1、251. 已知两平面 ， 相交于直线 a，直线 b 在 内与直线 a 相交于 A 点，直线 c 在平面 内与直线 a 平行，请用反证法论证 b,c 为异面直线.解析：这题 规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.证：用反证法.假设 b,c 共面，则 bc 或 b,c 相交.(1)若 bc, ca, ab 这与 baA 的已知条件矛盾；(2)若 bcP, b ， P.来源:学&科&网又 c ， P. P 而 a. Pa，这样 c,a 有了公共点 P， 这与 ac 的已知条件矛盾.综上所述，假设不成立，所以 b、c 为异面直线.说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面
2、直线的判定定理来证明.252. 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 AA1和 的中点分别是BDE、F.(1)证明 EF 是 AA1与 BD1的公垂线段；(2)求异面直线 AA1和 BD1间的距 离.解析：(1)连接 ED1、EB，则显然 ED1EB a25又 F 为 BD1之中点. EFBD 1；连接 FA1，FA.来源:Zxxk.Com来源:学,科,网 Z,X,X,K F 为正方体的中心， FAFA 1，又 E 为 AA1之中点， EFA 1A.故 EF 为 AA1与 BD1的公垂线段.(2)在 RtEFD 1中EF .21FDEaa24352故 AA1到 B
3、D1间的距离是 .来源:学科网 ZXXK2评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.来源:学&科&网253. 如图所示，正三棱锥 SABC 的侧棱与底面的边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，求异面直线 EF 与 SA 所成的角.来源 :学科网解析：计算 EF、SA 所成的角，可把 SA 平移，使其角的顶点在 EF 上.为此取 SB 之中点 G，连 GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE BC，GF SA，且 GFSA，所以GFE21就是 EF 与 SA 所成的角.若设此正三棱锥棱长为 a，那么 GFGE a,EAEB a,EF2123 a，因为
4、 EGF 为等腰直角三角形.EFG45，所以 EF 与 SA 所22)1(ABE成的角为 45.说明 异面直线所成角的求法：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求 .254. 在空间四边形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是四边上的点，且满足 MBANC k.QDAPC(1)求证：M、N、P、Q 共面.(2)当对角线 ACa,BDb，且 MNPQ 是正方形时，求 AC、BD 所成的角及 k 的值(用 a,b 表示)来源:Z|xx|k.Com解析：(1) k来源:学科网BAQD MQBD，且
5、 M1k BDA MQ BD1k又 kNBCP PNBD，且 B1k 从而 NP BDBDC MQNP，MQ，NP 共面，从而 M、N、P、Q 四点共面.(2) ， MAk1 , BNCAB1k MNAC，又 NPBD. MN 与 NP 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角. MNPQ 是正方形， MNP90 AC 与 BD 所成的角为 90，又 ACa，BDb， ACMNB1k MN a1k又 MQ b,且 MQMN，b a，即 k .1kb说明：公理 4 是证明空间两直线平行的基本出发点.255.已知：直线 a 和直线 b 是异面直线，直线 ca，直线 b 与 c 不相交，求证：b、c
6、是异面直线.证：因为 b,c不相交，b、c 的位置关系有 bc 或 b、c 异面两种可能.假设 bc, ca, ab，这与已知 a,b 是异面直线矛盾.所以 b 与 c 不能平行，又 b、c 不相交所以 b,c 是异面直线.来源:Zxxk.Com256.分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线，为什么?证明：假设 AC、BD 不异面，则它们都在某个平面 内，这时 A、B、 C、D 四点都在 上，由公理 1 知 A、B、 C、D ，这与已知 AB 与 CD 异面矛盾，所以 AC、BD 一定是异面直线.257. 如图，ABCDA 1B1C1D1是正方体，B 1
7、E1D 1F1 ，则 BE1与 DF1所成角的余弦值4是( )A. B. C. D. 来源:学科网175217823解析：过 A 点在平面 ABB1A1内作 AF，使 A1FD 1F1，则 ADF1F 是平行四边形，FADF 1，再过 E1在平面 ABB1A1内作 E1EFA，则BE 1E 即是 BE1与 DF1所成的角，由已知 BE1DF 1，ABCDA 1B1C1D1是正方体， E 1E A1B1，4 47又 DF1AFE 1E，DF 1BE 1. E 1E A1B1， EB A1B1472在 BE 1E 中，cosBE 1E .12E75 应选 A.258. 在棱长为 1 的正方体 AB
8、CDA1B1C1D1中，M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是( )A. B. C. D.23105352解析：由图所示，AM 与 CN 是异面直线，过 N 作平行于 AM 的平行线 NP，交 AB 于 P，由定义可知PNC 就是 AM 与 CN 所成的角.因 PBC，PBN，CBN 皆为直角三角形，且 BP，BN ，BC1，故 PN2( )2+( )2 ，CN 2( )2+12 ，PC 2( )2+124241651451，在 PCN 中 cosPNC ，所以 cosPNC ，因此应选 D.167CNP2252259. 已知异面直线 a 与 b 所成的角为 50，P 为空间一定点，则过点 P 且与 a、b 所成的角都是 30的直线有且仅有( )A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D.4 条解析： 过 P 点分别作直线 aa,bb,则 a与 b的夹角为 50，由异面直线所成的角的定义可知，过 P 点与 a,b成 30角的条数，就是所求的条数.画图可知，过 P 点与 a、b成 30角的直线只有两条. 应选 B.260. .若 a、b 为异面直线，P 为空间一点，过 P 且与 a、b 所成角均为 的直线有( )3A.二条 B.二条或三条C.二条或四条 D.二条、三条或四条解析：D
