1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 10不等式的解法100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测不等式具有联系广泛，应用广泛，变换灵活的特点是中学数学的重点内容，也是学习高等数学的基础知识和重要工具，是高考的考察重点之一，在高考数学试题中占有相当大的比重关于不等式的解法，应该在熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式等的解法的同时，注意对含参数的不等式须经讨论求解的问题同时，还需注意不等式的工具作用，也即不等式与其它知识的综合问题范例选讲例 1 解关于 x 的不等式： 01
2、2log1l42 axax讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于 12102xa即 .02xa由于 ，所以 ，所以，上述不等式等价于1a102xa解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键如何确定这一标准？首先，我们可以从解不等式 入手，不难看到 是一个分02xa2a界点，这可以看作是本题分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到 ， ，2 这三个数之间的大小a1关系，这应
3、该是本题分类讨论的第二层次但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以 为分界2a点（1）当 时，不等式组等价于2aax或21此时，由于 ，所以 0112a1从而 2xa或（2）当 时，不等式组等价于23x所以 23x， 且（3）当 时，不等式组等价于aax或21此时，由于 ，所以， 21a或综上可知：当 时，原不等式的解集为 ；当a 212xax或时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集2a 23x， 且 为 axx或1如果将本题中的条件 去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组后，1就应该开始确定分类标准从解不等式 和 入手，012xa02xa
4、可知 ， 是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交0a2集的角度，可以看出需要比较 ， ，1，2 这四个数的大小关系，为了找到分界点，可以令 ，解得： ，于是，我们得到了此题分类讨论的 3a1a个界点：0，1，2从不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！0，1，2 三个点，以此把数轴分成 ， ， ， 四个区间及0,1,2,三个点,a下面只需在各区间及各界点展开讨论即可结论如下：当 时，原不等式的解集为 ；0a ax12当 时，原不等式的解集为 ；1当 时，原不等式的解集为 ；2a
5、 212xax或当 时，原不等式的解集为 ； 3， 且当 时，原不等式的解集为 2a axax或21点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数在分界点的取值a例 2 设函数 ，12xaf（1）当 时，解不等式 ；)(f（2）求 的取值范围，使得函数 在 上为单调函数x,讲解：（1） 时， 可化为： ，等价于：2a1)(f122x 或 402x02解得 ，解得 3511x所以，原不等式的解集为 135x或Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！（2）任取
6、，且 ，则,1,2x21x1122121 22121 2211 xaxxxaaff要使函数 在 上为单调函数，需且只需：f,恒成立， （或 恒成立） 1221xa 1221xa因此，只要求出 在条件“ ，且 ”之221x,221x下的最大、最小值即可为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如： ，容易知道，此时 ；若考虑,12x 1221x，则不难看出，此时 ，至此我们可以看出：21 221x要使得函数 为单调函数，只需 xf a事实上，当 时，由于 恒成立，所以，1a 012211 xx所以，在条件“ ，且 ”之下，必有：122x ,22x02ff所以， 在区间 上单调递减x,1当
7、时，由（1）可以看出：特例 的情况下，存在 由a 2a351f此可以猜想：函数 在区间 上不是单调函数为了说明这一点，只需xf,1找到 ，使得 即可简便起见，不妨取 ，此时，,1,2x2xf1xDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！可求得 ，也即： ，所以， 在区间12axaf12xf上不是单调函数,1点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1）中 .351f高考真题1. （1991 年全国高考）已知 为自然数，实数 ，解关于 x 的不等式：n1a.axxx nnaaa n 21log3log2log12l4log322. （2000 年全国高考）设函数 ，其中 a0（I）解不等式 f(x)1；（II）求 a 的取值范围，使函数 f(x)在区间0，上是单调函数答案与提示：1当 为奇数时，不等式的解集为 ；当n 241axa为偶数时，解集为 2（ I）0a1 时，所给不等式的n241ax解集为 ，当 a1 时，所给不等式的解集为x|x0；（II）210ax当且仅当 a 1 时，函数 f(x )在区间0，+ 上是单调函数
