1、1分类讨论思想（1）第 1 讲一、概述与要点分类讨论思想是每年中考必考的数学思想方法，分布于填空题，简答题及压轴题。所以特别在最后复习段段中，要强化基础知识的分类整理，熟悉初中数学的知识网络，对数学的基本分类讨论思想方法能够运用自如.本讲主要针对数或式中某些量的不确定性，培养学生在学习中养成认真审题，周密思考的习惯.二、例题选讲例 1、已知数 3、6，请写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是_（只需填写一个数） 。分析 如果设第三个数为 x， 那么可能有三种情况：3 是 6 和 x 的比例中项；6 是 3 和 x 的比例中项；x 是 3 和 6 的比例中项.在答题时，
2、不要求求全，只选一种答案填入即可.答案： 212， 或， 或或例 2：（1）当 a_;b_时，方程 有唯一解bxa1（2）当 a_;b_ 时，方程 无解x（3）当 a_;b_时，方程 有无数个解解： 此题解含字母系数的方程： ba1化为： 1bxa此方程未注明是一元一次方程，故应讨论：（1）当 ，方程有唯一解.为 任 意 实 数即 ,0（2）当 ，方程无解.1,1baba即（3）当 ，方程有无数解.,即例 3：已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC= 求 AB 的长15分析 本题没有给出 AC， BC 的大小关系，因此要按 ACCB 、 ACCB 进行讨论.解：设 AB=x（1）如果
3、 ACCB，则 ，53152,215x（2）如果 ACCB，则 .4,3例 4、解关于 x 的方程 0321mxxm分析 此方程中由于系数中出现了参数 m， 因此方程不一定是一元二次方程，在解这类方程时，必须对 m 的取值进行分类讨论 .解：当 m=1 时，原方程为一元一次方程：8 x 1=0 ， x= .812当 m1 时，原方程为一元二次方程， 362814322m（1） 当0，即 且时，原方程有两个不相等的实数根：79.179,121 xmx（2） 当0，即 且时，原方程有两个相等的实数根：7943121x（3）当0，即 且时，原方程无实数根.例 5、已知：反比例函数 y= 与一次函数
4、y=mx+n 图像的一个交点为 A（-3，4） ，且一次函数的xk图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5，分别确定反比例的函数与一次函数的解析式？分析 x 轴上且到原点的距离为 5 的点应有（5，0）和（5，0）两点，因此本题应分类讨论.解：反比例函数 y= 的图象过点 A（-3，4） ，k=12.xk反比例的函数的解析式为 y= .x12一次函数 y=mx+n 的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5，所以它与 x 轴的交点为（5，0）或（5，0）.（1）当 y=mx+n 的图象过 A（3，4）和（5，0）时，215034m所以 .1xy（2）当 y=mx+n 的图象过 A（3，4）和（5，
5、0）时，125034m所以 .2xy故所求反比例函数的解析式为 y= ，一次函数的解析式为 或 .x2251xy10xy三、习题精选1、解关于 x 的方程 = 02kk2、已知关于 x 的方程 = 0 无实数根，试说明关于 x 的方程5axa3=0 的根的情况.axxa2523、已知一次函数 ，求 k 为何值时，图像与两坐标轴围成的三角形的面积321xky是 ？64、已知等边三角形 ABC 的两个顶点为 A（4，0） ，B（2，0） ，求点 C 的坐标.5、某人乘船由 A 地顺流而下到 B 地，然后逆流而上到 C 地，共乘船 7 小时，已知船在静水中的速度为 7.5 千米/小时，水速为 2.5 千米/ 小时，A ， C 两地航程是 10 千米，求 A、 B 两地间的航程.答案1、解（1）如果 k=0，原方程即为 x 2=0，解为 x=2；如果 k0，4 k+1当 k- 时，解为 ；2k1421、当 k- 时，原方程无解.42、当 a=5 时，原方程只有一个实数根 x= ；145当 a4 且 a 5 时，方程有两个不相等的实数根.3、 .,k321k421 4、 C,5、30 千米或 16 千米.
