1、221. 如图 263，已 知平面 平面 ，平面 平面 。a，b且 ab，求证 。证明：在平面 内作直线 ca，ab，cb。，c，又，c，222. 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条 直线与这两个相交平面的交线平行。已知：如图：a/,a/,b，求证：a/b解析： 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。证明: 如图 228，过 a作平面 、，使得 c，d，那么有bacbcda / 同 理同 理 点评: 本题证明 过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理 4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。223. 如图 229：四面体 ABCD 被一平面所截，截面 E
2、FGH 是一个矩形，（1）求证：CD/ 平面 EFGH；（2）求异面直线 AB、CD 所成的角。证明：（1）截面 EFGH 是一个矩形，EF/GH，又 GH 平面 BCDEF/平面 BCD，而 EF 平面 ACD，面 ACD面 BCDCDEF/ CD，CD/平面 EFGH解：（2）则（1 ）知 EF/ CD，同理 AB/FG，由异面直线所成角的定义知EFG 即为所求的角。AB、CD 所成的角为 90224. 如图 231：设 a、b 是异面直线，Aa，Bb ，ABa，ABb，过 AB 的中点O 作平面 与 a、b 分别平行，M、N 分别是 a、b 上任意两点，MN 与 交于点 P，求证：P 是
3、 MN 的中点。证明：连结 AN，交平面 于点 Q，连 结 PQ，OQ。 b/，b 平面 ABN，平面 ABNOQ ，b/ OQ，又 O 为 AB 有中点，Q 为 AN 的中点。a/，a 平面 AMN，平面 AMNPQ ， a bc图 263bacd ABCDEFGH图229图231A M aONB ba/ PQ，P 是 MN 的中点。225.如图 232：平面 EFGH 分别平行于 CD、AB，E、F、G、H 分别在BD、BC、AC、AD 上，且 CDa，AB b，CDAB（1）求证：EFGH 是矩形（2）点 E 在什么位置时， EFGH 的面积最大（1）证明：CD/平面 EFGH，而平面
4、EFGH平面 BCDEFCD/EF，同理 HG/CD， EF/ HG，同理 HE/GF，四边形 EFGH 为平行四边形，由 CD/EF，HE/ AB，HEF 为 CD 和 AB 所成的角又CDAB， HE EF四边形 EFGH 为矩形（2）解：由（1 ）可知在 BCD 中 EF/CD，设 DEm，EB n来源:学, 科,网ab41EFGH,ab41)nm(SBD,41)nm( n4)(2ab)(mabEFHSGnHE,ABDBA,/ ,anEF,aC,EDF2EFGH22EF的 面 积 最 大 为矩 形 的 中 点 时 ， 即为即 时 取 等 号 ，当 且 仅 当为 矩 形四 边 形又 又，由
5、 又 矩 形矩 形 226. 如图 223：已知正方体 ABCDA 1B1C1D1， 求证：平面 AB1D1/平面 BDC1。解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线证明:AB C1D1，C 1D1 A1B1，AD 1/BC1AB A1B1，/ /DA BCHEG F图 2DA BCH EGF图232A1A B CDB1C1D1图223四边形 ABC1D1为平行四边形，又 AD1 平面 AB1D1，BC 1 平面 AB1D1，BC 1/平面AB1D1，同理，BD/平面 AB1D1，又 BDBC 1B，平面 AB1D1/平面 BDC1。点
6、评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。227.如图 224：B 为 ACD所在平面外一点， M、N、G 分别为 ABC、 ABD、 BCD的重心，（1）求证：平面 MNG/平面 ACD；（2）求 来源:学科网 ZXXK来源: 学科网ADCMNGS:ZXXK解析：（1）要证明平面 MNG/平面 ACD，由于 M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD 的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 分别于 P、F、H。M、N、G 分别为ABC、ABD、BCD 的重心，则有： 2HB
7、GFMP连结 PF、FH、PH 有 MNPF，又 PF 平面 ACD，MN平面 ACD。同理：MG平面 ACD，MGMNM，平面 MNG平面 ACD（2）分析：因为MNG 所在的平面与ACD 所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知 ，32BHGPMG PH，又 PH AD，MG AD311同理：NG AC，MN CD， MNG ACD，其相似比为 1：3， 1：9ADCMNGS:点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的 2倍。
8、228. 如图：在正方体 ABCDEFGH 中，求证：平面 AFH/平面BDG。解析：易证 BD/平面 AHF， BG/平面 AHF，平面 BD G/平面 AHF。 来源:学科网 ZXXKABDCP HFM GN图224A BCDE FGH229.如图：在正方体 ABCDEFGH 中，M、N、P、Q、R、S 分别是AE、 EH、EF、 CG、BC、CD 的中点，求证：平面 MNP/平面QRS。解 析：先证明 SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面 MNP,再证 RO/平面 MNP，从而证明平面 MNP/平面 QRS230. 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“”号1一条直线和
9、一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 （ ）来源:学科网 ZXXK2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 （ ）3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （ ）4过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 （ ）5如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （ ）解析： 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答: 1直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行，异面，因此应打2该命题的关键 是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，
10、则该命题应打“”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“”号3垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“”4前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 A垂直于直线 a的平面惟一，因此，过点 A且与直线 a垂直的直线都在过点 A且与直线 a垂直的平面内，该命题应打 “”来源:学科网5三条共点直线两两垂直，设为 a，b，c 且 a，b，c 共点于 O，ab，ac，bc0，且 c确定一平面，设为 ，则 a，同理可知 b垂直于由 a，c 确定的平 面，c 垂直于由 a，b 确定的平面该命题应打“”来源:学科网 ZXXKA BCDE FGH图226RQSMNP点评:此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知道能灵活运用。
