1、玩数学汇总函数值域求法+经典例题解析（上）在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域推荐以下几种方法。基 本 知 识 1.定 义 ： 因 变 量 y的 取 值 范 围 叫 做 函 数 的 值 域 （ 或 函 数 值 的 集 合 ） 。2.函 数 值 域 常 见 的 求 解 思 路 ： 划 归 为 几 类 常 见 函 数 ， 利 用 这 些 函 数 的 图 象 和 性 质 求 解 。 反 解 函 数 ， 将 自 变
2、量 x用 函 数 y的 代 数 式 形 式 表 示 出 来 ， 利 用 定 义 域 建 立 函 数y的 不 等 式 ， 解 不 等 式 即可 获 解 。 可 以 从 方 程 的 角 度 理 解 函 数 的 值 域 ， 从 方 程 的 角 度 讲 ， 函 数 的 值 域 即 为 使 关 于x的 方 程 y=f(x)在 定 义 域内 有 解 的 y得 取 值 范 围 。 特 别 地 ， 若 函 数 可 看 成 关 于x的 一 元 二 次 方 程 ， 则 可 通 过 一 元 二 次 方 程 在 函 数 定 义 域 内 有 解 的 条件 ， 利 用 判 别 式 求 出 函 数 的 值 域 。 可 以
3、用 函 数 的 单 调 性 求 值 域 。 其 他 。 1. 直 接 观 察 法对 于 一 些 比 较 简 单 的 函 数 ， 通 过 对 函 数 定 义 域 ， 性 质 的 观 察 ， 结 合 函 数 解 析 式 ， 求 得 函 数 值 域 。例 1： 求 函 数 y=1/x的 值 域 。解 ： ， 显 然 函 数 的 值 域 是 ：2. 配 方 法 配 方 法 是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一 。例 2： 求 函 数 Y=x2-2x+5 x -1， 2的 值 域 .解 ： 将 函 数 配 方 得 ： Y=（ x-1） 2+4 x -1， 2由 二 次 函 数
4、的 性 质 可 知 ： 当x=1时 ， ,当 X=-1时 ，故 函 数 的 值 域 是 ： 4， 83.判 别 式 法例 3. 求 函 数 的 值 域 。解 ： 两 边 平 方 整 理 得 ： x R 解 得 ：但 此 时 的 函 数 的 定 义 域 由 ,得由 0， 仅 保 证 关 于 x的 方 程 ： Y=2x2-2(y+1)x+y2=0 。 在 实 数 集 R有 实 根 ， 而 不 能 确 保 其 实 根 在 区 间0， 2上 ， 即 不 能 确 保 方 程 （1） 有实 根 ， 由 0。 求 出 的 范 围 可 能 比 y的 实 际 范 围 大 ， 故 不 能 确 定 此 函 数 的
5、值 域 为1/2， 3/2。 可 以 采 取 如下 方 法 进 一 步 确 定 原 函 数 的 值 0 x 2， 解 得 ： 即 当原 函 数 的 值 域 为 ：4. 反 函 数 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函 数 的 值 域.例 4. 求 函 数 的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ：则 其 反 函 数 为 ： 其 定 义 域 为 ： x3/5故 所 求 函 数 的 值 域 为5. 函 数 有 界 性 法直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时 ， 可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性 ， 反 客 为 主 来 确 定 函 数 的 值 域例 5. 求 函 数 的 值 域 。解 ： 由 原 函 数 式 可 得 ： 可 化 为 为 即 x R 即 解 得故 函 数 的 值 域 为6. 函 数 单 调 性 法例 6. 求 函 数 的 值 域 。解 ： 令 ， 则 在 2， 10上 都 是 增 函 数 。所 在 2， 10上 是 增 函 数当 x=2时 ， 当 x=10时 ，故 所 求 函 数 的 值 域 为 ： 。
