（4）两圆内切 ；（5）两圆内含
