1、石河子大学毕 业 论 文题目： 交通问题中的数学模型的分类与研究 院 （系）： 师 范 学 院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 2006 级 学 号： 2006010005 姓 名： 陈 明 春 指导教师： 刘 旭 阳 完成时间： 2010 年 6 月 目 录摘 要： .1关键词： .1引 言 .1一、交通问题中数学模型的分类 .11、数学微分模型 .11.1 交通流的基本函数： .21.2 连续交通流方程： .31.3 间断交通流方程 .51.4 应用范围： .61.5 模型优缺点： .62、动力学模型 .62.1 动力学交通流模型研究进展 .62.2 交通流的流体力学模型 .72.3
2、交通流的气体动力论模型 .72.4 交通流的跟驰模型 .82.5 元胞自动机模型 .10二、基于元胞自动机理论模型及其模拟研究 .121、交通流元胞自动机模型概述 .121.1 一维交通流元胞自动机模型 .131.11 NS 模型及其改进模型 .131.12 FI 模型 .172、交通流元胞自动机模拟 .182.1 元胞参数定义 .182.2 元胞自动机规则 .192.3 数值模拟 .202.4 结果分析 .232.5 结论 .24三、小结 .24四、参考文献 .251交通问题中的数学模型的分类与研究陈明春（新疆石河子大学 师范学院数学系 新疆 832000）摘 要：本课题对以往交通问题中的数
3、学模型进行分类总结，然后着重分析每种方法比如动力学模型等模型的使用范围以及相应的缺陷，并且在各种方法总结比较中，挑选动力学模型中元胞自动机模型进行使用，把车辆在路段上运动的变化规律表述为元胞自动机的演变规则，建立基于元胞自动机理论的交通流模拟模型。标定了元胞长度和最大速度等参数，继而提出反映车辆在路段上自由行驶、跟驰行驶和减速行驶等交通行为的元胞自动机规则。关键词： 交通流 数学模型 分类 元胞自动机引 言：随着我国改革开放的不断深入，城乡经济的进一步繁荣，城市规模的日益扩大，城市交通中的各种机动车辆和非机动车辆数量迅速增加，从而使城市道路更为拥挤和难以管理，交通堵塞和拥挤严重、城市公共交通发
4、展较慢，公交工具数量不足，结构单一，运营效率和效益低、交通管理设施、技术差，从而导致交通问题屡见不鲜。因此，研究城市交通问题能帮助我们深入分析城市交通系统中交通需求与交通供给之间的内在作用规律，探究新的解决途径，为城市交通的良好运作与人们安全出行提供必要的理论保证。一、交通问题中数学模型的分类1、数学微分模型微分模型也是研究交通问题的一类重要方法，它以微积分学为基础，把车辆看成连续的质点，建立连续的交通流模型。下面以红绿灯下的交通流模型为例介绍数学微分模型。各种类型的汽车一辆接着一辆沿着公路飞驰而过，其情景就像湍急的河流中奔腾的流水一样。在这种情况下，很难分析每辆汽车的运动规律，而是把车辆对看
5、作连续的流体，称为交通流。研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系。21.1 交通流的基本函数：研究对象是无穷长公路上沿单向流动的一条车流。假定不允许超车，公路上也没有岔道，即汽车不会从其他通道进入或驶出。在公路上选定一个坐标原点，记作 。以车流运动方向作为 轴的正向，于是0xx公路上任一点用坐标 表示。对于每一时刻 和每一点 ，引入 3 个基本函数：xtx流量 时刻 单位时间内通过点 的车辆数；(,)qt:t密度 时刻 点 处单位长度内的车辆数；xx速度 时刻 通过点 的车流速度。(,)utt将交通流视为一维流体场，这些函数可以类比作流体的流量、密度和速度。这里的
6、速度 不表示固定的哪一辆汽车的速度。(,)xt3 个基本函数之间存在着密切关系。首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积，即（1）(,),()qxtutx其次，车流速度 总是随着车流密度 的增加而减小的。当一辆汽车(,)uxt(,)xt前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可以描述为 时 （最大值） ；0um当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为 （最大值）时 。0如果简化假设 是 的线性函数，则有：u（2）(1)m再由 可得：(,),()qxtutx1（3）表明流量随车辆密度的增加先增后减，在 处达到最2m大值 。mq o mq流量 与密度 的关系q3
7、其中（2） ， （3）式是在平衡状态下 ， 和 之间的关系，即假定所有车辆的速度uq相同，公路上各处的车流密度相同。1.2 连续交通流方程：将交通流类比于流体，假定 和 都是 和 的连续、可微函数，并(,),qxt(,)uxtt满足解析运算所需要的性质，下面根据守恒原理导出这些函数满足的方程。由积分知道，时刻 ，区间 内的车辆数为 ，单位时间内通过 ，t,ab(,)bxtda a点的流量 和 之差等于车辆数的变化率，即：b(,)qat(,)t（4）,)bdttxta这是交通流的积分形式，它并不需要函数对 的连续性。x在关于 和 的解析性质的假定下， （4）式的左右端可分别记作q(,),(,)b
8、attqxtda(,)(,)bdxttt所以（4）式化为： 0bqdxta（ +）由于区间 是任意的，所以有：,（5）0qtx这就是连续交通流方程。当把 表示为 的已知函数 时（如（3）式） ，导数qq也是已知函数，记作 ，于是按照求导法则有dq.dqxx这样，方程(5)可以写成：4（6）()0,(),0,dqtxtxf其中 是初始密度。方程（6）的解 描述了任意时刻公路上各处的车流分布情()fx(,)xt况，再由 即可得到流量函数 。qq（6）式是一阶拟线性偏微分方程，用特征方程和首次积分法求解得到结果：（7）0(),()xtf（8）,()tx容易验证（7） ， （8）满足方程（6） 。等式
9、 对 求导有：(),(0)xtft（9）ddxtt等式 对 求导有：()(),(0)xft，0xdt将（7）式代入得到 。()t这个结果代入（9）式就是方程（6） 。那么（7） ， （8）满足初始条件 则是(,0)(xf显然的。方程（6）的解（7） ， （8）有着明显的几何意义，在 平面上（8）式表示一族直线，它与Oxt轴的交点坐标为 ，斜率为 （ 对010kxt的斜率） ，当函数 给定后， 随着 改变。x,f这族直线成为方程的特征线。则（7）式表明，沿每一条特征线 车流密度 是常数 ，()xt(,)xt0()fx当然在不同特征线上 随着 不同而不同。,01.3 间断交通流方程当密度函数 出现
10、间断时，是具有实际意义的也是常见的一种情况。一连串(,)xt xt0o方程（6）的特征线5的间断点 在 平面上构成一条孤立的、连续的间断线，记作 并假定它是,xtOt ()sxt可微的。在任意时刻 ， 在 轴上是孤立的，取区间 ，使 。在t()sxt,ab()stb内交通流方程的积分形式（4）仍然成立。将 分为两个区间 和,ab ,sax，在每个区间内 是连续、可微的，于是有：sxt(,)xt()()() (), (),s ss st baxtxt ss sa tdqbddxxt t 其中 和 分别表大于示从小于和 一侧趋向 时的极限值。在这种()stst st()st趋向下 和 的极限值记作
11、：,x,q,sstxt和 在间断点 处的跳越值记作：qs,q如图所示：当 时（11）式中的 =0， =0。利用（12） ，(),()ssaxtbt()sxtad()sbxtd（13）式的记号立即得到 sdqt或者记作： sqxt这就是间断线 应满足的方程，其中 和()s可以用连续交通流方程得到的 和 在间断点处取极qq限值算出。1.4 应用范围：该模型适用于研究一维单车道交通流，即研究对象是无穷长公路上沿单向流动的Oa,()sxtbx在 处间断,s6一条车流，并且前提条件是不允许超车，公路上没有岔道，汽车不会从其他通道进入或驶出。1.5 模型优缺点：该模型按照守恒关系建立微分交通流模型，利用特
12、征线求解，能够合理的解释很多交通流中出现的现象。同时，该模型利用间断线的研究方法，能够很好的研究解决红绿灯信号以及类似于红绿灯信号模型出现的情况。2、动力学模型动力学模型是研究现代交通问题的主要方法之一，它主要是以元胞自动机（CA）为动态模型，建立一种适合普遍的交通问题的数学建模方法。 交通问题中的研究对象如车辆和人都是不连续的，车流运动也有很大的随机性和不确定性，用非线性的离散模型来刻划交通现象，这在交通研究的方法上是一个创新。模拟的基本思想是将路面格子化，每个格子视为有独立思维的小元胞，若干个小元胞对应一辆或几辆小汽车，把车辆在路面上的运动看成是格子场的演变，元胞可以像小汽车一样通过观察周
13、围环境的变化来决定下一步的运动状态，凡车辆应遵守的交通规则都表述为元胞的演变规则，车辆行驶的加速、减速、惯性、跟驰等均可以通过元胞的速度变化规则来详细刻划，从而把交通流的变化规律转化为元胞的演变规则加以研究。2.1 动力学交通流模型研究进展动力学交通流模型的发展是伴随着汽车工业和交通需求的迅速增长而发展起来的。上个世界 30 年代，J.P.Kinzer 首次将泊松分布应用于交通流；50 年代初，L。A。Pipes 首次提出跟驰模型；1955 年，M.J.Lighthill ，J.B.Whitbam 以及P.I.Richards 各自独立的提出了交通流力体模型，简称 LWR 模型。20 世纪 7
14、0 年代，H.J.Payne 提出了交通动量方程和连续性方程构成的交通流动力学高阶模型；与此同时，著名的物理学家 I.Prigogine 和 R.Herman 运用气体动理论提出了交通流气体动理论模型。在非线性科学和复杂科学的推动下，K。Nagel 和 M。Schreckenberg 提出了一维元胞自动机交通流模型，简称 NS 模型；后来，O.Biham，A .Aiddleton 和 D.Levine 提出了二维的元胞自动机交通流模型，简称 BML 模型。概括起来，目前，关于动力学交通流模型的研究主要分为三大类型：基于连续性描述的流体力学模型、基于概率统计描述的气体动力论模型、基于微观离散描述
15、的跟7驰模型以及元胞自动机模型。2.2 交通流的流体力学模型交通流的流体力学模型将交通流视为由大量车辆组成的可压缩连续流体介质，力图以车辆的平均密度 ，平均速度 ，交通流量 等宏观量来刻画车辆的(,)xt(,)vxt(,)qxt平均合作行为。流体力学模型在推动交通流理论的发展过程汇总，起着非常重要的作用，其中重要的模型有 LWR 模型、Payne 模型等。LWR 模型描述了“交通激波”现象，也就是交通过程只能给形成的车辆密度的不连续性和由此行程的交通阻塞，以及交通阻塞的消散过程。但是，LWR 模型假设了速度、密度之间始终满则平衡关系，因此该模型不适用于描述本质上处于非平衡态的交通现象，例如存在
16、车辆上下、下砸到的交通，时停时走的“幽灵式”交通阻塞，交通迟滞等。延续 LWR 模型的思想，并考虑交通流速度动态变化，在引用连续性方程的同时，引进动力学方程，Payne 建立了如下两个方程构成的高阶连续模型Payne 模型：（1）()0txu（2）1()txxvVuT（2）式的右边第一项为期望项， 为期望指数，反映驾驶员对前方交通状态改变的反v应过程；第二项式驰豫项，描述车辆速度在弛豫时间 内向平衡速度的调整；最优速T度函数 和其他参数一般通过对所考察的道路实测和参数辨识来确定。()V模型优缺点：Payne 模型允许速度偏离平衡速度密度关系，较之 LWR 模型能更准确地描述实际车流，即可描述诸
17、如交通激波形成以及阻塞消散，又能够分析任意小扰动引起的交通失稳、交通迟滞、时停时走的交通形成现象等等。2.3 交通流的气体动力论模型著名的物理学家 Prigogine 和著名的交通流专家 Herman 在研究交通流时认为不能忽略车辆的个体行为对交通流的影响，个体行为不同会带来不同的集体运动行为。如果把每一辆车用一个粒子来表示，那么交通流就被视为由许多相互作用的粒子构成的气体。借鉴于气体运动的统计物理描述办法，引入粒子分布函数，建立类似的Boltzmann 方程。通过对 Boltzmann 方程逐级求解，就可以得到宏观交通流的连续模型。最初的 Prigogine-Herman 模型得到的很多交通
18、性质与实测结果不相吻合，因此，在此模型的基础上，先后提出了许多改进模型，其中 Helbing 模型最为成功。Helbing 在考8虑了车辆的加速和相互作用机制后，将描述车辆运动状态的粒子分布函数 所遵守的fBoltzmann 方程改写为 20 22()()()1(,)(),(),wvwvVvfvfDf Prtddvtr 其中 ， 是两辆车辆的速度， 是车辆的期望速度， 为扩散函数， 为超车w0vDP概率， 是与密度 有关的因子。 是车辆之间的作用函数。通过对上式方程求矩得2d到： 1()eVPVtx其中， 是交通压力，定义为：(,)(,),Ptt是速度方差， 是车辆在驰骋时间 内趋近的动态平衡
19、速度。与其他模型相x(eV比，Helbing 模型动态平衡速度 与安全距离之间相互点的密度和速度有关，表示()e为： 20maxmax()1()()1/e vTVBA 模型优缺点：Helbing 模型的数值模拟表明该模型能够描述由匝道引起的各种交通状态和交通相变，不仅能准确地解释“幽灵式的交通阻塞” ，而且还能解释时停时走交通引起的堆集形成以及同步交通等非线性动态现象。模型应用：以 Helbing 模型为基础研制的交通软件包 MAS-TER 具有计算速度快、鲁棒性强的特点，可以实时仿真几千里长的高速公路交通。2.4 交通流的跟驰模型跟驰模型中将交通流处理为分散的粒子组成，以单个车辆作为描述对象，通过研究单个车辆的前后作用，来了解交通流的特性。从力学观点来看，它实际上是一种质点系动力学模型，假设车队中的每一辆车必须与前车保持一定的间距以免发生碰撞，后车的加速或减速取决于前车。考虑车辆对刺激的反应滞后效应以及车辆运动的随机性，每辆车的运动规律可以通过如下类型的微分方程来描述：
