1、8.2 双曲线知识梳理定义 1.到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（|F 1F2|）的点的轨迹2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e（1）的点的轨迹方程1. =1， c= ，焦点是 F1（c，0） ，F 2（c，0）2axby2ba2. =1， c= ，焦点是 F1（0，c） 、F 2（0，c）22性质H： =1（a0，b0）2xy1.范围：| x|a，yR2.对称性：关于 x、y 轴均对称，关于原点中心对称3.顶点：轴端点 A1（a，0） ，A 2（a，0）4.渐近线：y= x，y = xb5.离心率：e= （1，+）ac6.准线：l 1：x= ，l 2：
2、x= ca7.焦半径：P（x，y）H，P 在右支上，r1=|PF1|=ex+a，r2=|PF2|=exa；P 在左支上，r1=|PF1|=（ex +a） ，r2=|PF2|=（ex a）思考讨论 对于焦点在 y 轴上的双曲线 =1（a0，b0） ，其性质如何？焦半径公式如2yx何推导？点击双基1.（2004 年春季北京）双曲线 =1 的渐近线方程是42x9yA.y= x B.y= x C.y= x D.y= x233494解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a=2，b=3.渐近线方程为 y= x= x.ab23答案：A2.过点（2，2）且与双曲线 y 2=1 有公共渐近线的双曲线方程是A.
3、 =1 B. =1y4x 42xyC. =1 D. =12解析：可设所求双曲线方程为 y 2= ，把（2，2）点坐标代入方程得 =2.x答案：A3.如果双曲线 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 P 到它的右准线642x3y距离是A.10 B. C.2 D. 77532解析：利用双曲线的第二定义知 P 到右准线的距离为 =8 = .e810答案：D4.已知圆 C 过双曲线 =1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则92x16y圆心到双曲线中心的距离是_.解析：由双曲线的几何性质易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆 C 的圆心的横坐标为 4.故圆心坐标为（4， ）
4、.易求它到中心的距离为 .374316答案： 3165.求与圆 A：（x +5） 2+y2=49 和圆 B：（x5） 2+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为_.解析：利用双曲线的定义.答案： =1（x0）9216典例剖析【例 1】 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线 =1 有共同的渐近线，且过点（3，2 ） ；92x16y 3（2）与双曲线 =1 有公共焦点，且过点（3 ，2）.4剖析：设双曲线方程为 =1，求双曲线方程，即求 a、b，为此需要关于 a、b2axby的两个方程，由题意易得关于 a、b 的两个方程.解法一：（1）设双曲线的方程为 =1，2axby= ，ab34
5、=1， 2)(2)(解得 a2= ，b 2=4.49所以双曲线的方程为 =1.492xy（2）设双曲线方程为 =1.2axby由题意易求 c=2 .5又双曲线过点（3 ，2） ， =1.2)(a24b又a 2+b2=（2 ） 2，5a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为 =1.12x8y解法二：（1）设所求双曲线方程为 （ 0） ，92x16y将点（3，2 ）代入得 ，34所以双曲线方程为 .92x16y（2）设双曲线方程为 1，k42将点（3 ，2）代入得 k=4，所以双曲线方程为 1.2x8y评述：求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e 及准线）
6、之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程 axby=0，可设双曲线方程为 a2x2b 2y2= （ 0）.【例 2】 （2002 年全国，19 ）设点 P 到点 M（1，0） 、N （1，0）距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围.剖析：由|PM| | PN|=2m，得 |PM|PN|=2|m |.知点 P 的轨迹是双曲线，由点 P 到 x 轴、由题意，得y 轴距离之比为 2，知点 P 的轨迹是直线，由交轨法求得点 P 的坐标，进而可求得 m 的取值 范围.解：设点 P 的坐标为（x ，y ） ，依题意得 =2，即 y=2x（x0）. |x因此
7、，点 P（x ，y ） 、M（1，0） 、N （1，0）三点不共线，得| PM|PN|0，00， 15m 20.解得 00，b0.由此可知 a 与 b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.答案：C3.（2003 年上海）给出问题：F 1、F 2 是双曲线 =1 的焦点，点 P 在双曲线上.162x0y若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9，求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，由| PF1|PF 2|=8，即|9| PF2|=8，得| PF2|=1 或 17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上._
8、.解析：易知 P 与 F1 在 y 轴的同侧，| PF2| PF1|=2a，|PF 2|=17.答案：|PF 2|=174.过点 A（0，2）可以作_条直线与双曲线 x2 1 有且只有一个公共4y点.解析：数形结合，两切线、两交线.答案：45.已知双曲线的方程是 16x29y 2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且|PF 1|PF2|=32，求F 1PF2 的大小 .解：（1）由 16x29y 2=144 得 =1，92x16ya=3，b=4，c=5. 焦点坐标 F1（5，0） ，F 2（5，0） ，离
9、心率 e= ，渐近线方程为35y= x.34（2）|PF 1|PF 2|=6，cos F 1PF2= |21121PF= = =0.| |)|(| 212121PPF 6403F 1PF2=90.6.已知双曲线 x2 =1 与点 P（1，2） ，过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点，y若 P 为 AB 中点 .（1）求直线 AB 的方程；（2）若 Q（1，1） ，证明不存在以 Q 为中点的弦.（1）解：设过 P（1，2）点的直线 AB 方程为 y2= k（x 1） ，代入双曲线方程得（2k 2）x 2+（ 2k24k）x（k 44k+6）=0.设 A（x 1，y 1） ，B（x 2
10、，y 2） ，则有 x1+x2= ，k由已知 =xp=1，21 =2.解得 k=1.4k又 k=1 时， =160，从而直线 AB 方程为 xy +1=0.（2）证明：按同样方法求得 k=2，而当 k=2 时， 0，所以这样的直线不存在.培养能力7.双曲线 kx2y 21，右焦点为 F，斜率大于 0 的渐近线为 l，l 与右准线交于 A，FA与左准线交于 B，与双曲线左支交于 C，若 B 为 AC 的中点，求双曲线方程.解：由题意 k0，c = ，k渐近线方程 l 为 y= x，准线方程为 x= ，于是 A（ ， ） ，kc1kc1直线 FA 的方程为 y= ，2)(x于是 B（ ， ）.kc
11、1)1(2kc由 B 是 AC 中点，则 xC=2xBx A ，kc3yC=2yBy A .)1(32kc将 xC、 yC 代入方程 kx2y 21，得k2c410kc 2250.解得 k（1+ ）5，则 k4.所以双曲线方程为 4x2y 218.（理）已知 l1、l 2 是过点 P（ ，0）的两条互相垂直的直线，且 l1、l 2 与双曲线 y2x 21 各有两个交点，分别为 A1、B 1 和 A2、B 2.（1）求 l1 的斜率 k1 的取值范围；（2）若A 1B1 A 2B2，求 l1、l 2 的方程.5解：（1）显然 l1、l 2 斜率都存在，否则 l1、l 2 与曲线不相交.设 l1
12、的斜率为 k1，则 l1 的方程为 yk 1（x ）.yk 1（x ） ，联立得y2x 21，消去 y 得（k 121）x 22 k12x2k 1210. 根据题意得 k1210， 10，即有 12k1240. 完全类似地有 10， 2k 20，即有 12 40， 21k从而 k1（ ， ）（ ， ）且 k11.33（2）由弦长公式得A 1B1 . 21k2)(4完全类似地有A 2B2 . 21k21)(4kA 1B1 A 2B2，5k 1 ，k 2 .从而l1：y （x ） ，l 2：y （x ）或 l1：y （x ） ，l 2：y22（x ） 2（文）在双曲线 1 上求一点 M，使它到左右
13、两焦点的距离之比为 32，并62x9y求 M 点到两准线的距离解：设 M（x 1，y 1） ，左右两焦点 F1、F 2，由双曲线第二定义得MF 1ex 1a，MF 2 ex1a，由已知 2（ex 1a）3（ex 1a） ，把 e= ，a=4 代入，得 x116，y 13 .455点 M 的坐标为（16，3 ）.15双曲线准线方程为 x= = .ca26M（16，3 ）到准线的距离为 12 或 19 15541探究创新9.（2003 年春季上海）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN
14、时，那么kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值 .试对双曲线 C： =1 写出具有类似特性2axby的性质，并加以证明.解：类似的性质为若 MN 是双曲线 =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双2axby曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.设点 M 的坐标为（m，n） ，则点 N 的坐标为（m，n） ，其中 =1.2ab又设点 P 的坐标为（x ，y ） ，由 kPM= ， kPN= ，mnyxn得 kPMkPN= = ，y2m将 y2= x2b 2，n 2= m2 b2，代入
15、得aakPMkPN= .2评注：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.思悟小结本节重点是求双曲线方程及由双曲线方程求基本量，难点是双曲线的灵活运用.解决本节问题应注意以下几点：1.由给定条件求双曲线的方程，常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数） ，再由题设条件确定参数值，应特别注意：（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；（2）已知渐近线的方程 bxay=0，求双曲线方程，可设双曲线方程为b2x2a 2y2= （ 0） ，根据其他条件确定 的值.若求得 0
16、，则焦点在 x 轴上，若求得 0，则焦点在 y 轴上.2.由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置，防止将焦点坐标和准线方程写错.3.解题中，应重视双曲线两种定义的灵活应用，以减少运算量.教师下载中心教学点睛本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系及渐近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在教学中注意以下几点：1.双曲线中有一个重要的 Rt OAB（如下图） ，它的三边长分别是 a、b、c.易见c2=a2+b2，若记 A
17、OB= ，则 e= = .acos1x y O FF a b cqBA212.双曲线的定义用代数式表示为|MF 1| MF2|=2a，其中 2a|F 1F2|，这里要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a|F 1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支；当|MF 1|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支；当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、F 2 为端点向外的两条射线；当 2a|F 1F2|时，动点轨迹不存在.3.参数 a、b 是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有 a0，b0；双曲
18、线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c 的关系是 c2=a2+b2；在方程 Ax2+By2=C 中，只要 AB0且 C0 ，就是双曲线的方程 .4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点 P 到焦点的距离与到相应准线距离之比为常数 e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是 =0，则可把双axby曲线方程表示为 = （ 0） ，再根据已知条件确定 的值，求出双曲线的方程.2axby拓展题例【例 1】 已知双曲线 =1 的离心率 e1+ ，左、右焦点分别为 F1、F 2，左2axby2准线为 l，能否在双曲线的左支上找一点 P，使得|PF 1|是 P 到 l 的距离 d 与|PF 2|的等比中项?解：设在左支上存在 P 点，使|PF 1|2=|PF2|d，由双曲线的第二定义知
