1、1,高等代数第七章回顾,1. 线性变换,定义 设V为 P上的线性空间, 称A : V V为线性变换, 系指 A(k +l) = kA + lA, k, l P, , V,运算1) 加法: (A +B )() = A + B ;2) 数乘: (kA )() = kA() ;3) 乘法: AB ()=A(B() ;,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,V上线性变换的全体, 对于所定义的加法与数乘构成P上的线性空间.,多项式 设f(x)Px, A为V上线性变换, 则f(A )为线性变换的多项式. 若p(x),q(x)Px, 则1)h(x) = p(x)+q(x), h(A) =
2、p(A ) + q(A)2)h(x) = p(x)q(x), h(A) = p(A)q(A) = q(A)p(A),线性变换的矩阵,唯一确定了线性变换.,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,相似矩阵,2018年9月26日星期三,矩阵的特征值与特征向量,求取,2018年9月26日星期三,性质:,1)属于相异特征值的特征向量线性无关.,2018年9月26日星期三,线性变换的特征值与特征向量,求取:,2018年9月26日星期三,Hamilton-Caylay 定理,设A 为V 上线性变换, 在某组基下的矩阵为A,f() = |E A| 是特征多项式,
3、则f(A)= 0, f(A ) = 0,2018年9月26日星期三,相似对角化,A有n 个线性无关的特征向量;,A的所有特征值的代数重数等于几何重数.,A有n 个相异特征值;,相似对角化计算,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,2. 不变子空间,线性变换的值域与核,2018年9月26日星期三,不变子空间,1)V与0是A不变的;,5)A 不变子空间的交与和仍是A不变的.,2018年9月26日星期三,不变子空间与线性变换的矩阵的化简,2018年9月26日星期三,将这些基并在一起构成V的基, 且A在该基下的矩阵具有分快对角形式,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期
4、三,若当(Jordan)标准形,1)称如下分快对角阵,2018年9月26日星期三,3)对C上线性空间V上的线性变换A, 必存在V中一组基, 使得A在该组基下的矩阵是若当矩阵,若不计若当快的排列顺序,则若当矩阵是由 A 唯一确定的.,2018年9月26日星期三,9. 最小多项式简介,结论,1) 矩阵A的最小多项式是唯一的;,2) 最小多项式整除任何以 A 为根的多项式, 从而整除 A 的特征多项式;,3) 相似矩阵有相同的最小多项式;,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,2018年9月26日星期三,Hamilton-Caylay 定理 证明,设A 为V 上线性变换, 在某组基下的矩阵为A,f() = |E A| 是特征多项式, 则f(A)= 0, f(A) = 0,2018年9月26日星期三,第八次课作业325页: 22, 23,2018年9月26日星期三,
