14-10二次函数（新课）.doc

1、14-10 二次函数（新）1、二次函数的概念例某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低 1 元时,平均每天能多售出2 件.,每件衬衫降价 x 元.商场平均每天盈利 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二2axbca，0a次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以bc，为零二次函数的自变量的取值范围是全体实数二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2

2、xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项， bc练习：1下列函数中，哪些是二次函数？（1） （2）2xy 2)1()(2xxy（3） （4）132当 k 为何值时，函数 为二次函数？1)(2ky二、二次函数的图像与性质在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） （2）2xy2xy在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象2.二次函数 的性质2a（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.xy y（2）函数 的图像与 的符号关系.2当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴

3、是 轴的抛物线的解析式形式为y.2axy）（ 0（4）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为（a0）c2在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，21xy，)(2)1(xy二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay二次函数 用配方法可化成：2，顶点是 ，对称轴是abcxacbaxy4222 ），（ abc422直线 .的形式，其中 .khxay2 abckbh422，二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ；2xykaxy2； ； .2hxaykhxay2 cb1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：上加下减

4、。2yxc3. 的性质：左加右减。2yaxh的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的

5、增大而减小； 时， 有最小y值 04. 的性质：2yaxhk3、几个基础问题1.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：x1x2.21xay例 1（北京 2010）24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= x2 xm23m2415与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n) 在这条抛物线上。(1) 求点 B 的坐标；例 2（北京 2008）24在平面直角坐标系 中，抛物线 与

6、 轴交于xy2bc两点（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，将直线AB， BC(30)，沿 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 两点 （1）求直线 及抛物线的ykx B， BC解析式；课堂练习 1） （2012 西城一摸）25平面直角坐标系 xOy 中，抛物线与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴的正半轴交于点 C，点 A 的坐标24yaxac为(1, 0) ，OB =OC，抛物线的顶点为 D (1) 求此抛物线的解析式；2） （2012 延庆一模）25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y1=ax2+3x+c 的图像经过原点及点 A（1,2） ， 与 x 轴

7、相交于另一点 B。 （1）求：二次函数 y1 的解析式及 B 点坐标；3） （2012 东城一模）25. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 的图23xbc象与 轴交于 （-1,0） 、 （3,0）两点, 顶点为 .(1) 求此二次函数解析式；xBC0向下 0h，X=h 时， 随 的增大而减小； 时，xhyxxh随 的增大而增大； 时， 有最大y值 0的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 k向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 2.

8、直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbxay2c（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2（3）抛物线与 轴的交点x二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元cy2x1x2二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一0ba元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离.0（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，

9、设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像nxyl 02acbxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同Gcbxaynk2的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；l lG方程组无解时 与 没有交点.G3.二次函数图象的平移1）. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax， 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)

10、2y=ax2+ky=ax2xyOBCA图 12）. 平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成cbxay2ymcbxay2（或 ）mcbxa2 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成cxy2 cxy2（或 ）ba)()( mxbxy)()(24、二次函数的应用几何问题（面积最大） 、经济问题（利润最大、成本最小） 、其他问题（目标函数最大、最小）例 1 某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现

11、:如果这种衬衫的售价每降低 1 元时,平均每天能多售出 2 件.商场要想平均每天盈利最高,每件衬衫应降价多少元?例 2（2009 年衡阳市）直线 与两坐标轴分别相交于 A、B 点，点 M 是线段 AB4xy上任意一点（A、B 两点除外） ，过 M 分别作 MCOA 于点 C，MDOB 于 D（1）当点 M 在 AB 上运动时，你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点 M 运动到什么位置时，四边形 OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？例 3 （2010 湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原cbxy2

12、点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP C， 那么是否存在点 P，使四边形 POP C 为菱形？若存/ /在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.课堂练习 1 （2010 湖南常德）如图 9, 已知抛物线与 轴交于 A (4，0) 和 B(1，0) 两点，与 轴2yxbcx y交于 C 点（1

13、）求此抛物线的解析式；（2）设 E 是线段 AB 上的动点，作 EF/AC 交 BC 于 F，连接CE，当CEF 的面积是BEF 面积的 2 倍时，求 E 点的坐标;（3）若 P 为抛物线上 A、C 两点间的一个动点，过 P 作 轴的平行线，交 AC 于 Q，当 Py点运动到什么位置时，线段 PQ 的值最大，并求此时 P 点的坐标练习 22.（2010 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一 4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为m，AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S

14、 的最大值；(3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.作业1（2010河北中考）某 公 司 销 售 一 种 新 型 节 能 产 品 ， 现 准 备 从 国 内 和 国 外 两 种 销 售 方 案 中 选择 一 种 进 行 销 售 若 只 在 国 内 销 售 ， 销 售 价 格 y（ 元 /件 ） 与 月 销 量 x（ 件 ） 的 函 数 关 系 式为 y = x 150， 成 本 为 20 元 /件 ， 无 论 销 售 多 少 ， 每 月 还 需 支 出 广 告 费 62

15、500元 ， 设 月 利 润 为 w 内 （ 元 ） （ 利 润 = 销 售 额 成 本 广 告 费 ） 若 只 在 国 外 销 售 ， 销 售 价 格 为 150 元 /件 ， 受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件（a 为常数，10a40） ，当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利10润为 w 外 （元） （利润 = 销售额成本附加费） （1）当 x = 1000 时，y = 元/ 件，w 内 = 元；（2）分别求出 w 内 ，w 外 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在

16、国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？2（2006 年青岛市）在 2006 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价 x（元/千克） 25 24 23 22 销售量 y（千克） 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点连接各点并观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为

17、13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？3（2012 海淀一模 25）25. 已知抛物线 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，与2yxbc直线 OP 交于点 B.（1）如图 1，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为（3，6） ，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点 M 是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 , 求点 M 的3ABMS坐标；4（2012 石景山一模）25已知二次函数 中，m 为)4()2(22 xmxy不小于 0 的整数，它的图像与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边 （1）求这个二次函数的解析式；5（2012 丰台一模）23已知：关于 x 的一元二次方程： .2240x（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线 与 x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等224yxm时，求此抛物线的解析式；