1、14-5 线段最大值与最小值的解题思路回顾：1线段公理两点之间，线段最短；2对称的性质关于一条直线对称的两个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3三角形两边之和大于第三边；4三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短1、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。例 1. 如图，在平面直角坐标系 中， 三个点的坐标分别为 ，xOyABC6,0A， ，延长 AC 到点 D,使 CD= ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线6,0B,43C12于点 E.（1）求 D 点的坐
2、标；（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确ykxb定此直线的解析式；（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形转化题意由果索因画图说理课堂练习：1如图，在ABC中，AC=BC=
3、2，ACB=90 。 ，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_2在锐角 中， ，ABC 4245BAC， 的平分线交 于点 分别MN， 、是 和 上的动点，则 的最小值是_DBMN看数据的特殊性，30P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍P 点在 GH 上运动速度等于它在直线 GA 上运动速度求 GH+GA 的最小值DCBA A BCD A BCD例 2、如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，DCB 的平分线 CE 交 DB 于点 E，若点 P,Q 分别是CD 和 CE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ） A.2 B. C.4 D.
4、 24已知:在ABC中，BC= a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图 1，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则 CD= ；（2）如图 2，当点 D 与点 C 位于直线 AB 的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则 CD= ；（3）如图 3，当ACB 变化,且点 D 与点 C 位于直线 AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的ACB 的度数.图 1 图 2 图 3二、三角形两边之和大于第三边求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值
5、为其他两线段之差。在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例 1.在 RtABC 中，ACB=90，tanBAC= . 点 D 在边 AC 上（不与 A，C 重合） ，12连结 BD，F 为 BD 中点.（1）若过点 D 作 DEAB 于 E，连结 CF、EF 、CE，如图 1 设 ，则 k = FE；（2）若将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转，使得 D、E、B 三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示求证：BE- DE=2CF；（3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为BD 中点，求线段 CF 长度
6、的最大值BCADEFBEAFCBC1图 2图 备 图课堂练习（西城 8）如图，在ABC 中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是A B C。 D 62562三、线段差的问题已知两点 A、B 与直线 （AB 与 不平行且在 同侧） ，动点 Plll在 上，求 。lmaxP连接 并延长交直线 于点 P，则点 P 为所求最大值时所取的点，l。ax先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分 10 分）【材料一】：如图，直线 l 上有 、 两个点，若在直线 l 上要确定一点
7、P，且使点1A2P 到点 、 的距离之和最小，很明显点 P 的位置可取在 和 之间的任何地方，此时1A2 1A2距离之和为 到 的距离. 如图，直线 l 上依次有 、 、 三个点，若在直线 l 上要确定一点 P，且使点123P 到点 、 、 的距离之和最小，不难判断，点 P 的位置应取在点 处，此时距离之123 2和为 到 的距离. (想一想，这是为什么？)不难知道，如果直线 l 上依次有 、 、 、 四个点，同样要确定一点 P，使它到1A234各点的距离之和最小，则点 P 应取在点 和 之间的任何地方；如果直线 l 上依次有 、1A、 、 、 五个点，则相应点 P 的位置应取在点 的位置.
8、2A345 3A【材料二】：数轴上任意两点 a、b 之间的距离可以表示为 . ab【问题一】：若已知直线 l 上依次有点 、 、 、 共 25 个点，要确定一1A2325A点 P，使它到已知各点的距离之和最小，则点 P 的位置应取在 ；图 图A3A2 lA1A2 lA1若已知直线 l 上依次有点 、 、 、 共 50 个点，要确定一点 P，使它到1A2350A已知各点的距离之和最小，则点 P 的位置应取在 . 【问题二】：现要求 的最小值，97xxx根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为 .4、几种变式变式如图 1，为正方形 ABCD 的边 BC 上的中点，且 BC=2，请在对
9、角线 BD 上找一个点P 使 PC+PE 的值最小为 。图 2 图 4变式 2如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，AD4，AB 5，BC6，点P 是 AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB 的长为_变式 3、如图 3，梯形 ABCD 中，AD/BC，BE 平分ABC，且 BECD 于 E，P 是 BE 上一动点。若 BC = 6，CE=2DE，则 | PCPA | 的最大值是 变式 4 如图 2，如图，CD 是O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，B 是弧 AD 的中点，P点为直线 CD 上的一个动点，当 CD=4 时，则（1）AP+BP 的最小值为 （2）A
10、P-BP 的最大值为 变式 5 如图 3-7，正方形 ABCD 的边长为，CE3，CF=2，请在边 AB,AD 上找两个点G、H 使四边形 EFGH 周长最小，并求出此时的周长。变式 6、抛物线 和 轴的交点为 为 的中35182xyyMA,O点，若有一动点 ，自 点处出发，沿直线运动到 轴上的某点（设PMx为点 ） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 ） ，最E F后又沿直线运动到点 ，求使点 运动的总路程最短的点 ，点 的AE坐标，并求出这个最短路程的长。变式 7、如图（1） ，直线 与 轴交于点 C，与 轴交23xyy于点 B，点 A 为 轴正半轴上的一点，A 经过点 B 和
11、点 ，O直线 BC 交A 于点 D。图 1B CA DE图 3-7EFDCBAA OxyDCBAB CDEP图 3（1）求点 D 的坐标；（2）过 ，C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使线段 与O PO之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 P 的坐标。若不存在，请说明理由。P变式 8、如图 3-8，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点， OA 所在的直线为 x 轴， OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系已知 OA3， OC2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将 BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处（1）直接写出点
12、E、 F 的坐标；（2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点 E、 F、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；(3)在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点 M、 N，使得四边形 MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由变式 9（2010 天津市）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， OA3，OB4，D 为边 OB 的中点（）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四边形
13、 CDEF 的周长最小时，求点E、F 的坐标变式 10如图，已知直线 12yx与 y轴交于点 A，与 x轴交于点 D，抛物线21yxbc与直线交于 A、E 两点，与 x轴交于B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0) 。在抛物线的对称轴上找一点 M，使 |C的值最大，求出点 M 的坐标。变式 11、如图，已知点 A(-4，8) 和点 B(2，n)在抛物线 2yax上(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2) 平移抛物线 2ya，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2，0
14、) 和点 D(-4，0) 是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；图 3-8yxEFDBCAOO ABxyCDO ABxyCDED（备用图） 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由作业1、 （北京市竞赛题）如图（11） ，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB 上各取一点 M、 N，使 BM+MN 的值最小，求这个最小值。11CDA BMN12D BACPE2 如图（12）在菱形 ABCD 中，DAB=120 0，点 E
15、 平分 BC，点 P在 BD 上，且 PE+PC=1，那么边长 AB 的最大值是 _。3、如图 13，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（2， 1-） ，且P（ 1-，2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是 A、B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得OBQ 与OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平
16、行四边形 OPCQ 周长的最小值图 13xyBhx = 2xA OMQP图 14xy fx = 2xBCA OMPQ提高作业（利用旋转对称变换）2010 宁德第 25 题：如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的13边长.2. 阅读下列材料：问题：如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA=，PB= ，PC=1，求BPC 的度数52小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到了 BPA（如图 2） ，然后连结 PP请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图 2 中BPC 的度数为 ；(2) 如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA= ，PB=4，PC=2，则132BPC 的度数为 ，正六边形 ABCDEF 的边长为 图 1 图 2 图 3EA DB CNMFEA DB CNM
