1、1中考专题复习 二次函数与方程（组）或不等式知识讲解（1）最大值或最小值的求法第一步确定 a 的符号：a0 有最小值，a0 抛物线与 x 轴相交有一个交点（顶点在 x 轴上） =0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 3，故 m=5 应舍去m=5（2）抛物线的解析式为 y= x2+2，对称轴是 y 轴，顶点 C 的坐标为 C（0，2） 1（3）令 y=0 得 x2+2=0，x=2A（2，0 ） ，B （2，0 ） ，C（0，2） ， OAC 是等腰直角三角形若存在一点 M，使MACOAC ，AC 为公共边， OA=OC，点 M 与 O 关于直线 AC 对称，M 点的坐标为（2，2） 当 x=2 时
2、， x2+2=021M（2，2 ）不在抛物线上，即不存在一点 M，使MAC OAC【点评】存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由例 2 已知二次函数 y=x2（2m+4）x+m 24（x 为自变量）的图像与 y 轴的交点在原点下方，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左边，且 A，B 两点到原点的距离AO，OB 满足 3（OB AO）=2AOOB，直线 y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点3为 P，且锐角POB 的正切值 4（1）求 m 的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确
3、定直线 y=kx+k 的解析式【分析】利用抛物线与 x 轴的交点 A，B 的位置及与 y 轴交点的位置和 A，B 两点到原点的距离可以求出 m 的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解【解答】 （1）设点 A，B 的坐标分别为 A（x 1，0） ，B（x 2，0） （x 10 解得 m 2 又函数的图像与 y 轴的交点在原点下方，m240由 3（OBAO）=2AOOB 可得3x2（x 1）=2（x 1）x 2即 3（x 1+x2）= 2x 1x2由于 x1，x 2 是方程 x2（2m+4）x+m 24=0 的两个根，所以x1+x2=2m+4，x 1x2=m243（2m+4）=2（m 2
4、4）整理，得 m2+3m+2=0m=1 或 m=2（舍去） 二次函数的解析式为 y=x22x3（3）由 y=x22x3，得 A（1，0） ，B （3，0） 直线 y=kx+k 与抛物线相交，4由23,yxk解得 或12,0.y2,4.kyPOB 为锐角点 P 在 y 轴右侧，点 P 坐标为（k+3 ，k 2+4k） ，且 k+30tanPOB=4， =42|4|3k如图所示，当点 P 在 x 轴上方时=4解得 k1=2 ，k 2=2 243k3经检验，k 1=2 ，k 2=2 都是方程的解，但 k2+30；当 x1 时，y 随着 x的增大而增大正确的说法有_ （请写出所有正确说法的序号）图 3
5、 图 4 图 5二、选择题9小敏在某次投篮球中，球的运动路线是抛物线 y= x2+3.5 的一部分（图 4） ，若命15中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ）A3.5m B4m C4.5m D4.6m10当 m 在可以取值范围内取不同的值时，代数 的最小值是（ ）274mA0 B5 C3 D911二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 5 所示，则下列结论：a0， c0， b24ac0 ，其中正确的个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个712抛物线 y=x2+（2m1）x+m 2 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（ ）Am Bm Cm Dm 44141413根据下列表格
6、中二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的对应值， 判断方程ax2+bx+c=0（a0 ，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20y=ax2+bx+c 0.03 0.01 0.02 0.04A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.2014若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图像的顶点在第一象限且经过点（0，1）和（ 1，0） ，则 S=a+b+c 的值的变化范围是（ ）A0S2 B0S1 C1S2 D1S115二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的最大值是零，那么代数式a+ 的化简
7、结果24acb是（ ）Aa Ba C D016已知 y=2x2 的图像是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴，y 轴分别向上，向右平移 2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）Ay=2（ x2） 2+2 By=2 （x+2） 22Cy=2（x2） 22 Dy=2（x+2 ） 2+2三、解答题17如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形， 两小孔形状，大小都相同正常水位时，大孔水面宽度 AB=20m，顶点 M 距水面 6m（即 MO=6m） ， 小孔顶点 N 距水面 4.5m（即 NC=4.5m） 当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度 EF818杂技团进行杂技表
8、演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 y= x2+3x+1 的一部分，如图所示35（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4m，问这次表演是否成功？请说明理由19某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资 A 种产品，则所获利润 yA（万元）与投资金额 x（万元）之间存在正比例函数关系：y A=kx，并且当投资 5 万元时，可获利润 2 万元；信息二：如果单独投资 B 种产品，则所获利润 yB（万元）与投资金额 x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+b
9、x，并且当投资 2 万元时，可获利润 2.4 万元；当投资4 万元时， 可获得 3.2 万元（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对 A，B 两种产品共投资 10 万元 请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少920如图所示，抛物线 L1：y=x 22x+3 交 x 轴于 A，B 两点，交 y轴于 M 点抛物线 L1 向右平移 2 个单位后得到抛物线 L2，L 2 交 x 轴于 C，D 两点（1）求抛物线 L2 对应的函数表达式；（2）抛物线 L1 或 L2 在 x 轴下方的部分是否存在点 N，使以 A，C ，M，N 为顶点
10、的四边形是平行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P 是抛物线 L1 上的一个动点（P 不与点 A，B 重合） ，那么点 P关于原点的对称点 Q 是否在抛物线 L2 上，请说明理由21已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点 A（0，4） ，顶点在 x 轴上， 且对称轴在y 轴的右侧设直线 y=x 与二次函数图像自左向右分别交于 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）两点， 且 OP：PQ=1 ：3（1）求二次函数的解析式；（2）求PAQ 的面积；（3）在线段 PQ 上是否存在一点 D，使 APDQPA，若存在，求出点 D 坐标， 若不存在，说明
11、理由1022已知二次函数 y=ax2ax+m 的图像交 x 轴于 A（x 1，0） ，B（x 2，0）两点，x 1x2，交 y 轴的负半轴于 C 点，且 AB=3，tanBACtan ABC=1（1）求此二次函数的解析式；（2）在第一象限，抛物线上是否存在点 P，使 SPAC=6？若存在，请你求出点 P 的坐标； 若不存在，请你说明理由答案:1y=2x 2+2x+4 22；y=x 2+4x+4 39 45m4+ 75 65796 76 8 9B 10B 11C12C 13C 14A 15 B 16B17设抛物线解析式为 y=ax2+6，依题意得，B（10，0） a102+6=0，解得 a=0.06即 y=0.06x 2+6，当 y=4.5 时，0.06x 2+6=4.5，解得 x=5，DF=5，EF=10 ，即水面宽度为 10m18 （1）y= x2+3x+1= （x ） 2+ 355194 0，函数的最大值是 答：演员弹跳离地面的最大高度是 m（2）当 x=4 时，y= 42+34+1=3.4=BC，所以这次表演成功3519 （1）当 x=5 时，y A=2，2=5k，k=0.4yA=0.4x，当 x=2 时，y B=2.4；当 x=4 时，y B=3.2
