1、知识点 1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于 180；三角形三个外角的和等于 360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点 3 等腰三角形等腰三
2、角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于 60。知识点 4 直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于 90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形
3、的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点 5 全等三角形定义、判定、性质知识点 6 相似三角形 三 条 对 应 边 的 比 相 等两 个 对 应 角 相 等 夹 角 相 等两 对 应 边 的 比 相 等判 定 方 法定 义相 似 三 角 形 ,相 似 比 平 方面 积 比 等 于 相 似 比周 长 比对 应 高 的 比对 应 边 的 比相 似 三 角 形 的 性 质知识点 7 锐角三角函数与解直角三角形方 位 角坡 度视 角常 用 术 语 直 角 三 角 形转 化问 题 【典型例题】例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长
4、为 12，另一边长为 5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为 80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种情况：若腰长为 12，底边长为 5，则第三边长为 12。若腰长为 5，底边长为 12，则第三边长为 5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为 12。（2）分两种情况：若顶角为 80，则另两个内角均为底角分别是 50、50。若底角为 80，则另两个内角分别是 80、20。因此这个三角形的另外两个内角分别是 50、50或 80、20。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形
5、的三边关系。例 2. 已知：如图，ABC 和ECD 都是等腰三角形，ACB DCE90，D 为 AB 边上的一点，求证：（1）ACEBCD ， （2）AD AE 2DE 。E D C B A 分析：要证ACEBCD，已具备 ACBC，CECD 两个条件，还需 AEBD 或ACEBCD，而ACE BCD 显然能证;要证 AD 2AE DE 2，需条件DAE 90，因为BAC45，所以只需证CAE B 45 ，由ACEBCD 能得证。证明：（1）DCEACB90，DCEACDACBACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD 。（2）ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90
6、，AD 2AE DE。例 3. 已知：点 P 是等边ABC 内的一点，BPC150，PB2，PC3，求 PA 的长。 A P B D C 分析：将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60至BCD，即可证得BPD 为等边三角形，PCD 为直角三角形。解：BCBA ，将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60，使 BA 与 BC 重合，得BCD，连结 PD。BDBP2，PADC 。BPD 是等边三角形。BPD 60。DPCBPCBPD 1506090。DC 2231PDCPA DC 13。【变式】若已知点 P 是等边ABC 内的一点，PA 3，PB2，PC3。能求出BPC 的度数吗？请试一试。例 4.
7、 如图， P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC， 以 BP 为边作PBQ60，且 BQBP ，连结CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由解：（1）把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60即可得到CBQ 利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到AP CQ（2）连接 PQ，则 PBQ 是等边三角形PQPB，APCQ 故 CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC 是直角三角形点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例 5
8、. 如图，有两个长度相同的滑梯（即 BCEF） ，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则ABC DFE _分析：ABC 与DFE 分布在两个直角三角形中， 若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解解答：在 RtABC 和 RtDEF 中，BCEF，ACDF，ABC DEF， ABC DEF ，ABC DFE90，因此填 90点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例 6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时” 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如
9、图所示） ，在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O”， 测得该车从北偏西60的 A 点行驶到北偏西 30的 B 点，所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（ 2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从 A 点到 B 点的速度只需求出 AB 的距离，在OAC 中，OC25 米OAC906030，OA2CO 50 米由勾股定理得 CA2250OC25 3（米）在OBC 中， BOC 30BC 2OB。（2BC） 2BC 225 2BC53（米）ABAC BC 25 5303（米）从 A 到 B 的速度为01.519（米/秒）（2）193米/秒69.3 千米/时6
10、9.3 千米/时0） 。ACB90，CDAB。CD 2AD BD，6 22k3k ， k 6。AB 5。又AC 2ADAB ，AC 152。例 11. 已知ABC 中，ACB90，CHAB，HE BC，HFAC。求证：（1）HEF EHC；（2）HEF HBC。分析：从已知条件中可以获得四边形 CEHF 是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边 EH，根据矩形的性质可知 EFCH，HFEC。要证明三角形相似，从条件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明：HEBC，HFAC，CEH CFH90。又ACB90，四边形 CEHF 是矩形。E
11、F CH，HF EC，FHE 90。又HEEH ，HFE EHC 。HEF HCB。FHE CHB 90，HEF HBC 。说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例 12. 两个全等的含 30，60 角的三角板 ADE 和 ABC 如图所示放置， E，A ，C 三点在一条直线上，连接 BD，取BD 的中点 M，连结 ME，MC。试判断EMC 是什么样的三角形，并说明理由。C E A D M B 分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许
12、是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明 EMMC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点 M 是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MDMB MA。连结 M A 后，可以证明MDE MAC。答：EMC 是等腰直角三角形。证明：连接 AM，由题意得，DE AC，AD AB，DAEBAC90。DAB 90。DAB 为等腰直角三角形。又MDMB，MA MDMB，AMDB ，MAD M AB45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC
13、。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA 90。MCEM。EMC 是等腰直角三角形。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）1. 如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O， 给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形
14、（用序号写出所有情形） ；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB 和COD 中，OA OB，OCOD，AOBCOD60。求证：ACBD，APB 60 。（2）如图，在AOB 和COD 中，OA OB，OCOD ，AOBCOD，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_。（3）如图，在AOB 和COD 中，OA kOB ，OC kOD （k 1） ，AOBCOD ，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_。B A C D O P A C B O P D A C B P O D 3. 一块直角三角形木板的一条直角
15、边 AB 长为 1.5m，面积为 1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1） ，乙设计的方案如图（2） 。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。 （加工损耗忽略，计算结果可保留分数） C A (1) B D E F (2) C B A D E G F H P 4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为： 3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为 2m2m，若放映机的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？5. 如图，已知MON90，等边三角形 ABC 的一个顶点 A 是射线 OM 上
16、的一定点，顶点 B 与点 O 重合，顶点 C在MON 内部。（1）当顶点 B 在射线 ON 上移动到 B1 时，连结 AB1 为一边的等边三角形 AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明） ； （2）设 AB1 与 OC 交于点 Q，AC 的延长线与 B1C1 交于点 D。求证： AQBA；（3）连结 CC1，试猜想ACC 1 为多少度？并证明你的猜想。6. 如图所示，设 A 城气象台测得台风中心在 A城正西方向 600km 的 B 处，正以每小时 200km 的速度沿北偏东60的 BF 方向移动，距台风中心 500km的范围是受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）
17、若 A 城受到这次台风的影响，那么 A 城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图，在 RtABC 中，C 90，AD 是BAC 的角平分线，CAB60，CD 3，BD2 ，求 AC，AB 的长（2） “实验中学”有一块三角形状的花园 ABC， 有人已经测出A30，AC 40 米，BC25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中 ABBC，CDAD ，A60，AB 200m，CD100m， 求 AD、BC的长8. 高为 12 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB，如图所示（1）某一时刻测得大树 AB，教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC2.5 米，DF7.5
18、 米，求大树 AB 的高度；（2）现有皮尺和高为 h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树 AB 高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母 m，n表示，角度用希腊字母 ，表示） ；根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示9. 如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼， 该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32时（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（ 结果保留整数， 参考数据：sin3253
19、0，cos32 ）【试题答案】1. 解：（1）或 （2）已知求证ABC 是等腰三角形证：先证EBODCO得 OBOC，得DBCECBABC ACB即ABC 是等腰三角形2. 证明：AOB 和COD 为正三角形，OAOB，ODOC ，AOB 60，COD60。AOB BOC CODBOC ，AOCBOD 。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC 与 BD 间的等量关系式为 ACBD ；APB 的大小为 。（3）AC 与 BD 间的等量关系式为 ACkBD；APB 的大小为 180。3. 解：方案（1）：有题意可知，DEBA ，得CDECBA。.76,25.1x；方案
20、（2）：作 BHAC 于 H。DEAC，得BDEBAC。 370,.5.xx。,图（1）加工出的正方形面积大。综上所得，甲同学设计的方案较好。4. 解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答：807m5. 解：（1）如图所示；证明：（2）AOC 与AB 1C1 是等边三角形，ACBAB 1D60。又CAQB 1AD，ACQAB 1D；.,11ABQC即（3）猜想ACC 190。证明：AOC 和AB 1C1 为正三角形，AOAC，AB 1AC 1，OACC 1AB1，OACCAQC 1AB1CAQ，OAB 1CAC 1。AO B 1 AC C 1
21、。ACC 1AOB 190。6. （1）作 AMBF 可计算 AM300km500km ，故 A 城受影响 （2）受影响时间为420小时7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分两种情况，S ABC 200 3150 和 SABC 200 3150 30DCBA30DCBA（3）延长 BC，AD 交于 E，AD400100 ，BC200 2008. 解：连结 AC，EF，（1）太阳光线是平行的，AC EF，ACBEFD，ABC EDF90，ABC EDF，2.5,17ABCEDF，AB 4 米 （2）如图所示：AB （mtanh）米9. 解：（1） 超市以上居民住房采光受影响，由计算知新楼在居民楼上的投影高约 11 米，故受影响 （2） 若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：20tan3208532（米）
