1、41 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有 3 个，也可能有 2 个 B可能有 4 个，也可能有 3 个C可能有 3 个，也可能有 1 个 D可能有 4 个，也可能有 1 个解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平 面，共有 4 个。.42. 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误，因平面四边形中的
2、一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题 也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点 最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案：相交或平行解析：根据推论 2，推论 3 确定平面的条件。45. 三角形、四边形、正
3、六边形、圆，其中一定是平面图 形的有_3 个。解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46. 三条平行直线可以确定平面_个。答案：1 个或 3 个解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定 3 个。47. 画出满足下列条件的图形。(1)=1，a ，b ，ab=A(2)=a，b ，ba解析：如图 1-8-甲，1-8-乙4
4、8.经过平面 外两点 A，B 和平面 垂直的平面有几个？解析：一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面 时，只有一个。当 A，B 垂直于平面 时，有无数多个。 49. 设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若AB12 ，CD4 ，且四边形 EFGH 的面积为 12 ，求 AB 和 CD 所成的角. 2 3解析： 由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD， EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角. EFGH 是平行四边形，HG AB6 ，21HE ，CD2 ，13 S EFGHHGHEsinEHG12 sinEHG, 12 6sinEHG12
5、.63 H GFE DC BA sinEHG ,故EHG45.2 AB 和 CD 所成的角为 45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50. 点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是AB、CD 的中点，且 EF= AD，求异面直线 AD 和 BC 所成2的角。 （如图） 解析：设 G 是 AC 中点，连接 DG、FG。因 D、F 分别是AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG= BC，FGAD，且21FG= AD，由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角21或直角为异面直线 AD、BC 所成角，即EGF 为所求。由BC=AD 知 EG=GF= AD
6、，又 EF=AD， 由余弦定理可得cosEGF=0，即EGF=90。注：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。51. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N 分别为 BC、AD 的中点。 求：AM 与 CN 所成的角的余弦值；解析：(1) 连接 DM,过 N 作 NEAM 交 DM 于 E，则CNE 为 AM 与 CN 所成的角。 N 为 AD 的中点, NEAM 省 NE= AM 且 E 为 MD 的中点。
7、21设正四面体的棱长为 1， 则 NC= = 且 ME= MD= 342143在 RtMEC 中，CE 2=ME2+CM2= + = 617ABCGFEDcosCNE= ,32432167)(2222 NEC又CNE (0, ) 异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 .3注：1、本题的平移点是 N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CEN 外计算 CE、CN、EN 长，再回到CEN 中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的
8、角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。52. .如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的点，已知AB=4，CD=2 0，EF=7， 。求异面直线 AB 与 CD 所成的角。 31CBFDA解析：在 BD 上取一点 G，使得 ，连结 EG、FG 在 BCD 中， ，故 EG/CD，并且BEC， 41BCDE所以，EG=5；类似地，可证 FG/AB，且 ， 43ADFBG故 FG=3，在 EFG 中，利用余弦定理可得 cosFGE= 2153272GFE，故FGE=120。 来源:学。科。网 Z。X。X。K另一方面，由前所得EG/CD，FG/AB，所以
9、 EG 与 FG 所成的锐角等于 AB 与 CD 所成的角，于是 AB 与 CD 所成的角等于 60。ABCDEFGED1 C1 B1A1A BD CO53. 在长方体 ABCDA 1B1C1D1中，AA 1=c，AB=a，AD=b，且 ab求 AC1与 BD 所成的角的余弦解一：连 AC，设 ACBD=0，则 O 为 AC 中点，取 C1C 的中点 F，连 OF，则 OFAC1 且 OF=AC1，所以FOB 即为 AC1 与 DB 所成的角。在FOB 中，OB= ，OF=21 2ba，BE= ，由余弦定理得2cba241cbcosOB=222241)41()()( cbaba )222)(c
10、ba解二：取 AC1中点 O1，B 1B 中点 G在C 1O1G 中，C 1O1G 即 AC1 与 DB 所成的角。来源:学科网解三：延长 CD 到 E，使 ED=DC则 ABDE 为平行四边形AEBD，所以EAC 1即为 AC1与BD 所成的角连 EC1，在AEC1中，AE= ，AC1= ，C1E= 由余弦定理，得2ba22cba24cacosEAC 1= = 02222 )()()( c)222)(cba所以EAC 1为钝角根据异面 直线所成角的定义，AC 1与 BD 所成的角的余弦为 )(222cba54. 已知 AO 是平面 的斜线，A 是斜足，OB 垂直 ，B 为垂足，则直线 AB
11、是斜线在平面 内的射影，设 AC 是 内的任一条直线，解析：设 AO 与 AB 所成角为 ，AB 与 AC 所成角为 ，AO 与 AC 所成角为 ，则有12D1A1 B1C1O1A BD C GFO。21coscos在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=来源:Z,xx,k.ComACB= ， ，求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。（略去9029,3,2SBCA了 该题的 1,2 问）由 SA平面 ABC 知，AC 为 SC 在平面 ABC 内的射影，设异面直线 SC 与 AB 所成角为 ，则 ，BACScossco由 得29,3,2BCA 2,3,17SCA ， ，1cosScosBA
12、C ， 即异面直线 SC 与 AB 所成角为 。17cs 17arcos55. 已知平行六面体 的底面 ABCD 是菱形，且1DCBA，证明 。6011 CDB（略去了该题的 2，3 问）解 析： 设 在平面 ABCD 内射影为 H，则 CH 为 在平面 ABCD 内的射影，1 C1 ，DCDcoscscos11 ，BBo11由题意 ， 。来源:Z+xx+k.ComC11BCHcoscosA C BOCAACSBB AHC DD1B1 A1C1又 ),0,BCHD ， 从而 CH 为 的平分线，DCB又四边形 ABCD 是菱形， 来源:学科网 与 BD 所成角为 ， 即 来源:Zxxk.Com
13、C190156. 在正四面体 ABCD 中，E，F 分别为 BC，AD 的中点，来源:学科网求异面直线 AE 与 CF 所成角的大小。解析： 连接 BF、EF，易证 AD平面 BFC， EF 为 AE 在平面 BFC 内的射影，设 AE 与 CF 所成角为 ， ，CFEAcossco设正四面体的棱长为 ，则 ，aaB23显然 EFBC， ，EF2 ， ，36cosA36cosCFEA ， 即 AE与 CF 所成角为 。2s2arcs57. 三棱柱 ，平面 平面 OAB，1BAO1O，且 ，求异面直线 与 所90,601B3,21ABA11O成角的大小，（略去了该题的 1 问）解析： 在平面 内
14、作 于 C ，连 ，1O1B1B CADEFBOO1CAB1A1由平面 平面 AOB， 知，1BO90AOBAO平面 ， ， 1C又 ， BC平面 ，A1 1A 为 在平面 内的射影。C1B1AO设 与 所成角为 ， 与 所成角为 ， A11C112则 ，21coscsoB由题意易求得 ，来源:学科网 ZXXK7,311BAC ，72cos1BA在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值： ，1OC11AO2147cos2 ，7coscso21B即 与 所成角为 。A11Oar58. 已知异面直线 与 所成的角为 ，P 为空间一定点，则过点 P 且与 ， 所成的角b50ab均是 的直线有且只有（
15、）30A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 来源:学#科#网 Z#X#X#K解析： 过空间一点 P 作 ， ，则由异面直线所成角的定义知： 与 的交角ab ab为 ，过 P 与 ， 成等角的直线与 ， 亦成等角，设 ， 确定平面 ， ，50 aab交角的平分线为 ，则过 且与 垂直的平面（设为 ）内的任一直线 与 ， 成等blllab角（证明从略），由上述结论知： 与 ， 所成角大于或等于 与 ， 所成角 ，ab 25这样在 内 的两侧与 ， 成 角的直线各有一条，共两条。在 ， 相交的另一个lab30角 内，同样可以作过 角平分线且与 垂直的平面 ，由上述结论知， 内任一直1301线与 ， 所成角大于或等于 ，所以 内没有符合要求的直线，因此过 P 与 ， 成ab65 ab的直线有且只有 2 条，故选（B）59. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能解析：D60. l1、l 2是两条异面直线，直线 m1、m 2与 l1、l 2都相交，则 m1、m 2的位置关系是（ ）A.异面或平行 B.相交C.异面 D.相交或异面解析：D来源:学_科_网
