1、Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲 15立体几何中的有关证明100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测立体几何中的证明往往与计算结合在一起考查。三垂线定理及其逆定理是重点考查的内容。范例选讲例 1 已知斜三棱柱 ABC-ABC的底面是直角三角形，C=90 ，侧棱与底面所成的角为 （0 90 ）， B在底面上的射影D 落在 BC 上。（1）求证：AC面 BBCC。（2）当 为何值时，ABBC，且使得D 恰为 BC 的中点。讲解：（1） BD面 ABC，AC 面ABC， BDAC，又 ACBC ，BC BD
2、=D， AC面 BBCC。（2）由三垂线定理知道：要使 ABBC，需且只需 AB在面 BBCC 内的射影 BCBC 。即四边形 BBCC 为菱形。此时，BC=BB 。因为 BD面 ABC，所以， 就是侧棱 BB 与底面 ABC 所成的角。BD由 D 恰好落在 BC 上，且为 BC 的中点，所以，此时 = 。BD60即当 = 时，AB BC，且使得 D 恰为 BC 的中点。60例 2 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧ABCP面 PDC 为正三角形，且平面 PDC底面ABCD，E 为 PC 中点。（1）求证：平面 EDB平面 PBC；（2）求二面角 的平面角的CDEA BD CPE :
3、ADDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！正切值。讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面 PDC 为正三角形，所以，那么我们自然想到：是否有 ？这样的想法一经产生，PCDEPBCDE面证明它并不是一件困难的事情。 面 PDC底面 ABCD，交线为 DC， DE 在平面 ABCD 内的射影就是 DC。在正方形 ABCD 中，DCCB， DECB。又 ， ，CBPPBC面, DE 。面又 面 EDB，DE 平面 EDB平面 PBC。（2）由（1）的证
4、明可知：DE 。所以， 就是二面角PBC面 E的平面角。CB 面 PDC底面 ABCD，交线为 DC，又平面 ABCD 内的直线 CB DC。 CB面 PDC。又 面 PDC，P CBPC。在 Rt 中， 。ECB2tanCEB点评：求二面角的平面角，实际上是找到棱的一个垂面，事实上，这个垂面同时垂直于二面角的两个半平面。例 3如图：在四棱锥 中，ABCDS平面 ， ，SABCD2， ， 为 的中点。a2E（1）求证： 平面 ；/（2）当点 到平面 的距离为多少时，S平面 与平面 所成的二面角为 ？SA45讲解：题目中涉及到平面 与平面BC所成的二面角，所以，应作出这两个平AD面的交线（即二面
5、角的棱）。另一方面，要SDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！证 平面 ，应该设法证明 CE 平行于面 内的一条直线，充分利用中/CESADSAD点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。（1）延长 BC、AD 交于点 F。在 中，FB ，所以，2AB、CD 都与 AF 垂直，所以，CD/AB，所以， 。又CDBA， ，所以，点 D、CaA2分别为线段 AF、BF 的中点。又因为 为 的中点，所以，ECES为 的中位线，所以，EC/SF。B又 ， ，AC面SAF面所以， 平面 。/D（2）因为： 平面 ，AB 平面
6、 ，所以，AB 。又 ABSBCABCDSAAF， ，所以， AB 面 。F过 A 作 AH SF 于 H，连 BH，则 BH SF，所以， 就是平面 与HBC平面 所成的二面角的平面角。在 Rt 中，要使 = ，需且只需 AH=AB= 。BA45a2此时，在 SAF 中， ，所以，SFS42。aSA34在三棱锥 S-ACD 中，设点 A 到面 SCD 的距离为 h，则h= aADSCDSSCDA 4122因为 AB/DC，所以，AB/ 面 SCD。所以，点 A、 B 到面 SCD 的距离相等。又因为 E 为 SB 中点，所以，点 E 到平面 SCD 的距离就等于点 B 到面 SCD 距离的一
7、半，即 。8142h点评：探索性的问题，有些采用先猜后证的方法，有些则是将问题进行等价转化，在转化的过程中不断探求结论。高考真题1（2002 年北京高考）如图：在多面体 中，上、下底面1DCBADBASECFHDoc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！Doc521 资料分享网(D) 资料分享我做主！平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于 E、 F 两点，上下底面矩形的长、宽分别为 与 ，且 ，dc、 ba、 dc,两底面间的距离为 。h（1）求侧面 与底面 所成二面角的大小；1ABCD（2）证明： EF面/（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式
8、 来计算。hSV中 截 面估已知它的体积公式是。下 底 面中 截 面上 底 面ShV46试判断 与 的大小关系，并加以估 V证明。（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）2.(1997 年全国高考)如图,在正方体中,E,F 分别是 的1DCBACDB,1中点.证明 AD ; F1.求 AE 与 所成的角; .证明面 AED面 ;1DA.设 2,求三棱锥 的体积1 1EF1EDAFV答案与提示：1. （1） ；（3） 。 2. （2）90； （4）dbh2arctnV估=1。1EDAFV A BD CA1 D1 C1B1 EFabcdD CA BA1 B1D1 C1FE
