1、初一数学竞赛系列讲座(12)相交线、平行线一、知识要点：1 平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。2 两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。3 垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：（1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2） 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。4 在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。5 利用平行公理及其推论证明或求解。二、例题精讲例
2、1如图(1)，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。解： ab， 34（两直线平行，内错角相等） 1+32+ 4180(平角的定义) 12 (等式性质)则 3x+705x+22 解得 x=24 即1142 3180-138 图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组） ，是几何计算常用的方法。例 2已知：如图(2)， ABEFCD，EG 平分BEF，B+BED+ D =192，B-D=24 ，求GEF 的度数。解：ABEFCD B=BEF ，DEF=D （两直线平行，内错角相等）B+BED+D =192（已知）即B+BEF+ DEF+ D=192 2
3、（B+D ）=192 （等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24 （已知） 图(2)B=60（等式性质） 即BEF=60（等量代换） EG 平分BEF（已知）GEF= BEF=30（角平分线定义）21A BC DE FG32l ab4A BC DE F例 3如图（3） ，已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。解：过 E 作 EFAB ABCD （已知） EFCD （平行公理） BEF=B=40 DEF=D=70 （两直线平行，内错角相等） DEB=DEF -BEF DEB =D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角” ，则应添出辅助线。
4、图（3）例 4已知锐角三角形 ABC 的三边长为 a，b，c，而 ha，h b，h c 分别为对应边上的高线长，求证：h a+hb+hca+b+c分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段证明：由垂线段最短知，h ac ，h ba，h cb以上三式相加得 ha+hb+hca+b+c研究垂直关系应掌握好垂线的性质。1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。2 垂线段最短。 例 5如图（4） ，直线 AB 与 CD 相交于 O，EF AB 于 F，GHCD 于 H，求证 EF 与 GH 必相交。分析：欲证 EF 与 GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。证明：假设 EF 与 GH 不相交
5、。 EF、GH 是两条不同的直线 EFGH EF AB GHAB又因 GHCD 故 ABCD (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4）这与已知 AB 和 CD 相交矛盾。所以 EF 与 GH 不平行，即 EF 与 GH 必相交评注：本题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2 条直线产生 1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线
6、与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；ABCDEFGHObacha则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+ (n-1)= n(n-1)21评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 76 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线，即能确定的直线为 15-2=13 条。另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点
7、与直线上的 3 点最多有33=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)= n(n-1)21例 810 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域； 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+
8、10=56 个不同区域推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+n=1+ n(n+1)= (n2+n+2)块不同21的区域思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例 9平面上 n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于 n018证明：平面上 n 条直线两两相交最多得对顶角 2n(n-1)对，即 2n(n-1)个角)1(n平面上任取一点 O，将这 n 条直线均平行移动过点O，成为交于一点 O 的 n 条直线，这 n 条直线将以 O 为顶点的圆周角分为 2n 个（共 n 对）互不重叠的角： 1、 2、 3、 、 2n由平行线的性质知，这 2n 个
9、角中每一个都和原来 n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等，即这 2n 个角均是原 2n(n-1)个角中的角。若这 2n 个角均大于 ，则 1+2+3+2n 2n =360,n08n018O l3 l2ln而 1+2+3+2n =360,产生矛盾故 1、 2、 3、 2n 中至少有一个小于 ，n018即 原来的 2n(n-1) 中至少有一个角不小于0评注：通过平移，可以把原来分散的直线集中交于同一点，从而解决问题。例 10 （a）请你在平面上画出 6 条直线（没有三条共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，并简单说明画法。（b）能否在平面上画出 7 条直线（任意 3 条都
10、不共点） ，使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。解：（a）在平面上任取一点 A。过 A 作两直线 m1 与 n1。在 n1 上取两点 B，C，在m1 上取两点 D，G。过 B 作 m2m 1，过 C 作 m3m 1，过 D 作 n2n 1，过 G 作 n3n 1，这时 m2、m 3、n 2、n 3 交得 E、F 、H、 I 四点，如图所示。由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另 3 条直线相交。（b）在平面上不能画出没有 3 线共点的 7 条直线，使得其中每条直线都恰与另外 3 条直线相交。理由如下：假设平面上可以画出 7 条直线，
11、其中每一条都恰与其它 3 条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有 3 条直线共点，所以每条直线上恰有与另 3 条直线交得的 3 个不同的交点。根据直线去计数这些交点，共有 3721 个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这 7 条直线交点总数为 10.5 个，因为交点个数应为整数，矛盾。21所以，满足题设条件的 7 条直线是画不出来的。三、巩固练习选择题1平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（ ）条A6 B 7 C8 D92平面上三条直线相互间的交点个数是 （ ）A3 B1 或 3 C1 或 2 或 3 D不一定是 1，2，3
12、3平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）A36 条 B33 条 C24 条 D21 条4已知平面中有 个点 三个点在一条直线上， 四个点也在一条直线上，nBA, EFA,除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这 个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条n不同的直线，这时 等于（ ）（A）9 （B）10 （C）11 （D）125若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）m1n1m2m3n2 n3ABCDEFGHI21ABCDEFABCD EA4 对 B8 对 C 12 对 D16 对6如图，已知 FDBE
13、，则 1+2-3=( )A90 B135 C150 D180A BC DEFGH 第 5 题312ABC DEF G第 6 题 第 7 题 7如图，已知 ABCD，1=2，则E 与F 的大小关系 ；8平面上有 5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的 5 点之外这些直线最多还有 交点9平面上 3 条直线最多可分平面为 个部分。10如图，已知 ABCDEF，PSGH 于P，FRG=110，则PSQ 。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分线与直线的交点个数是 。12平面内有 4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过 个。13已知：如图，DECB ，求证：AE
14、D=A+B14已知：如图，ABCD，求证：B+D+F=E+G第 13 题 第 14 题15如图，已知 CBAB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，EDC+ECD =90 ，求证：DAAB16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上 5 点与直线外 3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有 8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于 23。20平面上有 10 条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现 31 个交点，怎样安排才能A BC DEFGlA BC DE FGHPQRS第 10题AB CDE第 15 题办到？画出图形。
