1、中考网 中考网 2007 年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007 年 4 月 1 日 下午 1：003：00）一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分以下每小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填均得零分）1若 ，则 + + + + 的值是（ 3210x267xx1276x）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）22定义：定点 A 与O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点 A 与O 之间的距离现有一矩形 ABCD 如图，AB=14cm，BC=12cm ， K 与矩形的边 AB、BC
2、、CD 分别相切于点 E、F、G，则点 A 与K 的距离为（ ）（A）4cm （B）8cm （C ）10cm （D）12cm3某班选举班干部，全班有 50 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，50老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”如果令 号 同 学 当 选 号 同 学 不 同 意 第， 第 号 同 学 当 选 ，号 同 学 同 意 第， 第， jiaji其中 i=1，2， ，50；j=1 ， 2，50则同时同意第 1 号和第 50 号同学当选的人数可表示为（ ）（A） + + +， 2501501， a50，（B） + + +12， a， ，（C）
3、+ + +50， 50， 501，（D） + + +1， 2， ，4若 ，则一次函数 的图象必定经过的象限是（ abctca2ytx）（A）第一、二象限 （B）第一、二、三象限 （C）第二、三、四象限 （D）第三、四象限得 分评卷人ADBC（第 2 题）KEFG中考网 中考网 5满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个6如图，以 RtABC 的斜边 BC 为一边在ABC 的同侧作正方形 BCEF，设正方形的中心为 O，连结 AO，如果AB=4，AO= ，那么 AC 的长等于( )6(A) 12 (B)
4、16 (C) (D) 4382二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分）7函数 ，当 x = 时，321xyy 有最小值，最小值等于 8以立方体的 8 个顶点中的任意 3 个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 9如图，ABC 中，A 的平分线交 BC 于 D，若 AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，则 AD 的长为 cm10设 ， 为实数，且满足， 321x207 = = = =10731207x321x207321x2076x，则 的值是 20x11正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A，C 两点同时出发，均按ABCDEFA 方向沿轨道
5、奔跑，甲的速度为9.2厘米秒，乙的速度为8厘米秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12正整数M的个位上的数字与数 的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移20153到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N 若N是M 的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于 得 分评卷人ABCEFO（第 6 题）（第 9 题）AB CD中考网 中考网 三、解答题（共 4 小题，满分 54 分）13 （本题满分 12 分）已知二次函数 的图象 G 和 x 轴有且只2yaxbc有一个交点 A，与 y 轴的交点为 B（0，4） ，且 acb（1）求该二次函数的解析表达式；（2）
6、将一次函数 y= x 的图象作适当平移，使它经过点 A，记所得的图象为 L，3图象 L 与 G 的另一个交点为 C，求ABC 的面积14 （本题满分 12 分）如图，ABCD、ADCE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB、 AD、CD、CE 于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN得 分评卷人得 分评卷人BACMNPEFQDG中考网 中考网 15 （本题满分 14 分）2007个质点均匀分布在半径为R的圆周上，依次记为 ， ， ， 小明1P23207P用 红 色 按 如 下 规 则 去 涂 这 些 点 ： 设 某 次 涂 第 个 质 点 ， 则 下 次 就
7、涂 第 个 质 点 后 面i i的 第 个质点按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂i点方案；若不能，请说明理由16 （本题满分 16 分）从连续自然数 1，2，3，2008 中任意取 n 个不同的数，（1）求证：当 n=1007 时，无论怎样选取这 n 个数，总存在其中的 4 个数的和等于4017（2）当 n1006（n 是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由得 分评卷人得 分评卷人中考网 中考网 参考答案一、选择题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）1答案：C解：由 ，得 ，3210x1x所以 + + + + =-167276x2答案：A解：连结 AK、
8、EK，设 AK 与 O 的交点为 H，则 AH 即为所求，因为 AK= =10，所以 AH = 42AEK3答案：C解：由题意得 C 正确4答案：A解：由已知可得 ，tcbac)(2当 时， ， ，直线过第一、二、三象限；0ab1t14yx当 时， ， ，直线过第一、二、四象限综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限5答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为 ( )，则,ab（a,b,k 均为正整数），21ab化简，得 ，所以 或 (4)8k41842kab解得 或 或 即有 3 组解152ab34.8,61bak6答案：B解：在 AC 上取一点 G，使 CG=AB=4，连接 OG，则OG
9、COAB ，所以 OG=OA= ，26AOG =90，所以AOG 是等腰直角三角形，ADBC（第 2 题）KEFGHABCEFOG（第 6 题）中考网 中考网 AG= ，所以 AC=1612二、填空题（共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分）7答案：-2，2解：当 x-3 时，y = -3x-6；当-3x-2 时，y = -x；当-2x-1 时，y =x+4；当 x-1 时，y=3x +6 ；所以当 x=-2 时，y 的值最小，最小值为 28答案：8 个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有 8 个正三角形9答案： 5解：由 SABC =SABD + SADC ，得= 60sin
10、21ACB 30sin2130sin21ACDAB解得 AD= 5310答案：1，或 2解：由已知， =1， =1，321x20310x 321x193219x解得 21231955, 所以 ，或 0x20x11答案： 3814解 ： 设 甲 跑 完 x 条 边 时 ， 甲 、 乙 两 老 鼠 第 一 次 出 现 在 同 一 条 边 上 ， 此 时 甲 走 了 120x 厘 米 ，乙走了 厘米，于是2.9108 ，12024.9108)(.)(xx解得 因x是整数，所以x=8，即经过 = = 秒时，37.983428甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上12答案：36中考网 中考网 解： 的个
11、位数字是 7，20153所以可设 ，其中 k 是 m 位正整数，则 kMkNm107由条件 N=4M，得 = ，即 10)7(439)4(k当 m=5 时，k 取得最小值 17948所以 T=179487，它的各位数字之和为 36三、解答题（共 4 题，满分 54 分）13(12 分)解：（1）由 B（0，4）得，c=4 G 与 x 轴的交点 A（ ，0） ，2ba由条件 ，得 ，所以 = ，即 A（ ，0） acc2c所以 解得4,20.ba1,4.ab所求二次函数的解析式为 2yx（2）设图象 L 的函数解析式为 y= x+b，因图象 L 过点 A（ ，0） ，32所以 ，即平移后所得一次
12、函数的解析式为6y= 令 = ，3x24x解得 ， 15将它们分别代入 y= ，36得 ， 10y29所以图象 L 与 G 的另一个交点为 C（ ，9） 5如图，过 C 作 CDx 轴于 D，则SABC =S 梯形 BCDO-SACD -SABO= =15 11(49)5392422A BDC O xy（第 13 题）中考网 中考网 14(12 分)证明：延长 BA、EC，设交点为 O，则四边形 OADC 为平行四边形 F 是 AC 的中点， DF 的延长线必过 O 点，且 31GD ABCD， NAPM ADCE， DNCQP MA= 又 ，OQ31G OQ=3DN CQ=OQ -OC=3D
13、N -OC=3DN -AD，AN=AD -DN，于是，AN+CQ=2DN， =2，即 MN+PQ=2PN PNMQDCA15(14 分)解：不能 理由：设继 点涂成红色后被涂到的点是第j号，则iPj= 2,07,.ii若 =2007，则j=2007，即除 点涂成红色外，其余均没有涂到 207P若 2007，则2 2007，且2 4014，即2 -2007 2007，iiii表明 点永远涂不到红色 07PBACMNPEFQDGO中考网 中考网 16(16 分)解：（1）设 ， 是 1，2，3，2008 中任意取出的 1007 个数123x， ， 07x首先，将1，2，3，2008分成1004对，
14、每对数的和为2009，每对数记作(m，2009-m) ，其中m =1，2，3，1004 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为 112233(09)(09)(09)m， ， ， ， ，( 互不相等)均为 ， 中的 6个数 123m， ， 23x， ， 7x其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外) 分成 1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k) ，其中k=1，2，10032006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多
15、有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是 ， 中的4个数，123x， ， 107x不妨记其中的一对为 11(208)k，又在三对数 ，( 互1 23399(9)mm， ， ， ， ， 123m， ，不相等)中至少存在1对数中的两个数与 中的两个数互不相同，不1108k，妨设该对数为 ， 11(20)，于是 19847mk（2）不成立当 时，不妨从 1，2，2008 中取出后面的 1006 个数：06n1003 ，1004，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于 1003+1004+1005+1006=40184017；当 时，同样从 1，2，2008 中取出后面的 n 个数，其中任何 4 数之1和大于 1003+1004+1005+1006=40184017 所以 时都不成立06n
