1、博微物理 http:/1课 题： 机械振动机械波 类型：复习课目的要求：理解简谐振动和波的传播过程中各量变化的规律特点,掌握单摆模型的有关计算横波的传播规律和利用波的图象进行综合分析重点难点： 教 具：过程及内容：简谐振动、振动图像知识简析 一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动振动的特点:存在某一中心位置 ;往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件 .产生振动的条件:振动物体受到回复力作用 ;阻尼足够小 ;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力回复力时刻指向平衡位置;回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供可以是几个力的合力也可
2、以是一个力的分力; 合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。 “平衡位置”不等于“ 平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。 （如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）二、简谐振动及其描述物理量1、振动描述的物理量（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的
3、有向线段 是矢量，其最大值等于振幅；始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；位移随时间的变化图线就是振动图象（2）振幅：离开平衡位置的最大距离是标量； 表示振动的强弱；（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期 T，每秒钟完成全变化的次数为频率 f二者都表示振动的快慢； 二者互为倒数；T=1/f ；当 T 和 f 由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动） ，则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动受力特征：回复力 F=KX。运动特征：加速度 a=一 kxm ，方向与位移方向相反，总指向平衡
4、位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。说明： 判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.【例 1】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于 O 位置，现将小球由 O 位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内） ，试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，证明：设小球的质量为 m，弹簧的劲度系数为 k，小球处在 O 位置有：mgkx=0 式中 x为小球处在 O 位置时弹 簧的伸长量再设小球离开 O 点的位移 x（比如在 O 点
5、的下方），并取 x 为矢量正方向，此时小球受到的合外力F x为：F x =mgk（xx）由两式可得： Fx =kx, 所以小球的振动是简谐振动，O 点即其振动的平衡位置第 1 课博微物理 http:/2点评：这里的 F=kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力此时弹力为 k（xx） ；所以求回复力时 Fkx，x 是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移三弹簧振子：1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力（水平的弹簧振子）或弹力和重力的合力（竖直的弹簧振子）提供的弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型
6、2、弹簧振子振动周期：T=2 ，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动km/情况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关。3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。这个结论可以直kmT2接使用。4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。【例 2】如图所示，在质量为 M 的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为 m（Mm ）的 D、B 两物体箱子放在水平地面上，平衡后剪断 D、B 间的连线，此后 D 将做简谐运动当 D 运动到
7、最高点时，木箱对地压力为（ ）A、Mg； B （M m）g； C、 （M m）g ； D、 （M2m）g【解析】当剪断 D、B 间的连线 后，物体 D 与弹簧一起可当作弹簧振子，它 们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与 D 的重力相平衡时的位置初始运动时 D 的速度为零，故剪断 D、B 连线瞬间 D 相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B 连线时的伸长量为 x1 2 mgk，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2mgk，故振子振动过程中的振幅为 Ax 2x 1= mgkD 物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为 A 的高度，由于 D 振动过程中的平衡位置在弹簧
8、自由长度以下 mgk 处， 刚好弹簧的自由长度处就是物 D 运动的最高点， 说明了当 D 运动到最高点时，D 对弹簧无作用力，故木箱 对地的压力为木箱的重力 Mg点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅本题侧重在弹簧振子运动的对称性解答本题还可以通过求 D 物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力四、振动过程中各物理量的变化情况位移 X 回复力 F 加速度 a 速度 v振动体位置方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 势能 动能平衡
9、位置 O 0 0 0 最大 最小 最大最大位移处A指向A 最大指向O 最大指向O0最大 0 最大 最小平衡位置O最大位移处 A指向A0最大指向O0最大指向O 最大 OA最大0最小最大最大最小最大位移处A平衡位置O指向A最大0指向O最大0指向O最大0 AO0最大最大最小最小最大说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数） ，变化周期为 T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T2。博微物理 http:/3凡离开平衡位置的过程，v、E k 均减小，x、F、a、E P 均增大；凡向平衡位置移动时，v、E k 均增大, x、F、a、E P 均减小.振子运动至平衡
10、位置时，x、F 、a 为零，E P 最小，v、E k 最大；当在最大位移时，x、F、a、E P 最大，v、E k 最为零；在平衡位置两侧的对称点上,x、F 、a 、v、E k、E P 的大小均相同【例 3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经 a、b 两点的速度相同，若它从 a 到 b 历时 02s，从 b 再回到 a 的最短时间为 04s，则该振子的振动频率为（ ） 。（A）1Hz ；（B ）1.25Hz （C ）2Hz；（D） 25Hz解析：振子经 a、b 两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b 两点对平衡位置（ O 点）一定是对称的，振子由 b 经 O 到 a 所用的时间也
11、是 02s，由于“从 b 再回到 a 的最短时间是 04s，”说明振子运动到 b 后是第一次回到 a 点，且 Ob不是振子的最大位移。设图中的 c、d 为最大位移处， 则振子从 bcb 历时 02s，同理，振子从ada，也历时 02s，故该振子的周期 T0 8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为 125Hz。 综上所述，本 题应选择（B ）。五、简谐运动图象1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线4.应用： 可直观地读取振幅 A、
12、周期 T 以及各时刻的位移 x；判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况注意： 振动图象不是质点的运动轨迹计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。规律方法 1、简谐运动的特点【例 4】 （1995 年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为 T（ ）A若 t 时刻和（tt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 t一定等于 T 的整数倍B若 t 时刻和（tt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上 t 一定等于 T/2 的整数倍C若 t=T，则在 t 时刻和（t t）时
13、刻振子运动的加速度一定相等D若 tT/2，则在 t 时刻和（t 十 t）时刻弹簧的长度一定相等解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项 A 错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过 程中，速度大小相等、方向相反的位里之 间的时间间隔小于 T/2，选项 B 错误。相差 T/2 的两个时刻，弹 黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时， 弹簧长度相等、也可能不相等、选项 D 错误。若 tT，则根据周期性，该振子所有的物理量应和 t 时刻都相同，a 就一定相
14、等，所以， 选项 C 正确。本题也可通过振动图像分析出结果， 请你自己尝试一下。 【例】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O 为平衡位置，A,B 为最大位移处，当振子由 A 点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为 t 秒，在 O 点上方 C 处有一个小球，现使振子由 A 点，小球由 C 点同时从静止释放，它们恰好到 O 点处相碰，试求小球所在 C 点的高度 H 是多少？解析:由已知振子从 A 点开始运动，第一次 经过 O 点的时间是 1/4 周期，第二次经过 O 点是 3/4 周期，设 其周期 T，所以有： t=3T/4,T=4t/3;博微物理 http:/4振子第一次
15、到 O 点的时间为 ；振子第二次到点的时间为 ；振子第三次到 O 点的时间为3t 32tT第 n 次到 O 点的 时间为 （n01,2,3）23tTA 2tTAC 处小球欲与振子相碰，它和振子运 动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有2221141238tgttgHg tA2、弹簧振子模型【例 5】如图所示，质量为 m 的物块 A 放在木板 B 上，而 B 固定在竖直的轻弹簧上。若使 A 随 B 一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A 的回复力的是 。当 A 的速度达到最大时，A 对 B 的压力大小为 。解析：根据题意，只要在最高点 A、B 仍能相对静止，则它们就会始终不脱
16、离。而在最高点，外界对 A 所提供的最大回复力 为 mg，即最大加速度 amax=g，故 A、B 不脱离的条件是 ag，可见，在振动过程中，是 A 的重力和 B 对 A 的支持力的合力充当回复力。因为 A 在系统的平衡位置 时，速度最大，此 时 A 所受重力与 B 对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，a 对 B 的压力大小等于其重力 mg。拓展： 要使不脱离 B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为 k，B 的质量为mB，因为 mg=mamax，振幅最大时，a 才有最大值， ，是由 kAmax=（m+m B）g，得 Amax= m+mB）g/k 。运动至最低点时 A
17、对 B 的最大压力是多少? 若让 A 从离静止的 B 上方 h 处自由下落与 B 相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足 ag,为什么?【例 6】在光滑的水平面上停放着一辆质量为 M 的小车，质量为 m 的物体与劲度系数为 k 的一轻弹簧固定相连弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩 x0 后用细绳将 m 栓住，m 静止在小车上的 A 点，如图所示，m 与 M 间的动摩擦因数为 ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M 开始运动求：当 m 位于 O 点左侧还是右侧且跟 O 点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由判断 m 与 M 的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复
18、的运动？【解析】 在细线烧断时，小球受水平向左的弹力 F 与水平向右的摩擦力 f 作用，开始时 F 必大于 fm 相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动当 F=f 时车速达到最大值，此时 m 必在 O 点左侧。设此时物体在 O 点左侧 x 处，则 kx=mg。所以，当 xmgk 时，小车达最大速度小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度 v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量
19、为零，故 v=0，即 m 与 M 的最终运动状态是静止的 3、利用振动图像分析简谐振动【例 7】一弹簧振子沿 x 轴振动，振幅为 4 cm. 振子的平衡位置位于 x 袖上的 0 点.图甲中的 a ,b,c,d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向图乙给出的 四条振动图线，可用于表示振子的振动图象是（ AD ）A.若规定状态 a 时 t0，则图象为B.若规定状态 b 时 t0，则图象为C.若规定状态 c 时 t0，则图象为D.若规定状态 d 时 t0，则图象为解析:若 t0，质点处于 a 状态 ，则此时 x3 cm 运动方向为正方向，只有图对；若 t 0 时质点处于
20、 b 状态，此时博微物理 http:/5x2 cm，运 动方向为负方向，图不对；若取处于 C 状态时 t=0，此时 x=2 cm，运 动方向为负方向，故图 不正确；取状 态 d 为 t=0 时,图刚好符合，故 A,D 正确点评: 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动试题展示单摆、振动中的能量知识简析 一、单摆1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球
21、的装置都可作为单摆2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角 10 0 3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。4、单摆的周期：当 l、g 一定，则周期为定值 T=2 ，与小球是否运动无关与摆球质量 m、振gl幅 A 都无关。其中摆长 l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。5、小 球 在 光 滑 圆 弧 上 的 往 复 滚 动 ， 和 单 摆 完 全 等 同 。 只 要 摆 角 足 够 小 ， 这 个 振 动 就 是 简 谐运 动 。 这 时 周
22、 期 公 式 中 的 l 应 该 是 圆 弧 半 径 R 和 小 球 半 径 r 的 差 。6、秒摆：周期为 2s 的单摆其摆长约为 lm.【例 1】如图为一单摆及其振动图象，回答：（1）单摆的振幅为 ，频率为 ，摆长为 ，一周期内位移 x（F 回 、a、E p）最大的时刻为 解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为 3crn横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期 T=2s，进 而算出频率 f=1/T=0.5Hz，算出 摆长 l=gT2/42=1m从图中看出纵坐标有最大值的时刻为 05 s 末和 15s 末（2）若摆球从 E 指向 G 为正方向， 为最大摆
23、角，则图象中O、A、B、C 点分别对应单摆中的 点一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 。势能增加且速度为正的时间范围是 解析：图象中 O 点位移为零，O 到 A 的过程位移为正且增大A 处最大，历时 1/4 周期，显然摆球是从平衡位置 E 起振并向 G 方向运 动的，所以 O 对应 E，A 对应 GA 到 B 的过程分析方法相同，因而O、A、B、C 对应 E、G、E、F 点摆动中 EF 间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从 F 向 E 的运动过程，在图象中为 C 到 D 的过程，时间 范围是 1520s 间摆球远离平衡位置势能增加，即从 E 向两侧摆动，
24、而速度为正， 显然是从 E 向 G 的过程在图象中为从 O 到 A，时间范围是 005 s 间（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（）A位移；B速度；C加速度； D动量；E动能；F摆线张力解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变， 摆线张力mgcosm v2/L 也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而 动量方向也改变，故选B、D第 2 课博微物理 http:/6如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？从（1） 、 （2） 、 （3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动一对应
25、起来（4）当在悬点正下方 O/处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且 则单摆周期为 EO/s比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 解析：放钉后改变了摆长，因此 单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长为 lm，所以 T 左 =1s：钉右侧的半个周期 T 右 =05s，所以 TT 左 十 T 右 =15sgl gl4由受力分析，张力 T=mgmv 2/L，因 为钉挡绳前后瞬间摆 球速度不变，球重力不 变，挡后摆线长为挡前的 1/4所以挡后绳张力变大（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？解析：问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动 状
26、态和受力情况在最大位移 处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动【例 2】有一个单摆，其摆长 l=102m ，摆球的质量 m01kg，从和竖直方向成摆角 = 40 的位置无初速度开始运动（如图所示） ，问：（1）已知振动的次数 n30 次，用了时间 t608 s，重力加速度 g 多大？（2）摆球的最大回复力多大？（3）摆球经过最低点时速度多大？（4）此时悬线拉力为多大？（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取 sin4000698，cos4 0 09976， 314）【解析】（1）5 0，单摆做简
27、谐 运动，其周期 T=t/n=608/30 s2027 s，根据 T=2 得，gL/g=4102/20272=9791 m/s2。（2）最大回复力为 F1mgsin4 o=01979100698 N0 068 N（3）单摆振动过程中，重力势能与 动能互相转化，不考 虑阻力，机械能守恒，其总机械能 E 等于摆球在最高处的重力势能 E，或在最低处的速度 v =0219 m/s。04cos12gL（4）由 Tmg=mv 2/L 得悬线拉力为 T=mg 十 mv2/L=0l10 十 0l02l92/102052 N（5）秒摆的周期 T=2 s，设其摆长为 L0，根据 T=2 得，g 不变， 则 T 即
28、 TT0= /L0L故 L0= T02L/T2=22 l02/ 2027 2=0993m ，其摆长要缩短 LLL 0l02 m0993 m=0027m二、振动的能量1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动3、阻尼振动与无阻尼振动（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻
29、力作用博微物理 http:/74.受迫振动（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关5.共振（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振(2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率（3)共振曲线如图所示【例 3】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来已知车厢的固有同期是 058s，每根钢轨的长是 126 m，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于 ms解析：该题应用共振的条件来求解火 车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会
30、受到一次冲击力，该力即为策动力当策动周期 T 策 和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，即 T 策 T 固 058 s T 策 =t=L/v 将 代入 解得 v=L/058=217 ms 答案：217ms规律方法 1、单摆的等效问题等效摆长：如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为 CO等效重力加速度：当单摆在某装置内向上运动加速度为 a 时，T2 ；当向agl上减速时 T=2 ，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止agl时，摆线的张力 T 与摆球质量的比值【例 4】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮 A，质量为 2m，轴上系一根长为 L 的线，下端悬挂一个摆球 B，质量为
31、 m，设 B 摆小球作小幅度振动，求振动周期。【分析】将 2m 的 A 球和 m 的 B 球组成系统为研究对象，系统的重心 O 点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。【解析】A 和 B 两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此 A 和 B 速度之比跟质量成反比，即 vA/vB=mB/mA=1/2因此 A 和 B 运动过程中平均速度 / =1/2，亦即位移 vSA/SB1/2。 ，因为 OAA/OBB/，则 OB/OA2/1。对 B 球来说，其摆长应为 2/3 L，因此 B 球的周期 T2 。gL3/说明：据动量守恒条件，2m 在 A 位置时，m 在 B 位置
32、，当 2 m 运动到 A/时，m 运动到 B/。【例 5】如图所示，三根细线 OA, OB,OC 结于 O 点，A,B 端固定在同一水平面上且相距为 L，使AOB 成一直角三角形，BAO = 300，已知 OC 绳长也为 L，下端 C 点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是A、当小球在纸面内做小角度振动时 ,周期为： glT2300BACO博微物理 http:/8B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为 32lTgC.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为 2lD.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为 glT解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以 0 点为圆心,OC 长 L 为半
33、径做变速圆周运动，OA 和 OB 绳没有松弛，其摆长为 L,所以周期是 ；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是l2以 OC 的延长线与 AB 交点为圆心做振动,其等效的摆长为 L 十 Lsin600/2=L 十 L/4 ,其周期为3,故选 A. /432LTg拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化?(因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升，等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小） 。【例 5】在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是（ ）A、T 1T 2T 3T 4； B、T
34、1T 2=T3T 4C、T 1T 2=T3T 4、 ； 、 D、T 1T 2T 3T 4【解析】单摆的周期与重力加速度有关这是因为是重力的分力提供回复力当单摆处于（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsin）沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期 T1T 3对于（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T 2=T3在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中
35、是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T 4T 3综上所述，只有 C 选项正确点评：对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大这是判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一2、摆钟问题单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数 n 与频率 f 成正比（n 可以是分钟数，也可以是秒数、小时数） ，再由频率公式可以得到： lgf12【例 6】有
36、一摆钟的摆长为 ll 时，在某一标准时间内快 amin。若摆长为 l2 时，在同一标准时间内慢bmin。 ，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆） 。【解析】设该标准时间为 ts，准确摆钟摆长为 lm，走时快的钟周期为 T1s，走慢时的周期为 T2s，准确博微物理 http:/9的钟周期为 T3。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是 Ts。（法一）由各摆钟在 ts 内钟面上显示的时间求解， 对快钟： t60a= T； 对慢钟： t 60a= T1t 2t联立解，可得 = = 最后可得 L= 。ba2/21/L21Lba（法二）由各摆钟在 ts 内的振动
37、次数关系求解：设快钟的 t s 内全振动次数为 nl，慢钟为 n2，准确的钟为 n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T 次，慢钟比准确的钟少振动 60b/T 次，故：对快钟：n lt/T 1n60a/Tt/T+60a/T对慢钟：n 2t/T 2n60b/Tt/T60b/T联解 式，并利用单摆周期公式 T2 同样可得 L=gL/21Lba点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期 T。3、单摆的综合应用【例 7】 （1998 年全国）图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触现将摆球 A 在两摆线
38、所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动以 mA、m B 分别表示摆球 A、B 的质量，则（ ）A如果 mAm B，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B如果 mAm B，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的
39、时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇. 因此，不管 mAm B，还是 mAm B 还是 mAm B ，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能 发生在平衡位置的右侧 或左侧，所以 选项 C、D 正确拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞?【例 8】如图所示，两个完全相同的弹性小球 1,2，分别挂在长 L 和 L/4 的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第 10 次碰撞？解析:因将第 1
40、 个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有 ，12LTg,系统振动周期为 ，在同一个 T 内共发生两次碰撞，球 1 从最大24LTg123TLg位移处由静止释放后经 发生 10 次碰撞，且第 10 次碰后球 1 又摆支最大位移处.52博微物理 http:/1015724TLtgg【例 9】一单摆的摆长为 L，摆球的质量为 m，原来静止，在一个水平冲量 I 作用下开始摆动此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量 I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到 ？（5 0，不计阻力，所施冲量时间极短）解析：设摆球经过平衡位置的次数为 n，则摆球达最
41、大偏角 时需用时间 t=（nl）十 2T4由动量定理和机械能守恒定律得：nImv mv2=mgl（1 cos）单摆周期 glT2联立 式 得：21cos2mLLtIg【例 10】如图所 示，AB 为半径R=7.50 m 的光滑的圆弧形导轨， BC 为长 s0.90m 的光滑水平导轨，在B 点与圆弧导轨相切,BC 离地高度 h1.80 m，一质量 m10.10 kg 的小球置于边缘 C 点，另一质量m20. 20 kg 的小球置于 B 点，现给小球 m1 一个瞬时冲量使它获得大小为 0.90 m/s 的水平向右速度，当 m1 运动到 B 时与 m2 发生弹性正碰，g 取 10 m/s2，求：（1
42、)两球落地的时间差 t；(2)两球落地点之间的距离 s.解析:(1 )m 1 与 m2发生弹性正碰，则设碰后 m1 和 m2 速度分别为 v1/和 v2/，有 /1012mv得 v1一 0.3 m/s,v2=0. 6 m/s2/2101v可见 m1 以 0. 3 m/s 速度反弹，从 B 到 C,t=s/v1/=3s, m2 以 0. 6 m/s 速度冲上圆弧轨道，可 证明 m2 运动可近似为简谐运动，在圆弧上运 动时间为 2.72 s,再从 B 到 C, t2 =s/v2/=1.5s 则 tt 2T/2 一2TRgt1=1.22 s. (2）利用平抛运动知识不难求得s0.18 m.【例 11
43、】如图所示，a、b、Co 质量相等的三个弹性小球（可视为质点） ，a、b 分别悬挂在L1=1.0m，L 2=0.25 m 的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，ab 相距 10cm。若 c从 a 和 b 的连线中点处以 v0=5 cm/s 的速度向右运动，则 c 将与 b 和 a 反复碰撞而往复运动。已知碰撞前后小球 c 均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能损失，碰撞后a 和 b 的摆动均可视为简谐振动。以 c 球开始运动作为时间零点，以向右为正方向，试在图中画也在l0s 内 C、b 两球运动的位移时间图像，两图像均以各自的初位置为坐标原点。 （运算中可认为）10【答案】如图
