1、1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标：1.了解空间两条直线的位置关系；2.理解并掌握公理 4 及等角定理；3.初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.教材分析及教材内容的定位：本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理 4 是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.教学重点：异面直线的定义，公理 4 及等角定理教学难点
2、：异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.教学方法：启发引导学生概括空间两条直线的位置关系，类比平面几何中的结论学习公理 4 及等角定理教学过程：一、问题情境1在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、电棒等所在的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？2如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，指出下列两条直线的位置关系：（1）AB 和 AD； （2）AB 和 CD；（3）AB 和 C1D1；（4）AB 和 B1C1；3在上图中，CAB 的两边和C 1A1B1 的两边在位置上有何关系？这两角的大小呢？A1C1B1D1A BCDAC1二、学生活动1说出教
3、室内墙角线所在的直线之间的位置关系，由此概括空间两条直线位置关系；2观察正方体中各棱所在的直线的位置关系，由此得出公理 4；3由问题情境 3，概括等角定理三、建构数学1引导学生描述异面直线的定义；2空间两条直线的位置关系有以下三种：（1）相交直线：在同一个平面内，有且只有一个的两条直线；（2）平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线；（3）异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线；从有无公共点的角度，可以将空间两条直线的位置关系分成：相交直线和不相交直线两类；从是否共面的角度，可以将空间两条直线的位置关系分成：共面直线和不共面直线两类；3平行的传递性：公理 4 ：平行于同一条直线的两条直
4、线互相平行.符号表示： 4等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 思考：如果将定理中“方向相同”这一条件去掉，结论会是怎样的呢？四、数学运用1例题.例 1 如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 E、F 分别为 AB、BC 的中点，求证：EF A 1C1.A BCDB11A1C1B1D1A BCDE Fabbc ac变式：如图 E、 F、 G、 H 是平面四边形 ABCD 四边中点，四边形 EFGH 的形状是平行四边形吗？为什么？如果将 ABCD 沿着对角线 BD 折起就形成空间四边形 ABCD，那么四边形 EFGH 的形状还是平行四边形
5、吗？例 2 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 E1、E 分别为 A1D1、AD 的中点，求证：C 1E1B1=CEB2练习.（1）若两直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系_（2）直线 a 和 b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则 a 和 b 的位置关系是_（3）如果 OAO1A1，OBO 1B1， AOB40 o，则 A1O1B1 （4）如图已知 AA1，BB 1，CC 1 不共面，AA 1 BB1，BB 1 CC1，求证：ABCA 1B1C1五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1异面直线的概念；2空间两条直线的位置关系；3.公理 4
6、 和等角定理；ACBA1C1B1ABCDEF GHABCDEF GH 折叠E1EA1C1B1D1A BCD1 4.公理 4 和等角定理都是将平面几何中的结论推广到空间；等角定理是通过构造全等三角形来证明的，这个过程就是一个平面化的过程.1.2.2 空间两条直线的位置关系（2）教学目标：1深化对异面直线定义的理解；2理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；3进一步体会空间问题平面化的解题策略教材分析及教材内容的定位：两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度 通过平移，我们将异面直线所成的角转化
7、成两条相交直线所成的角，公理 4 为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础 异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础教学重点：异面直线所成角的定义教学难点：将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角教学方法： 合作探究法教学过程：一、问题情境1操场上旗杆所在的直线和一条跑道所在的直线有何关系？是否存在一个平面同时经过这两条直线？2不同的异面直线间的相互倾斜程度也不同，怎样来刻画这种
8、不同呢？3 如图在正方体中和对角线 C1A 异面的棱有哪几条？D1B1A1C1D ABCA1二、学生活动1回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？（进一步理解异面直线定义的实质）2每两位同学一组，把桌面作为平面 ，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线 l，另一位同学持一支笔（表示另一条直线 m）使其一端经过桌面上一点B，观察并思考什么情况下直线 l 和直线 m 是异面直线？（由此引导学生得出异面直线的判定定理）3借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？（由此导出异面直线所成角的定义）4利用异面直线的模型
9、，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？（由此得出探求异面直线所成角的一般步骤）三、建构数学1异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2 异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外（如下图所示） 3异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线符号表示：若 l，A ，B ，B l，则直线 AB 与 l 是异面直线（可以引导学生用反证法给予证明）Al Bml4两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a，b 是两条异面直线，在空间中任选一点 O，过 O 点分别作 a，b 的平行线
10、a和 b，则这两条直线 a和 b所成的锐角（或直角） ，称为异面直线 a，b 所成的角若两条异面直线所成角为 90，则称它们互相垂直异面直线 a 与 b 垂直也记作 ab异面直线所成角 的取值范围： (0,9四、数学运用1例题例 1 如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，（1）求直线 A1A 与直线 CB 所成的角的度数；（2）求直线 A1B 与直线 C1C 所成的角的度数；（3）求直线 A1B 与直线 B1C 所成的角的度数例 2 空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是对角线 BD，AC 的中点，（1）若 BCAD2EF ，求直线 EF 与 AD 所成角的大小（2）若 AB8，C
11、D6，EF5，求 AB 与 CD 所成角的大小BCDAEFba Oba ba OaC11D1B1A1C1D ABC2练习（1）指出下列命题是否正确，并说明理由过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直若 ab，ca 则 bc若 ca，bc 则 ab分别与两条异面直线 a，b 都相交的两条直线 c，d 一定异面（2）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，与 AD1 所成角为 60的面对角线有 条（3）已知不共面的三直线 a、b、c 相交于点 O，M 、P 是 a 上两点，N 、Q 分别在 b、c上 求证：MN、PQ 异面 （4）如图在三棱锥 A-BC
12、D 中， E，F，G ，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点求证：四边形 EFGH 是平行四边形；若 ACBD，求证：四边形 EFGH 是菱形；当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是正方形 ?五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：ABFCDHEGNacbOMQP1异面直线的判定定理；2异面直线所成角的定义；3 通过平移将异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角去求，平移的方法主要有：构造中位线，构造平行四边形或成比例线段等等1.2.3 直线与平面的位置关系（1）教学目标：1 了解空间中直线与平面的位置关系及分类标准；2 掌握直线与平面平行的判定定理及性质定理，
13、会应用它证明有关的问题；3 在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间直线与平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念教材分析及教材内容的定位：直线与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力本节课的主要内容是直线与平面平行的判定定理和性质定理的探究与发现、概括与证明、练习与应用欲证线面平行，需转化为线线平行，故线面平行判定是线线平行判定的上位知识，需要认真复习初中平几中线线平行的有关内容；而已知线面平行时需要构造辅助平面与
14、已知平面相交，则得出线线平行线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用学习这些内容是培养学生的数学表述与交流能力（用集合符号语言进行数学表达与交流），直感思维与逻辑思维，推理论证能力及空间想象能力等的重要载体线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合、化归与转化思想教学重点：直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理以及性质定理教学难点：直线和平面平行的判定定理以及性质定理的正确运用教学方法：探究发现式、合作讨论式教学过程：一、问题情境1复习异面直线的定义；2思
15、考并回答问题：异面直线是说两条直线不同在任一平面内，即 a 与 b 是异面直线，若 a，则 b从这句话可知，直线与平面有哪几种位置关系？ 二、学生活动1观察教室，概括空间直线和平面的三种位置关系；2观察长方体 ABCD-A1B1C1D1，说出棱 AB 所在的直线与长方体六个面所在平面的位置关系，并说明理由；3总结、概括空间直线和平面的三种位置关系的定义三、建构数学1直线与平面的位置关系直线 a 与平面 相交和平行的情况统称为 直线在平面外,记作 a2直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行位置关系 直线 a 在平面 内直线 a 与平面
16、相交直线 a 与平面 平行公共点符号表示图形表示 a aAaBB1AD CD1C1A1ab符号语言： 图形语言：/ab/简记为：线线平行 线面平行注意：要证明线面平行关键在于在平面内找到一条线与已知直线平行；3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号语言： 图形语言:/lm/l简记为：线面平行 线线平行注意：线面平行性质定理的运用关键在于过平面外的直线构造辅助平面与已知平面相交，则有已知直线与交线平行；四、数学运用1例题例 1 如图，已知 E、F 分别是三棱锥 A-BCD 的侧棱 AB、AD 的中点，求证：EF平面 BCD解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？反思 1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；线线平行 线面平行；反思 2：能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”；反思 3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理 ADBCE F m l
