1、311. 如图，在棱 长为 a 的正方体 AC1中，M 是 CC1的中点，点 E 在 AD 上，且AE AD，F 在 AB 上，且 AF AB，求点 B 到平面 MEF 的距离.313解法一：设 AC 与 BD 交于 O 点，EF 与 AC 交于 R 点，由于 EFBD 所以将 B 点到面 MEF 的距离转化为 O 点到面 MEF 的距离，面 MRC面 MEF，而 MR 是交 线，所以作 OHMR，即 OH面 MEF，OH 即为所求.OHMRORMC，OH .5918a解法二：考察三棱锥 BMEF，由 VB-MEFV M-BEF可得 h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面
2、距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a，求 A1C1和平面 AB1C 间的距离.解法 1 如图所示，A 1C1平面 AB1C，又平面 BB1DD1平面 AB1C.故若过 O1作 O1EOB 1于 E，则 OE1平面 AB1C，O 1E 为所求的距离由 O1EOB1O 1B1OO1，可得：O 1E 3a解法 2：转化为求 C1到平面 AB1C 的距离，也就是求三棱锥 C1AB1C 的高 h.由 V V ，可得 h a.ABC113解法 3 因平面 AB1C平面 C1DA1，它们间的距离即为所求，连 BD1，分别交 B1
3、O、DO 1与F、G(图中未画出)。易证 BD1垂直于上述两个平面，故 FG 长即为所求，易求得来源:Zxxk.ComFG .3a点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.314.求证：两条平行线和 同一条平面所成的 角相等.来源 :Zxxk.Com已知：ab，aA 1,bB 1， 1、 2分别是 a、b 与 所成的角.如图，求证： 1 2.证：在 a、b 上分别取点 A、B.如图，且 AA1BB 1，连结 AB 和
4、A1B1.AA 1BB 1四边形 AA1B1B 是平行四边形.ABA 1B1又 A1B1 AB. 设 AA2 于 A2，BB 2 于 B2，则 AA2BB 2在 RtAA 1A2与 中 AA 2BB 2，AA 1BB 121RtRtAA 1A2RtBB 1B2AA 1A2BB 1B2即 1 2.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：ABC ,P ,PBAPBC,PQ，Q，如图.求证：QBAQBC证：PRAB 于 R，PSBC 于 S.则：PRBPSB90.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSB
5、来源:学科网PRPS点 Q 是点 P 在平面 上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ316. 如图，E、F 分别是正方体的面 ADD1A1，面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形 BFD1E 在正方体的 一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上， E、F 的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F 的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.317. 如图，A 1B1C1ABC 是直三棱柱，BCA90，点 D1，F 1分别是 A1B1，A 1C1的中
6、点，若 BCCACC 1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是( )A. B. C. D.103211530105解 连 D1F1，则 D1F1A 1C1，又 BCCA，所以 BD1在平面 ACC1A1内的射影为 CF1，设AC2a，则 BCCC 12a.取 BC 的中点 E，连 EF1，则 EFBD 1.来源:学科网cos 1cosEF 1C ，a65cos 2cosAF 1C ，52)2()(3 coscos 1cos 2 ，应选 A.610318. (1)如果三棱锥 SABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点 S 在底面的射影 O 在 ABC 内，那么 O 是 AB
7、C 的( )来源:学科网 ZXXKA.垂心 B.重心 C.外心 D.内心(2)设 P 是 ABC 所在平面 外一点，若 PA，P B，PC 与平面 所成的角都相等，那么 P在平面 内的射影是 ABC 的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明 O 到 ABC 的三边的距离相等，因而 O 是ABC 的内心，因此选 D.(2)如图所示，作 PO平面 于 O，连 OA、OB、OC，那么PAO、PBO、PCO 分别是PA、PB、PC 与平面 所成的角，且已知它们都相等.RtPAORtPBORtPCO.OAOBOC应选 B.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁
8、心、重心，它们的定义和性质必须掌握.319. 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离.解析：注意到直线 BD平面 EFG，根据直线和平面的距离在 BO 中点 O 的距离等于 B 到平面EFG 的距离.解 连结 AC、BD，设交于 O，E，F 分别是 AB、AD 的中点.EFBD来源:Z|xx|k.ComBD平面 EFG，设 EFAC M.则 M 为 OA 的中点 .又 AB4 AC4 ，MO AC ,MC AC3 来源:Z.xx.k.Com241242GC平面 ABCDGCCA，GCEF又 EF
9、AC，GCACC.EF平面 GCM.过 O 作 OHGM 于 H，则 OHEF.又 OHGM故 OH平面 EFG.在 RtGCM 中，GM .2CMG2)3(又OHGM.sinGMC sinHMO GMCOH2OH 21B 点到平面 GEF 的距离为 2说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何 体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320. 已知两条异面直线 a,b 所成的角为 ，它们的公垂线段 AA1的长度 为 d，在直线a、b 上分别取点 E、F，设 A1Em，AFn.求证：EF cos22mn解 过 A 作 aa.AA 1a, A 1AaAA 1b,abAA 1A 垂直 a、b 所确定的平面 .aa a、a能确定平面 ，在 内作 EHA 1A，交 a于 H.aa，A 1AME 为平行四边形.来源:学.科.网A 1AEHd,AHA 1EmA 1A EH.FH ， EHFH.在 RtFHE 中，EF 2FHE2daa a与 b 的夹角为 .即HAF，此时 AHm,AFn.由余弦定理得 FH 2m 2+n2-2mncos来源:Z.xx.k.ComEF 来源:学科网cos22nd当 F(或 E)在 A(或 A1)的另一侧时，同理可得EF )cos(22mnd cos22mnd综上所述，EF cos22nd
