1、直线和抛物线的位置关系 2.4.3 1高二数学选修 2-1 学案 姓名 班级直线和抛物线的位置关系 2.4.3【学习目标】1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.，2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法.3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用【预习达标】1.直线与抛物线的位置关系：（1 ）位置关系的判定：联立直线 和抛物线 消 整理得：:lykxm2(0)ypxy22()0kxmpx当 时0a直线与抛物线相交，有两个不同公共交点直线与抛物线相切，只有一个公共交点直线与抛物线相离，没有公共交点当 时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交
2、点，但不能成为相切（2 ）若直线与抛物线相交于 ，则弦长12(,)(,)AxyB或 ，特别注意解题是2211()4ABkx21122()4yyk结合韦达定理来处理问题2.焦点弦问题：设过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ，)0(2pxy(,0)2pF),(),(11yxBA直线 与 的斜率分别为 ，直线 的倾斜角为 ，则有1,k ； ； ； ，21py421x421221sinpxB ， ； ，cosFAcospFBAFp过 两点做准线的垂线，垂足分别为 ,则 , MN09直线和抛物线的位置关系 2.4.3 2通径 ；以弦 长为直径的圆总与准线相切PAB2AB【例题讲解】题型一：直线和抛物线
3、位置关系例 1.设抛物线 的准线与 轴交于点 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，求直线28yxQl的斜率的取值范围 （ ）l 1,例 2.已知直线 ： 和抛物线lykx28yx（1 ）若直线 与抛物线有两个公共点，求 的取值范围k（2 ）若直线 与抛物线只有一个公共点，求 的取值范围l（3 ）若直线 与抛物线没有公共点，求 的取值范围变式练习：1.已知直线 及抛物线 ，请判断直线和抛物线的位置关系ykx2(0)ypx2.已知直线y( a1)x 1与曲线 y2ax恰有一个公共点，求实数 a的值. （ ）40,153. 求过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程。),0(Px（ 或 或 ）
4、xy24.已知直线 与抛物线 相切于点bxl: yxC4:2A（1 ）求实数 的值（2 ）求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程A题型二：和弦长有关问题 例 3.已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求2ykx28yx,AB0(2,)My及弦 的长0yAB例 4. 已知抛物线 与直线 相交于 两点，当 的面积等于2yx(1)ykx,OAB时，求 的值1k直线和抛物线的位置关系 2.4.3 3变式练习：1. 经过 的焦点 F 作与对称轴成 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，求|AB|。xy8232.已知抛物线 截直线 所得的弦 AB 的长为 ，P 是其对称轴上一4bxy253
5、点，若 SPAB=39，求 P 点的坐标。 【 P（15，0）或（-11，0） 】3. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B xy2(1) 若 ，求直线 l 的方程 (2) 求 的最小值316ABAB题型三：中点弦问题例 5. 已知抛物线 ，过点 引一弦，使它恰好在点 被平分，求这条弦所2yx(4,1)PP在的直线方程变式练习：1 已知抛物线 ，求过点 的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程26yx(0,1)2.已知抛物线 及定点 ，求被点 M 平分的抛物线的弦所在直线的方程，23,4并求此弦长。3.已知抛物线 ，过点 引一条弦，使此弦在 点处被平分，求弦
6、所在的直线xy82)1,(PP方程。 （ ）034y题型四：和抛物线有关最值问题例 6. 过定点 作直线 交抛物线 于 两点， 为抛物线的焦点，求(,)Ml24yx,ABF面积的最小值AFB例 7.求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值，并求取得最小值时264yx4360x的抛物线上的点的坐标例 8.设抛物线 上各点到直线 的距离的最小值为 1，求 值。p2)0(12yp直线和抛物线的位置关系 2.4.3 4（ ）821p变式练习：1.求抛物线 上的点到直线 的距离的最小值，并求取得最小xy12053:yxl值的点的坐标。2. 是抛物线 上一点，且 ，设 ，试求 的取值范围Pxy2PAd(,)
7、ad3.点 在抛物线 上，点 在圆 上，求 的最小值 【 】2Q1)3(2yxPQ124.已知 ， 是抛物线 上任一点，求PAB 面积最小值及此时 点(0,1)(3,ABP2 P的坐标。 【最小值为 ， 】28)1,6(5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 上移动，求 AB 中点到 y 轴的距离的最小xy2值。 【M 点的坐标为 时,M 到 y 的最短距离是 】)2,45(45题型五：综合应用例 9. 设抛物线 的准线与 轴的交点为 ，过点 作直线 交抛物线于2(0)ypxxMl两点（1）求线段 中点的轨迹方程,ABAB（2 ）若线段 的垂直平分线交对称轴于 求证：0(,)N
8、03xp例 10.设抛物线 的一条弦 被直线 垂直平分2yxPQ:1lyk（1 ） 求 的取值范围k（2 ）若 ，求此弦长Z例 11. 已知 是抛物线 上的两点,且 ( 为坐标原点) ，BA, )0(2pxyOBA求证： 这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值；求证：直线 过定点；求线段 中点 的轨迹方程。M直线和抛物线的位置关系 2.4.3 5例 12直线 与抛物线 交于 两点，线段 的垂直平分线与直线xy214812xy,AB交于 点， （1）求点 的坐标。5Q（2）当 为抛物线上位于线段 下方（含 ）的动点时，求 面积的最大值。P OPQ变式练习：1. 已知抛物线 ， 为抛物线的焦
9、点，椭圆 ，过 点的直线21:4CyxF2:3CxyF交 于 两点，弦长 ,且 与 相交于两个不同交点，求直线 的斜率取值范围。l1,AB8Al2 l【 】23k2. 为抛物线 上一点， 为抛物线的焦点， ,求过点 且与 垂直的27yxF198AFFOA直线 的方程 【 】l 8470y3.抛物线 上，存在 两点，并且 关于直线 对称，求 的取值xy2QP, )1(;xkyl k范围 【 】)0(k【同步练习】1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，且与圆 相交的公共弦长等于24xy，求此抛物线的方程。232.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆 的一个焦点 ，)0(12bayxF且
10、垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为 ，求椭)362,(M圆和抛物线的方程。3. 过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无数条 D不存在直线和抛物线的位置关系 2.4.3 64. 已知抛物线 有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为)0(2pxy2 ，一直角边的方程是 ,求抛物线的方程.135. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 =1（a0,b0）的一个焦点，并与双曲线2yx实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为 ，求抛物线与双曲线方程.6,36. 顶点在原点
11、，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 所得的弦长为 ，求抛物线4yx53的方程。 （ 或 ）y423627.设 是抛物线 对称轴上的一个定点, 过 A 作抛物线的弦 ，求证：(,0)Aa)0(2px PQ这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值。PQ8.正方形 中，一条边 在直线 yx4 上，另外两顶点 在抛物线 上，BCDABDC,xy2求正方形的面积9.如图所示，倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 A、B 两点.28F（1）求抛物线焦点 的坐标及准线 的方程；Fl（2）若 为锐角，作线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，ABmxP证明 cos2 为定值，并求此定值. P10.在直角坐标系 中,椭圆 的左、右焦点分别为 也是xoy21:(0)xyCab12,.F抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，且2:4CM12 253M（1）求 的方程；1（2）平面上的点 满足 = + ，直线 MN，且与 交于 两点，N1F2l1C,AB若 =0，求直线 的方程.OABl直线和抛物线的位置关系 2.4.3 7
